Theorem mplmonmul 18321

Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of ( x ^ 2 ) ( y ^ 2 ) with ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is ( x ^ 2 ) ( y ^ 3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors <. 2 , 2 , 0 >. and <. 0 , 1 , 3 >. are added to give <. 2 , 3 , 3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon.s	|- P = ( I mPoly R )
mplmon.b	|- B = ( Base ` P )
mplmon.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon.x	|- ( ph -> X e. D )
mplmonmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
mplmonmul.x	|- ( ph -> Y e. D )

Assertion

Ref	Expression
mplmonmul	|- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   f, I   ph, y   y, f, X   y, .0.   y, .1.   y, R   f, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul

Dummy variables j k x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon.s	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2454	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mplmonmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
5		mplmon.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
6		mplmon.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		mplmon.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
8		mplmon.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
9		mplmon.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mplmon.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10	mplmon 18320	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) e. B )
12		mplmonmul.x	. . . 4 |- ( ph -> Y e. D )
13	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12	mplmon 18320	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	mplmul 18300	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
15		eqeq1 2458	. . . . 5 |- ( y = k -> ( y = ( X oF + Y ) <-> k = ( X oF + Y ) ) )
16	15	ifbid 3951	. . . 4 |- ( y = k -> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
17	16	cbvmptv 4530	. . 3 |- ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
18		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } )
19	18	snssd 4161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } )
20	19	resmptd 5313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
21	20	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
22	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
23		ringmnd 17402	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Mnd )
25	10	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. D )
26		iftrue 3935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .1. )
27		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) )
28		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) e. _V
29	7, 28	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. e. _V
30	26, 27, 29	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
31	25, 30	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
32		ssrab2 3571	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ k } C_ D
33	8	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
34		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
35		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ k }
36	5, 35	psrbagconcl 18220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
37	33, 34, 18, 36	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
38	32, 37	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. D )
39		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( k oF - X ) -> ( y = Y <-> ( k oF - X ) = Y ) )
40	39	ifbid 3951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( k oF - X ) -> if ( y = Y , .1. , .0. ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
41		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) )
42		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
44	29, 43	ifex 3997	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - X ) e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
46	38, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
47	31, 46	oveq12d 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) )
48		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
49	48, 7	ringidcl 17414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
50	48, 6	ring0cl 17415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
51	49, 50	ifcld 3972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
52	22, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
53	48, 3, 7	ringlidm 17417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
54	22, 52, 53	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
55	5	psrbagf 18209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
56	33, 34, 55	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
57	56	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
58	8	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
59	10	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. D )
60	5	psrbagf 18209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. W /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
61	58, 59, 60	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X : I --> NN0 )
62	61	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
63	62	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
64	5	psrbagf 18209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. W /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
65	8, 12, 64	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
66	65	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y : I --> NN0 )
67	66	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
68	67	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
69		nn0cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
70		nn0cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. CC )
71		nn0cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. CC )
72		subadd 9814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k ` z ) e. CC /\ ( X ` z ) e. CC /\ ( Y ` z ) e. CC ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3an 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k ` z ) e. NN0 /\ ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
74	57, 63, 68, 73	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
75		eqcom 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
76	74, 75	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
77	76	ralbidva 2890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
78		mpteqb 5946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) ) )
79		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
81	78, 80	mprg 2817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) )
82		mpteqb 5946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( k ` z ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
83		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k ` z ) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( k ` z ) e. _V )
85	82, 84	mprg 2817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
86	77, 81, 85	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
87	56	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
88	61	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
89	88	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
90	33, 57, 63, 87, 89	offval2 6529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
91	66	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
92	91	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
93	90, 92	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) )
94	58, 62, 67, 88, 91	offval2 6529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
95	94	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
96	87, 95	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k = ( X oF + Y ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
97	86, 93, 96	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> k = ( X oF + Y ) ) )
98	97	ifbid 3951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
99	47, 54, 98	3eqtrd 2499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
100	98, 52	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
101	99, 100	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) )
102		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) )
103		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = X -> ( k oF - j ) = ( k oF - X ) )
104	103	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) )
105	102, 104	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( j = X -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
106	48, 105	gsumsn 17177	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. D /\ ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
107	24, 25, 101, 106	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
108	21, 107, 99	3eqtrd 2499	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
109	6	gsum0 16104	. . . . . . 7 |- ( R gsumg (/) ) = .0.
110		disjsn 4076	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. { x e. D | x oR <_ k } )
111	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
112	1, 48, 2, 5, 11	mplelf 18287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
113	112	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
114		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
115	32, 114	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. D )
116	113, 115	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) )
117	1, 48, 2, 5, 13	mplelf 18287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
118	117	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
119	8	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
120		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
121	5, 35	psrbagconcl 18220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
122	119, 120, 114, 121	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
123	32, 122	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
124	118, 123	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
125	48, 3	ringcl 17407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
126	111, 116, 124, 125	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
127		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
128	126, 127	fmptd 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
129		ffn 5713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } )
130		fnresdisj 5673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
131	128, 129, 130	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
132	131	biimpa 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
133	110, 132	sylan2br 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
134	133	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg (/) ) )
135	62	nn0red 10849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. RR )
136		nn0addge1 10838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
137	135, 67, 136	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
138	137	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
139		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V )
141	58, 62, 140, 88, 94	ofrfval2 6530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oR <_ ( X oF + Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
142	138, 141	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X oR <_ ( X oF + Y ) )
143		breq1 4442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( X oF + Y ) <-> X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
144	143	elrab 3254	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
145	59, 142, 144	sylanbrc 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
146		breq2 4443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( x oR <_ k <-> x oR <_ ( X oF + Y ) ) )
147	146	rabbidv 3098	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( X oF + Y ) -> { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
148	147	eleq2d 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( X e. { x e. D | x oR <_ k } <-> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } ) )
149	145, 148	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( k = ( X oF + Y ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } ) )
150	149	con3dimp 439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> -. k = ( X oF + Y ) )
151	150	iffalsed 3940	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
152	109, 134, 151	3eqtr4a 2521	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
153	108, 152	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
154	9	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
155		ringcmn 17424	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
156	154, 155	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
157	5	psrbaglefi 18218	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
158	8, 157	sylan 469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
159		ssdif 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. D | x oR <_ k } C_ D -> ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } ) )
160	32, 159	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } )
161	160	sseli 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. ( D \ { X } ) )
162	112	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
163		eldifsni 4142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( D \ { X } ) -> y =/= X )
164	163	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> y =/= X )
165	164	neneqd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> -. y = X )
166	165	iffalsed 3940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
167		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
168	5, 167	rabex2 4590	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> D e. _V )
170	166, 169	suppss2 6926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
171	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. e. _V )
172	162, 170, 169, 171	suppssr 6923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( D \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
173	161, 172	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
174	173	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
175		eldifi 3612	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
176	48, 3, 6	ringlz 17430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
177	111, 124, 176	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
178	175, 177	sylan2 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
179	174, 178	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
180	168	rabex 4588	. . . . . . . 8 |- { x e. D | x oR <_ k } e. _V
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. _V )
182	179, 181	suppss2 6926	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } )
183	168	mptrabex 6119	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V
184		funmpt 5606	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
185	183, 184, 43	3pm3.2i 1172	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V )
186	185	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) )
187		snfi 7589	. . . . . . . 8 |- { X } e. Fin
188	187	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { X } e. Fin )
189		suppssfifsupp 7836	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { X } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
190	186, 188, 182, 189	syl12anc 1224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
191	48, 6, 156, 158, 128, 182, 190	gsumres 17120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
192	153, 191	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4525	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
194	17, 193	syl5eq 2507	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
195	14, 194	eqtr4d 2498	1 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   oRcofr 6512   supp csupp 6891   ^m cmap 7412   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   <_ cle 9618   - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929   gsum_g cgsu 14930   Mndcmnd 16118  CMndccmn 16997   1rcur 17348   Ringcrg 17393   mPoly cmpl 18197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-psr 18200  df-mpl 18202

This theorem is referenced by:  mplcoe3  18323  mplcoe3OLD  18324  mplcoe5  18326  mplcoe2OLD  18328  mplmon2mul  18361