MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmonmul Structured version   Unicode version

Theorem mplmonmul 18631
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2428 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 18630 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 18630 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 18610 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2432 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  oF  +  Y
)  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
1615ifbid 3876 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4459 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1918snssd 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
2019resmptd 5118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2120oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
229ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
23 ringmnd 17732 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2510ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  D )
26 iftrue 3860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
27 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
28 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
297, 28eqeltri 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3026, 27, 29fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3125, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
32 ssrab2 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
C_  D
338ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
34 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
35 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
365, 35psrbagconcl 18540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
3733, 34, 18, 36syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
3832, 37sseldi 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e.  D )
39 eqeq1 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  oF  -  X )  =  Y ) )
4039ifbid 3876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
41 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
436, 42eqeltri 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4429, 43ifex 3922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4540, 41, 44fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4638, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4731, 46oveq12d 6267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
48 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4948, 7ringidcl 17744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5048, 6ring0cl 17745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 50ifcld 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5222, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5348, 3, 7ringlidm 17747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5422, 52, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
555psrbagf 18532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5633, 34, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
5756ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
588adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
5910adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
605psrbagf 18532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6158, 59, 60syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6261ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6362adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
645psrbagf 18532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
658, 12, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
6665adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
6766ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
6867adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
69 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
70 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
71 nn0cn 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
72 subadd 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7369, 70, 71, 72syl3an 1306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7457, 63, 68, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
75 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
7674, 75syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
7776ralbidva 2801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
78 mpteqb 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
79 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8178, 80mprg 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
82 mpteqb 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
83 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
8582, 84mprg 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
8677, 81, 853bitr4g 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
8756feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
8861feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
8988adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9033, 57, 63, 87, 89offval2 6506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9166feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9291adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9390, 92eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9458, 62, 67, 88, 91offval2 6506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oF  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9594adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( X  oF  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9687, 95eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  =  ( X  oF  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
9786, 93, 963bitr4d 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
9897ifbid 3876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
9947, 54, 983eqtrd 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10098, 52eqeltrrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
10199, 100eqeltrd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
102 fveq2 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
103 oveq2 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  oF  -  j )  =  ( k  oF  -  X ) )
104103fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )
105102, 104oveq12d 6267 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10648, 105gsumsn 17530 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10724, 25, 101, 106syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10821, 107, 993eqtrd 2466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1096gsum0 16464 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
110 disjsn 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1119ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1121, 48, 2, 5, 11mplelf 18600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
113112ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
114 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
11532, 114sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  D )
116113, 115ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1171, 48, 2, 5, 13mplelf 18600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
118117ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1198ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
120 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
1215, 35psrbagconcl 18540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
122119, 120, 114, 121syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
12332, 122sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e.  D )
124118, 123ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
12548, 3ringcl 17737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
126111, 116, 124, 125syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
127 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
128126, 127fmptd 6005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
129 ffn 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
130 fnresdisj 5647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
131128, 129, 1303syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
132131biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
133110, 132sylan2br 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
134133oveq2d 6265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
13562nn0red 10877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
136 nn0addge1 10867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
137135, 67, 136syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
138137ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
139 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14158, 62, 140, 88, 94ofrfval2 6507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
142138, 141mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) )
143 breq1 4369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oR  <_ 
( X  oF  +  Y )  <->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
144143elrab 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
14559, 142, 144sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( X  oF  +  Y ) } )
146 breq2 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( x  oR  <_  k  <->  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
147146rabbidv 3013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } )
148147eleq2d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } ) )
149145, 148syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } ) )
150149con3dimp 442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  oF  +  Y )
)
151150iffalsed 3865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
152109, 134, 1513eqtr4a 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
153108, 152pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1549adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
155 ringcmn 17754 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
156154, 155syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1575psrbaglefi 18539 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1588, 157sylan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  Fin )
159 ssdif 3543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16032, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
161160sseli 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
162112adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
163 eldifsni 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
164163adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
165164neneqd 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
166165iffalsed 3865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
167 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1685, 167rabex2 4520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
170166, 169suppss2 6904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
17143a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  e.  _V )
172162, 170, 169, 171suppssr 6901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
173161, 172sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
174173oveq1d 6264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )
175 eldifi 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
17648, 3, 6ringlz 17760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
177111, 124, 176syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
178175, 177sylan2 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
179174, 178eqtrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
180168rabex 4518 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V
181180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V )
182179, 181suppss2 6904 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } )
183168mptrabex 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V
184 funmpt 5580 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
185183, 184, 433pm3.2i 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )
186185a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
187 snfi 7604 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  Fin
188187a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { X }  e.  Fin )
189 suppssfifsupp 7851 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
190186, 188, 182, 189syl12anc 1262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
19148, 6, 156, 158, 128, 182, 190gsumres 17490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
192153, 191eqtr3d 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
193192mpteq2dva 4453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19417, 193syl5eq 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19514, 194eqtr4d 2465 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795    |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    oFcof 6487    oRcofr 6488   supp csupp 6869    ^m cmap 7427   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836   CCcc 9488   RRcr 9489    + caddc 9493    <_ cle 9627    - cmin 9811   NNcn 10560   NN0cn0 10820   Basecbs 15064   .rcmulr 15134   0gc0g 15281    gsumg cgsu 15282   Mndcmnd 16478  CMndccmn 17373   1rcur 17678   Ringcrg 17723   mPoly cmpl 18520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-tset 15152  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-psr 18523  df-mpl 18525
This theorem is referenced by:  mplcoe3  18633  mplcoe5  18635  mplmon2mul  18667
  Copyright terms: Public domain W3C validator