MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplrcl Structured version   Unicode version

Theorem mplrcl 17687
Description: Reverse closure for the polynomial index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplrcl  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem mplrcl
StepHypRef Expression
1 noel 3742 . . 3  |-  -.  X  e.  (/)
2 mplrcl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 reldmmpl 17616 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom mPoly
43ovprc1 6221 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2504 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  P  =  (/) )
65fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  P )  =  ( Base `  (/) ) )
7 mplrcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 base0 14324 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2517 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
109eleq2d 2521 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  (/) ) )
111, 10mtbiri 303 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  X  e.  B )
1211con4i 130 1  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   mPoly cmpl 17535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-slot 14289  df-base 14290  df-mpl 17540
This theorem is referenced by:  mdegleb  21661  mdeglt  21662  mdegldg  21663  mdegxrcl  21664  mdegcl  21666  mdegnn0cl  21668
  Copyright terms: Public domain W3C validator