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Theorem mplmonmul 17925
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 17924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 17924 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 17904 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  oF  +  Y
)  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
1615ifbid 3961 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4538 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1918snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
20 resmpt 5323 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 17009 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
375, 36psrbagconcl 17824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
3933, 38sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  oF  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 4008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 17020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 17021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
5250, 51ifcld 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5323, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5449, 3, 7rnglidm 17023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5523, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
565psrbagf 17813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5734, 35, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
5857ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
598adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6010adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
615psrbagf 17813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6259, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6362ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
655psrbagf 17813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
668, 12, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
6867ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
70 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
71 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
72 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
73 subadd 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7470, 71, 72, 73syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7558, 64, 69, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
76 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
7775, 76syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
7877ralbidva 2900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
79 mpteqb 5964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
80 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8279, 81mprg 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
83 mpteqb 5964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
84 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
8683, 85mprg 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
8778, 82, 863bitr4g 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
8857feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
8962feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9134, 58, 64, 88, 90offval2 6540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9267feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9491, 93eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9559, 63, 68, 89, 92offval2 6540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oF  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( X  oF  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9788, 96eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  =  ( X  oF  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
9887, 94, 973bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
9998ifbid 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10048, 55, 993eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10199, 53eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
102100, 101eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
103 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
104 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  oF  -  j )  =  ( k  oF  -  X ) )
105104fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )
106103, 105oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10749, 106gsumsn 16784 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10825, 26, 102, 107syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10922, 108, 1003eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1106gsum0 15832 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
111 disjsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1131, 49, 2, 5, 11mplelf 17891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
115 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
11633, 115sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  D )
117114, 116ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1181, 49, 2, 5, 13mplelf 17891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1208ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
121 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
1225, 36psrbagconcl 17824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
123120, 121, 115, 122syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
12433, 123sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e.  D )
125119, 124ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
12649, 3rngcl 17013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
127112, 117, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
128 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
129127, 128fmptd 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
130 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
131 fnresdisj 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
132129, 130, 1313syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
133132biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
134111, 133sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
135134oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
13663nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
137 nn0addge1 10842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
138136, 68, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
139138ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
140 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14259, 63, 141, 89, 95ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
143139, 142mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) )
144 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oR  <_ 
( X  oF  +  Y )  <->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
145144elrab 3261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
14660, 143, 145sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( X  oF  +  Y ) } )
147 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( x  oR  <_  k  <->  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
148147rabbidv 3105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } )
149148eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } ) )
150146, 149syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } ) )
151150con3dimp 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  oF  +  Y )
)
152 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
153151, 152syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
154110, 135, 1533eqtr4a 2534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
155109, 154pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1569adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
157 rngcmn 17030 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
158156, 157syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1595psrbaglefi 17822 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1608, 159sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  Fin )
161 ssdif 3639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16233, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
163162sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
164113adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
165 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
166165adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
167166neneqd 2669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
168 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
170 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1715, 170rabex2 4600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
173169, 172suppss2 6934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
17444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  e.  _V )
175164, 173, 172, 174suppssr 6931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
176163, 175sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
177176oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )
178 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
17949, 3, 6rnglz 17036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
180112, 125, 179syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
181178, 180sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
182177, 181eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
183171rabex 4598 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V
184183a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V )
185182, 184suppss2 6934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } )
186171mptrabex 6132 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V
187 funmpt 5624 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
188186, 187, 443pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )
189188a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
190 snfi 7596 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  Fin
191190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { X }  e.  Fin )
192 suppssfifsupp 7844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
193189, 191, 185, 192syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
19449, 6, 158, 160, 129, 185, 193gsumres 16724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
195155, 194eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
196195mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19717, 196syl5eq 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19814, 197eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522    oRcofr 6523   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   CCcc 9490   RRcr 9491    + caddc 9495    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726  CMndccmn 16604   1rcur 16955   Ringcrg 17000   mPoly cmpl 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-psr 17804  df-mpl 17806
This theorem is referenced by:  mplcoe3  17927  mplcoe3OLD  17928  mplcoe5  17930  mplcoe2OLD  17932  mplmon2mul  17965
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