MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmul Structured version   Unicode version

Theorem mplmul 18423
Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmul.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmul.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
mplmul.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplmul.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplmul.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmul  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, D    k, F, x    k, G, x    h, k, x, y, I    ph, k, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( x, y, h, k)    D( h)    P( x, y, h, k)    R( y, h)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem mplmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2402 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
3 mplmul.m . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 mplmul.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
5 mplmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
6 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  e.  _V
75, 6eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
8 mplmul.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
98, 1, 5mplval2 18408 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
10 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
119, 10ressmulr 14964 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P ) )
127, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P )
134, 12eqtr4i 2434 . 2  |-  .xb  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
14 mplmul.d . 2  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
158, 1, 5, 2mplbasss 18409 . . 3  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
16 mplmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1715, 16sseldi 3439 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
18 mplmul.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1915, 18sseldi 3439 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
201, 2, 3, 13, 14, 17, 19psrmulfval 18356 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   "cima 4825   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518    oRcofr 6519    ^m cmap 7456   Fincfn 7553    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   .rcmulr 14908    gsumg cgsu 15053   mPwSer cmps 18318   mPoly cmpl 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-psr 18323  df-mpl 18325
This theorem is referenced by:  mplmonmul  18444  mdegmullem  22768
  Copyright terms: Public domain W3C validator