MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmul Structured version   Unicode version

Theorem mplmul 17499
Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmul.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmul.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
mplmul.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplmul.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplmul.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmul  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, D    k, F, x    k, G, x    h, k, x, y, I    ph, k, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( x, y, h, k)    D( h)    P( x, y, h, k)    R( y, h)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem mplmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2438 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
3 mplmul.m . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 mplmul.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
5 mplmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
6 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  e.  _V
75, 6eqeltri 2508 . . . 4  |-  B  e. 
_V
8 mplmul.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
98, 1, 5mplval2 17484 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
10 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
119, 10ressmulr 14283 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P ) )
127, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P )
134, 12eqtr4i 2461 . 2  |-  .xb  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
14 mplmul.d . 2  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
158, 1, 5, 2mplbasss 17485 . . 3  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
16 mplmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1715, 16sseldi 3349 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
18 mplmul.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1915, 18sseldi 3349 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
201, 2, 3, 13, 14, 17, 19psrmulfval 17433 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   .rcmulr 14231    gsumg cgsu 14371   mPwSer cmps 17395   mPoly cmpl 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-psr 17400  df-mpl 17402
This theorem is referenced by:  mplmonmul  17520  mdegmullem  21524
  Copyright terms: Public domain W3C validator