MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplrcl Structured version   Unicode version

Theorem mplrcl 17918
Description: Reverse closure for the polynomial index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplrcl  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem mplrcl
StepHypRef Expression
1 noel 3782 . . 3  |-  -.  X  e.  (/)
2 mplrcl.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 reldmmpl 17847 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom mPoly
43ovprc1 6303 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I mPoly  R )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2513 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  P  =  (/) )
65fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  P )  =  ( Base `  (/) ) )
7 mplrcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 base0 14518 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2526 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
109eleq2d 2530 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  (/) ) )
111, 10mtbiri 303 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  X  e.  B )
1211con4i 130 1  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   mPoly cmpl 17766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-slot 14483  df-base 14484  df-mpl 17771
This theorem is referenced by:  mdegleb  22192  mdeglt  22193  mdegldg  22194  mdegxrcl  22195  mdegcl  22197  mdegnn0cl  22199
  Copyright terms: Public domain W3C validator