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Theorem mplmonmul 18321
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 18320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 18320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 18300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  oF  +  Y
)  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
1615ifbid 3951 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4530 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1918snssd 4161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
2019resmptd 5313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2120oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
229ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
23 ringmnd 17402 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2510ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  D )
26 iftrue 3935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
28 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
297, 28eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3026, 27, 29fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
32 ssrab2 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
C_  D
338ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
34 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
35 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
365, 35psrbagconcl 18220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
3733, 34, 18, 36syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
3832, 37sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e.  D )
39 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  oF  -  X )  =  Y ) )
4039ifbid 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
41 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
436, 42eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4429, 43ifex 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4540, 41, 44fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4638, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4731, 46oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
48 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4948, 7ringidcl 17414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5048, 6ring0cl 17415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 50ifcld 3972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5222, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5348, 3, 7ringlidm 17417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5422, 52, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
555psrbagf 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5633, 34, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
5756ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
588adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
5910adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
605psrbagf 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6158, 59, 60syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6261ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6362adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
645psrbagf 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
658, 12, 64syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
6766ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
6867adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
69 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
70 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
71 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
72 subadd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7369, 70, 71, 72syl3an 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7457, 63, 68, 73syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
75 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
7674, 75syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
7776ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
78 mpteqb 5946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
79 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8178, 80mprg 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
82 mpteqb 5946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
83 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
8582, 84mprg 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
8677, 81, 853bitr4g 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
8756feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
8861feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
8988adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9033, 57, 63, 87, 89offval2 6529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9166feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9291adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9390, 92eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9458, 62, 67, 88, 91offval2 6529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oF  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9594adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( X  oF  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9687, 95eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  =  ( X  oF  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
9786, 93, 963bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
9897ifbid 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
9947, 54, 983eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10098, 52eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
10199, 100eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
102 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
103 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  oF  -  j )  =  ( k  oF  -  X ) )
104103fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )
105102, 104oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10648, 105gsumsn 17177 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10724, 25, 101, 106syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10821, 107, 993eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1096gsum0 16104 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
110 disjsn 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1119ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1121, 48, 2, 5, 11mplelf 18287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
113112ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
114 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
11532, 114sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  D )
116113, 115ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1171, 48, 2, 5, 13mplelf 18287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
118117ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1198ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
120 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
1215, 35psrbagconcl 18220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
122119, 120, 114, 121syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
12332, 122sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e.  D )
124118, 123ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
12548, 3ringcl 17407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
126111, 116, 124, 125syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
127 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
128126, 127fmptd 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
129 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
130 fnresdisj 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
131128, 129, 1303syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
132131biimpa 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
133110, 132sylan2br 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
134133oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
13562nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
136 nn0addge1 10838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
137135, 67, 136syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
138137ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
139 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14158, 62, 140, 88, 94ofrfval2 6530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
142138, 141mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) )
143 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oR  <_ 
( X  oF  +  Y )  <->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
144143elrab 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
14559, 142, 144sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( X  oF  +  Y ) } )
146 breq2 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( x  oR  <_  k  <->  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
147146rabbidv 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } )
148147eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } ) )
149145, 148syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } ) )
150149con3dimp 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  oF  +  Y )
)
151150iffalsed 3940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
152109, 134, 1513eqtr4a 2521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
153108, 152pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1549adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
155 ringcmn 17424 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
156154, 155syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1575psrbaglefi 18218 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1588, 157sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  Fin )
159 ssdif 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16032, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
161160sseli 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
162112adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
163 eldifsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
164163adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
165164neneqd 2656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
166165iffalsed 3940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
167 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1685, 167rabex2 4590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
170166, 169suppss2 6926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
17143a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  e.  _V )
172162, 170, 169, 171suppssr 6923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
173161, 172sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
174173oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )
175 eldifi 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
17648, 3, 6ringlz 17430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
177111, 124, 176syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
178175, 177sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
179174, 178eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
180168rabex 4588 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V
181180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V )
182179, 181suppss2 6926 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } )
183168mptrabex 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V
184 funmpt 5606 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
185183, 184, 433pm3.2i 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )
186185a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
187 snfi 7589 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  Fin
188187a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { X }  e.  Fin )
189 suppssfifsupp 7836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
190186, 188, 182, 189syl12anc 1224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
19148, 6, 156, 158, 128, 182, 190gsumres 17120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
192153, 191eqtr3d 2497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
193192mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19417, 193syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19514, 194eqtr4d 2498 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    oRcofr 6512   supp csupp 6891    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  CMndccmn 16997   1rcur 17348   Ringcrg 17393   mPoly cmpl 18197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-psr 18200  df-mpl 18202
This theorem is referenced by:  mplcoe3  18323  mplcoe3OLD  18324  mplcoe5  18326  mplcoe2OLD  18328  mplmon2mul  18361
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