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Theorem mplmonmul 17533
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2441 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 17532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 17532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 17512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2447 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  oF  +  Y
)  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
1615ifbid 3808 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4380 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1918snssd 4015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
20 resmpt 5153 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 16644 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
375, 36psrbagconcl 17433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
3933, 38sseldi 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  oF  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  oF  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 3855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  oF  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 16655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 16656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
5250, 51ifcld 3829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5323, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5449, 3, 7rnglidm 16658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5523, 53, 54syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  oF  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
565psrbagf 17422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5734, 35, 56syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
5857ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
598adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6010adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
615psrbagf 17422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6259, 60, 61syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6362ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6463adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
655psrbagf 17422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
668, 12, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
6766adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
6867ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
6968adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
70 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
71 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
72 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
73 subadd 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7470, 71, 72, 73syl3an 1255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7558, 64, 69, 74syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
76 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
7775, 76syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
7877ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
79 mpteqb 5785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
80 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8279, 81mprg 2783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
83 mpteqb 5785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
84 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
8683, 85mprg 2783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
8778, 82, 863bitr4g 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
8857feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
8962feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9089adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9134, 58, 64, 88, 90offval2 6335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9267feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9392adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9491, 93eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9559, 63, 68, 89, 92offval2 6335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oF  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9695adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( X  oF  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9788, 96eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  =  ( X  oF  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
9887, 94, 973bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  oF  +  Y ) ) )
9998ifbid 3808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( ( k  oF  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10048, 55, 993eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10199, 53eqeltrrd 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
102100, 101eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
103 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
104 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  oF  -  j )  =  ( k  oF  -  X ) )
105104fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )
106103, 105oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10749, 106gsumsn 16441 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10825, 26, 102, 107syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  X ) ) ) )
10922, 108, 1003eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1106gsum0 15503 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
111 disjsn 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
1129ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1131, 49, 2, 5, 11mplelf 17499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
114113ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
115 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
11633, 115sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
j  e.  D )
117114, 116ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1181, 49, 2, 5, 13mplelf 17499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
119118ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1208ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  W )
121 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
1225, 36psrbagconcl 17433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
123120, 121, 115, 122syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )
12433, 123sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  j )  e.  D )
125119, 124ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
12649, 3rngcl 16648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
127112, 117, 125, 126syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
128 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
129127, 128fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
130 ffn 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
131 fnresdisj 5518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
132129, 130, 1313syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
133132biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
134111, 133sylan2br 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
135134oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
13663nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
137 nn0addge1 10622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
138136, 68, 137syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
139138ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
140 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14259, 63, 141, 89, 95ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
143139, 142mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) )
144 breq1 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oR  <_ 
( X  oF  +  Y )  <->  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
145144elrab 3114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
14660, 143, 145sylanbrc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( X  oF  +  Y ) } )
147 breq2 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( x  oR  <_  k  <->  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y )
) )
148147rabbidv 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } )
149148eleq2d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  oF  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( X  oF  +  Y
) } ) )
150146, 149syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } ) )
151150con3and 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  oF  +  Y )
)
152 iffalse 3796 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  oF  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
153151, 152syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  oF  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
154110, 135, 1533eqtr4a 2499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
155109, 154pm2.61dan 784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1569adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
157 rngcmn 16665 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
158156, 157syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1595psrbaglefi 17431 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1608, 159sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  Fin )
161 ssdif 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16233, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
163162sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
164113adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
165 eldifsni 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
166165adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
167166neneqd 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
168 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
170 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1715, 170rabex2 4442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
173169, 172suppss2 6722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
17444a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  e.  _V )
175164, 173, 172, 174suppssr 6719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
176163, 175sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
177176oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )
178 eldifi 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } )
17949, 3, 6rnglz 16671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
180112, 125, 179syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
181178, 180sylan2 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
182177, 181eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) )  =  .0.  )
183171rabex 4440 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V
184183a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  e.  _V )
185182, 184suppss2 6722 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } )
186171mptrabex 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V
187 funmpt 5451 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )
188186, 187, 443pm3.2i 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )
189188a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
190 snfi 7386 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  Fin
191190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { X }  e.  Fin )
192 suppssfifsupp 7631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  { X } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
193189, 191, 185, 192syl12anc 1211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  oF  -  j ) ) ) ) finSupp  .0.  )
19449, 6, 158, 160, 129, 185, 193gsumres 16388 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
195155, 194eqtr3d 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) )
196195mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19717, 196syl5eq 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
19814, 197eqtr4d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  oF  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    oRcofr 6318   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276   RRcr 9277    + caddc 9281    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   .rcmulr 14235   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375   Mndcmnd 15405  CMndccmn 16270   1rcur 16593   Ringcrg 16635   mPoly cmpl 17398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-psr 17407  df-mpl 17409
This theorem is referenced by:  mplcoe3  17535  mplcoe3OLD  17536  mplcoe2  17537  mplcoe2OLD  17538  mplmon2mul  17571
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