Theorem mplmonmul 17925

Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of ( x ^ 2 ) ( y ^ 2 ) with ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is ( x ^ 2 ) ( y ^ 3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors <. 2 , 2 , 0 >. and <. 0 , 1 , 3 >. are added to give <. 2 , 3 , 3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon.s	|- P = ( I mPoly R )
mplmon.b	|- B = ( Base ` P )
mplmon.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon.x	|- ( ph -> X e. D )
mplmonmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
mplmonmul.x	|- ( ph -> Y e. D )

Assertion

Ref	Expression
mplmonmul	|- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   f, I   ph, y   y, f, X   y, .0.   y, .1.   y, R   f, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul

Dummy variables j k x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon.s	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mplmonmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
5		mplmon.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
6		mplmon.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		mplmon.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
8		mplmon.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
9		mplmon.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mplmon.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10	mplmon 17924	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) e. B )
12		mplmonmul.x	. . . 4 |- ( ph -> Y e. D )
13	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12	mplmon 17924	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	mplmul 17904	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
15		eqeq1 2471	. . . . 5 |- ( y = k -> ( y = ( X oF + Y ) <-> k = ( X oF + Y ) ) )
16	15	ifbid 3961	. . . 4 |- ( y = k -> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
17	16	cbvmptv 4538	. . 3 |- ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
18		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } )
19	18	snssd 4172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } )
20		resmpt 5323	. . . . . . . . 9 |- ( { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
22	21	oveq2d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
23	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
24		rngmnd 17009	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Mnd )
26	10	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. D )
27		iftrue 3945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .1. )
28		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) )
29		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) e. _V
30	7, 29	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. e. _V
31	27, 28, 30	fvmpt 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
32	26, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
33		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ k } C_ D
34	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
36		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ k }
37	5, 36	psrbagconcl 17824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
38	34, 35, 18, 37	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
39	33, 38	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. D )
40		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( k oF - X ) -> ( y = Y <-> ( k oF - X ) = Y ) )
41	40	ifbid 3961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( k oF - X ) -> if ( y = Y , .1. , .0. ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
42		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) )
43		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) e. _V
44	6, 43	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
45	30, 44	ifex 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. _V
46	41, 42, 45	fvmpt 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - X ) e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
47	39, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
48	32, 47	oveq12d 6302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) )
49		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
50	49, 7	rngidcl 17020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
51	49, 6	rng0cl 17021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
52	50, 51	ifcld 3982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
53	23, 52	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
54	49, 3, 7	rnglidm 17023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
55	23, 53, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
56	5	psrbagf 17813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
57	34, 35, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
58	57	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
59	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
60	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. D )
61	5	psrbagf 17813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. W /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
62	59, 60, 61	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X : I --> NN0 )
63	62	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
64	63	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
65	5	psrbagf 17813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. W /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
66	8, 12, 65	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
67	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y : I --> NN0 )
68	67	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
69	68	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
70		nn0cn 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
71		nn0cn 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. CC )
72		nn0cn 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. CC )
73		subadd 9823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k ` z ) e. CC /\ ( X ` z ) e. CC /\ ( Y ` z ) e. CC ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
74	70, 71, 72, 73	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k ` z ) e. NN0 /\ ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
75	58, 64, 69, 74	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
76		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
77	75, 76	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
78	77	ralbidva 2900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
79		mpteqb 5964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) ) )
80		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
82	79, 81	mprg 2827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) )
83		mpteqb 5964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( k ` z ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
84		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k ` z ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( k ` z ) e. _V )
86	83, 85	mprg 2827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
87	78, 82, 86	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
88	57	feqmptd 5920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
89	62	feqmptd 5920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
91	34, 58, 64, 88, 90	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
92	67	feqmptd 5920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
94	91, 93	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) )
95	59, 63, 68, 89, 92	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
97	88, 96	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k = ( X oF + Y ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
98	87, 94, 97	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> k = ( X oF + Y ) ) )
99	98	ifbid 3961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
100	48, 55, 99	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
101	99, 53	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
102	100, 101	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) )
103		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) )
104		oveq2 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = X -> ( k oF - j ) = ( k oF - X ) )
105	104	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) )
106	103, 105	oveq12d 6302	. . . . . . . . 9 |- ( j = X -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
107	49, 106	gsumsn 16784	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. D /\ ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
108	25, 26, 102, 107	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
109	22, 108, 100	3eqtrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
110	6	gsum0 15832	. . . . . . 7 |- ( R gsumg (/) ) = .0.
111		disjsn 4088	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. { x e. D | x oR <_ k } )
112	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
113	1, 49, 2, 5, 11	mplelf 17891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
114	113	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
115		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
116	33, 115	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. D )
117	114, 116	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) )
118	1, 49, 2, 5, 13	mplelf 17891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
119	118	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
120	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
121		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
122	5, 36	psrbagconcl 17824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
123	120, 121, 115, 122	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
124	33, 123	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
125	119, 124	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
126	49, 3	rngcl 17013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
127	112, 117, 125, 126	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
128		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
129	127, 128	fmptd 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
130		ffn 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } )
131		fnresdisj 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
132	129, 130, 131	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
133	132	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
134	111, 133	sylan2br 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
135	134	oveq2d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg (/) ) )
136	63	nn0red 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. RR )
137		nn0addge1 10842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
138	136, 68, 137	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
139	138	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
140		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V )
142	59, 63, 141, 89, 95	ofrfval2 6541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oR <_ ( X oF + Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
143	139, 142	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X oR <_ ( X oF + Y ) )
144		breq1 4450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( X oF + Y ) <-> X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
145	144	elrab 3261	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
146	60, 143, 145	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
147		breq2 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( x oR <_ k <-> x oR <_ ( X oF + Y ) ) )
148	147	rabbidv 3105	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( X oF + Y ) -> { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
149	148	eleq2d 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( X e. { x e. D | x oR <_ k } <-> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } ) )
150	146, 149	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( k = ( X oF + Y ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } ) )
151	150	con3dimp 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> -. k = ( X oF + Y ) )
152		iffalse 3948	. . . . . . . 8 |- ( -. k = ( X oF + Y ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
153	151, 152	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
154	110, 135, 153	3eqtr4a 2534	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
155	109, 154	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
156	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
157		rngcmn 17030	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
158	156, 157	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
159	5	psrbaglefi 17822	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
160	8, 159	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
161		ssdif 3639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. D | x oR <_ k } C_ D -> ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } ) )
162	33, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } )
163	162	sseli 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. ( D \ { X } ) )
164	113	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
165		eldifsni 4153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( D \ { X } ) -> y =/= X )
166	165	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> y =/= X )
167	166	neneqd 2669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> -. y = X )
168		iffalse 3948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
169	167, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
170		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
171	5, 170	rabex2 4600	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> D e. _V )
173	169, 172	suppss2 6934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
174	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. e. _V )
175	164, 173, 172, 174	suppssr 6931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( D \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
176	163, 175	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
177	176	oveq1d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
178		eldifi 3626	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
179	49, 3, 6	rnglz 17036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
180	112, 125, 179	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
181	178, 180	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
182	177, 181	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
183	171	rabex 4598	. . . . . . . 8 |- { x e. D | x oR <_ k } e. _V
184	183	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. _V )
185	182, 184	suppss2 6934	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } )
186	171	mptrabex 6132	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V
187		funmpt 5624	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
188	186, 187, 44	3pm3.2i 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V )
189	188	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) )
190		snfi 7596	. . . . . . . 8 |- { X } e. Fin
191	190	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { X } e. Fin )
192		suppssfifsupp 7844	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { X } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
193	189, 191, 185, 192	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
194	49, 6, 158, 160, 129, 185, 193	gsumres 16724	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
195	155, 194	eqtr3d 2510	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
196	195	mpteq2dva 4533	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
197	17, 196	syl5eq 2520	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
198	14, 197	eqtr4d 2511	1 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   oFcof 6522   oRcofr 6523   supp csupp 6901   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   CCcc 9490   RRcr 9491   + caddc 9495   <_ cle 9629   - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   gsum_g cgsu 14696   Mndcmnd 15726  CMndccmn 16604   1rcur 16955   Ringcrg 17000   mPoly cmpl 17801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-psr 17804  df-mpl 17806

This theorem is referenced by:  mplcoe3  17927  mplcoe3OLD  17928  mplcoe5  17930  mplcoe2OLD  17932  mplmon2mul  17965