MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmul Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mplmul 18667
Description: The multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmul.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmul.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmul.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mplmul.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
mplmul.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
mplmul.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mplmul.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmul  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, D    k, F, x    k, G, x    h, k, x, y, I    ph, k, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( x, y, h, k)    D( h)    P( x, y, h, k)    R( y, h)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem mplmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2451 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
3 mplmul.m . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 mplmul.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
5 mplmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
6 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  e.  _V
75, 6eqeltri 2525 . . . 4  |-  B  e. 
_V
8 mplmul.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
98, 1, 5mplval2 18655 . . . . 5  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
119, 10ressmulr 15250 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P ) )
127, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  P )
134, 12eqtr4i 2476 . 2  |-  .xb  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
14 mplmul.d . 2  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
158, 1, 5, 2mplbasss 18656 . . 3  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
16 mplmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1715, 16sseldi 3430 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
18 mplmul.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1915, 18sseldi 3430 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
201, 2, 3, 13, 14, 17, 19psrmulfval 18609 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529    oRcofr 6530    ^m cmap 7472   Fincfn 7569    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15121   .rcmulr 15191    gsumg cgsu 15339   mPwSer cmps 18575   mPoly cmpl 18577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-tset 15209  df-psr 18580  df-mpl 18582
This theorem is referenced by:  mplmonmul  18688  mdegmullem  23027
  Copyright terms: Public domain W3C validator