Theorem mplmonmul 17533

Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of ( x ^ 2 ) ( y ^ 2 ) with ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is ( x ^ 2 ) ( y ^ 3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors <. 2 , 2 , 0 >. and <. 0 , 1 , 3 >. are added to give <. 2 , 3 , 3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon.s	|- P = ( I mPoly R )
mplmon.b	|- B = ( Base ` P )
mplmon.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon.x	|- ( ph -> X e. D )
mplmonmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
mplmonmul.x	|- ( ph -> Y e. D )

Assertion

Ref	Expression
mplmonmul	|- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   f, I   ph, y   y, f, X   y, .0.   y, .1.   y, R   f, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul

Dummy variables j k x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon.s	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2441	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mplmonmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
5		mplmon.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
6		mplmon.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		mplmon.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
8		mplmon.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
9		mplmon.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mplmon.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10	mplmon 17532	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) e. B )
12		mplmonmul.x	. . . 4 |- ( ph -> Y e. D )
13	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12	mplmon 17532	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	mplmul 17512	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
15		eqeq1 2447	. . . . 5 |- ( y = k -> ( y = ( X oF + Y ) <-> k = ( X oF + Y ) ) )
16	15	ifbid 3808	. . . 4 |- ( y = k -> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
17	16	cbvmptv 4380	. . 3 |- ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
18		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } )
19	18	snssd 4015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } )
20		resmpt 5153	. . . . . . . . 9 |- ( { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
22	21	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
23	9	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
24		rngmnd 16644	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Mnd )
26	10	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. D )
27		iftrue 3794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .1. )
28		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) )
29		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) e. _V
30	7, 29	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. e. _V
31	27, 28, 30	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
32	26, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
33		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ k } C_ D
34	8	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
35		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
36		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ k }
37	5, 36	psrbagconcl 17433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
38	34, 35, 18, 37	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
39	33, 38	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. D )
40		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( k oF - X ) -> ( y = Y <-> ( k oF - X ) = Y ) )
41	40	ifbid 3808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( k oF - X ) -> if ( y = Y , .1. , .0. ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
42		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) )
43		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) e. _V
44	6, 43	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
45	30, 44	ifex 3855	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. _V
46	41, 42, 45	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - X ) e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
47	39, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
48	32, 47	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) )
49		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
50	49, 7	rngidcl 16655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
51	49, 6	rng0cl 16656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
52	50, 51	ifcld 3829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
53	23, 52	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
54	49, 3, 7	rnglidm 16658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
55	23, 53, 54	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
56	5	psrbagf 17422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
57	34, 35, 56	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
58	57	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
59	8	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
60	10	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. D )
61	5	psrbagf 17422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. W /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
62	59, 60, 61	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X : I --> NN0 )
63	62	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
64	63	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
65	5	psrbagf 17422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. W /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
66	8, 12, 65	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
67	66	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y : I --> NN0 )
68	67	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
69	68	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
70		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
71		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. CC )
72		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. CC )
73		subadd 9609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k ` z ) e. CC /\ ( X ` z ) e. CC /\ ( Y ` z ) e. CC ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
74	70, 71, 72, 73	syl3an 1255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k ` z ) e. NN0 /\ ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
75	58, 64, 69, 74	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
76		eqcom 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
77	75, 76	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
78	77	ralbidva 2729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
79		mpteqb 5785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) ) )
80		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
82	79, 81	mprg 2783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) )
83		mpteqb 5785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( k ` z ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
84		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k ` z ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( k ` z ) e. _V )
86	83, 85	mprg 2783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
87	78, 82, 86	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
88	57	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
89	62	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
90	89	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
91	34, 58, 64, 88, 90	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
92	67	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
93	92	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
94	91, 93	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) )
95	59, 63, 68, 89, 92	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
96	95	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
97	88, 96	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k = ( X oF + Y ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
98	87, 94, 97	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> k = ( X oF + Y ) ) )
99	98	ifbid 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
100	48, 55, 99	3eqtrd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
101	99, 53	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
102	100, 101	eqeltrd 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) )
103		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) )
104		oveq2 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = X -> ( k oF - j ) = ( k oF - X ) )
105	104	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) )
106	103, 105	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( j = X -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
107	49, 106	gsumsn 16441	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. D /\ ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
108	25, 26, 102, 107	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
109	22, 108, 100	3eqtrd 2477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
110	6	gsum0 15503	. . . . . . 7 |- ( R gsumg (/) ) = .0.
111		disjsn 3933	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. { x e. D | x oR <_ k } )
112	9	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
113	1, 49, 2, 5, 11	mplelf 17499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
114	113	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
115		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
116	33, 115	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. D )
117	114, 116	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) )
118	1, 49, 2, 5, 13	mplelf 17499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
119	118	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
120	8	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
121		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
122	5, 36	psrbagconcl 17433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
123	120, 121, 115, 122	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
124	33, 123	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
125	119, 124	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
126	49, 3	rngcl 16648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
127	112, 117, 125, 126	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
128		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
129	127, 128	fmptd 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
130		ffn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } )
131		fnresdisj 5518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
132	129, 130, 131	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
133	132	biimpa 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
134	111, 133	sylan2br 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
135	134	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg (/) ) )
136	63	nn0red 10633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. RR )
137		nn0addge1 10622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
138	136, 68, 137	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
139	138	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
140		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V )
142	59, 63, 141, 89, 95	ofrfval2 6336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oR <_ ( X oF + Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
143	139, 142	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X oR <_ ( X oF + Y ) )
144		breq1 4292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( X oF + Y ) <-> X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
145	144	elrab 3114	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
146	60, 143, 145	sylanbrc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
147		breq2 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( x oR <_ k <-> x oR <_ ( X oF + Y ) ) )
148	147	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( X oF + Y ) -> { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
149	148	eleq2d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( X e. { x e. D | x oR <_ k } <-> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } ) )
150	146, 149	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( k = ( X oF + Y ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } ) )
151	150	con3and 439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> -. k = ( X oF + Y ) )
152		iffalse 3796	. . . . . . . 8 |- ( -. k = ( X oF + Y ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
153	151, 152	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
154	110, 135, 153	3eqtr4a 2499	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
155	109, 154	pm2.61dan 784	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
156	9	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
157		rngcmn 16665	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
158	156, 157	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
159	5	psrbaglefi 17431	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
160	8, 159	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
161		ssdif 3488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. D | x oR <_ k } C_ D -> ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } ) )
162	33, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } )
163	162	sseli 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. ( D \ { X } ) )
164	113	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
165		eldifsni 3998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( D \ { X } ) -> y =/= X )
166	165	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> y =/= X )
167	166	neneqd 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> -. y = X )
168		iffalse 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
169	167, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
170		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
171	5, 170	rabex2 4442	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> D e. _V )
173	169, 172	suppss2 6722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
174	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. e. _V )
175	164, 173, 172, 174	suppssr 6719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( D \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
176	163, 175	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
177	176	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
178		eldifi 3475	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
179	49, 3, 6	rnglz 16671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
180	112, 125, 179	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
181	178, 180	sylan2 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
182	177, 181	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
183	171	rabex 4440	. . . . . . . 8 |- { x e. D | x oR <_ k } e. _V
184	183	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. _V )
185	182, 184	suppss2 6722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } )
186	171	mptrabex 5946	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V
187		funmpt 5451	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
188	186, 187, 44	3pm3.2i 1161	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V )
189	188	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) )
190		snfi 7386	. . . . . . . 8 |- { X } e. Fin
191	190	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { X } e. Fin )
192		suppssfifsupp 7631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { X } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
193	189, 191, 185, 192	syl12anc 1211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
194	49, 6, 158, 160, 129, 185, 193	gsumres 16388	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
195	155, 194	eqtr3d 2475	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
196	195	mpteq2dva 4375	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
197	17, 196	syl5eq 2485	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
198	14, 197	eqtr4d 2476	1 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   oFcof 6317   oRcofr 6318   supp csupp 6689   ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276   RRcr 9277   + caddc 9281   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   gsum_g cgsu 14375   Mndcmnd 15405  CMndccmn 16270   1rcur 16593   Ringcrg 16635   mPoly cmpl 17398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-psr 17407  df-mpl 17409

This theorem is referenced by:  mplcoe3  17535  mplcoe3OLD  17536  mplcoe2  17537  mplcoe2OLD  17538  mplmon2mul  17571