Theorem mplmonmul 18631

Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of ( x ^ 2 ) ( y ^ 2 ) with ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is ( x ^ 2 ) ( y ^ 3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors <. 2 , 2 , 0 >. and <. 0 , 1 , 3 >. are added to give <. 2 , 3 , 3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon.s	|- P = ( I mPoly R )
mplmon.b	|- B = ( Base ` P )
mplmon.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon.x	|- ( ph -> X e. D )
mplmonmul.t	|- .x. = ( .r ` P )
mplmonmul.x	|- ( ph -> Y e. D )

Assertion

Ref	Expression
mplmonmul	|- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   y, D   f, I   ph, y   y, f, X   y, .0.   y, .1.   y, R   f, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul

Dummy variables j k x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon.s	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2428	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mplmonmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` P )
5		mplmon.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
6		mplmon.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		mplmon.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
8		mplmon.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
9		mplmon.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
10		mplmon.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. D )
11	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10	mplmon 18630	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) e. B )
12		mplmonmul.x	. . . 4 |- ( ph -> Y e. D )
13	1, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12	mplmon 18630	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	mplmul 18610	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
15		eqeq1 2432	. . . . 5 |- ( y = k -> ( y = ( X oF + Y ) <-> k = ( X oF + Y ) ) )
16	15	ifbid 3876	. . . 4 |- ( y = k -> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
17	16	cbvmptv 4459	. . 3 |- ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
18		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } )
19	18	snssd 4088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> { X } C_ { x e. D | x oR <_ k } )
20	19	resmptd 5118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) )
21	20	oveq2d 6265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
22	9	ad2antrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
23		ringmnd 17732	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Mnd )
25	10	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X e. D )
26		iftrue 3860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .1. )
27		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) )
28		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` R ) e. _V
29	7, 28	eqeltri 2502	. . . . . . . . . . . . 13 |- .1. e. _V
30	26, 27, 29	fvmpt 5908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
31	25, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) = .1. )
32		ssrab2 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ k } C_ D
33	8	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
34		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
35		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ k }
36	5, 35	psrbagconcl 18540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
37	33, 34, 18, 36	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
38	32, 37	sseldi 3405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) e. D )
39		eqeq1 2432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( k oF - X ) -> ( y = Y <-> ( k oF - X ) = Y ) )
40	39	ifbid 3876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( k oF - X ) -> if ( y = Y , .1. , .0. ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
41		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) )
42		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. e. _V
44	29, 43	ifex 3922	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. _V
45	40, 41, 44	fvmpt 5908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k oF - X ) e. D -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
46	38, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
47	31, 46	oveq12d 6267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) )
48		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
49	48, 7	ringidcl 17744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
50	48, 6	ring0cl 17745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
51	49, 50	ifcld 3897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
52	22, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
53	48, 3, 7	ringlidm 17747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
54	22, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .1. ( .r ` R ) if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) ) = if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) )
55	5	psrbagf 18532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
56	33, 34, 55	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
57	56	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
58	8	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
59	10	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. D )
60	5	psrbagf 18532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. W /\ X e. D ) -> X : I --> NN0 )
61	58, 59, 60	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X : I --> NN0 )
62	61	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
63	62	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 )
64	5	psrbagf 18532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. W /\ Y e. D ) -> Y : I --> NN0 )
65	8, 12, 64	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y : I --> NN0 )
66	65	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y : I --> NN0 )
67	66	ffvelrnda 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
68	67	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 )
69		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
70		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. CC )
71		nn0cn 10830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. CC )
72		subadd 9829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k ` z ) e. CC /\ ( X ` z ) e. CC /\ ( Y ` z ) e. CC ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3an 1306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k ` z ) e. NN0 /\ ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
74	57, 63, 68, 73	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) ) )
75		eqcom 2435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) = ( k ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
76	74, 75	syl6bb 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
77	76	ralbidva 2801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
78		mpteqb 5924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) ) )
79		ovex 6277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V )
81	78, 80	mprg 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> A. z e. I ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) = ( Y ` z ) )
82		mpteqb 5924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. I ( k ` z ) e. _V -> ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
83		fvex 5835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k ` z ) e. _V
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. I -> ( k ` z ) e. _V )
85	82, 84	mprg 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) <-> A. z e. I ( k ` z ) = ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
86	77, 81, 85	3bitr4g 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
87	56	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
88	61	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
89	88	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) )
90	33, 57, 63, 87, 89	offval2 6506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) )
91	66	feqmptd 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
92	91	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) )
93	90, 92	eqeq12d 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( X ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) )
94	58, 62, 67, 88, 91	offval2 6506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
95	94	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( X oF + Y ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
96	87, 95	eqeq12d 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k = ( X oF + Y ) <-> ( z e. I |-> ( k ` z ) ) = ( z e. I |-> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) ) )
97	86, 93, 96	3bitr4d 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( k oF - X ) = Y <-> k = ( X oF + Y ) ) )
98	97	ifbid 3876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( ( k oF - X ) = Y , .1. , .0. ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
99	47, 54, 98	3eqtrd 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
100	98, 52	eqeltrrd 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
101	99, 100	eqeltrd 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) )
102		fveq2 5825	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) )
103		oveq2 6257	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = X -> ( k oF - j ) = ( k oF - X ) )
104	103	fveq2d 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( j = X -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) )
105	102, 104	oveq12d 6267	. . . . . . . . 9 |- ( j = X -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
106	48, 105	gsumsn 17530	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ X e. D /\ ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
107	24, 25, 101, 106	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( j e. { X } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` X ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - X ) ) ) )
108	21, 107, 99	3eqtrd 2466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
109	6	gsum0 16464	. . . . . . 7 |- ( R gsumg (/) ) = .0.
110		disjsn 4003	. . . . . . . . 9 |- ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. { x e. D | x oR <_ k } )
111	9	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> R e. Ring )
112	1, 48, 2, 5, 11	mplelf 18600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
113	112	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
114		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
115	32, 114	sseldi 3405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> j e. D )
116	113, 115	ffvelrnd 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) )
117	1, 48, 2, 5, 13	mplelf 18600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
118	117	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
119	8	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> I e. W )
120		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> k e. D )
121	5, 35	psrbagconcl 18540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. W /\ k e. D /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
122	119, 120, 114, 121	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ k } )
123	32, 122	sseldi 3405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
124	118, 123	ffvelrnd 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
125	48, 3	ringcl 17737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
126	111, 116, 124, 125	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
127		eqid 2428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
128	126, 127	fmptd 6005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) )
129		ffn 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) : { x e. D | x oR <_ k } --> ( Base ` R ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } )
130		fnresdisj 5647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) Fn { x e. D | x oR <_ k } -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
131	128, 129, 130	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) <-> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) ) )
132	131	biimpa 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ ( { x e. D | x oR <_ k } i^i { X } ) = (/) ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
133	110, 132	sylan2br 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) = (/) )
134	133	oveq2d 6265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg (/) ) )
135	62	nn0red 10877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. RR )
136		nn0addge1 10867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. NN0 ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
137	135, 67, 136	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
138	137	ralrimiva 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) )
139		ovex 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ z e. I ) -> ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) e. _V )
141	58, 62, 140, 88, 94	ofrfval2 6507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X oR <_ ( X oF + Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) ) )
142	138, 141	mpbird 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X oR <_ ( X oF + Y ) )
143		breq1 4369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x oR <_ ( X oF + Y ) <-> X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
144	143	elrab 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } <-> ( X e. D /\ X oR <_ ( X oF + Y ) ) )
145	59, 142, 144	sylanbrc 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
146		breq2 4370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( x oR <_ k <-> x oR <_ ( X oF + Y ) ) )
147	146	rabbidv 3013	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( X oF + Y ) -> { x e. D | x oR <_ k } = { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } )
148	147	eleq2d 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( X oF + Y ) -> ( X e. { x e. D | x oR <_ k } <-> X e. { x e. D | x oR <_ ( X oF + Y ) } ) )
149	145, 148	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( k = ( X oF + Y ) -> X e. { x e. D | x oR <_ k } ) )
150	149	con3dimp 442	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> -. k = ( X oF + Y ) )
151	150	iffalsed 3865	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = .0. )
152	109, 134, 151	3eqtr4a 2488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ -. X e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
153	108, 152	pm2.61dan 798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) )
154	9	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
155		ringcmn 17754	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
156	154, 155	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
157	5	psrbaglefi 18539	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
158	8, 157	sylan 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. Fin )
159		ssdif 3543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x e. D | x oR <_ k } C_ D -> ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } ) )
160	32, 159	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) C_ ( D \ { X } )
161	160	sseli 3403	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. ( D \ { X } ) )
162	112	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
163		eldifsni 4069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( D \ { X } ) -> y =/= X )
164	163	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> y =/= X )
165	164	neneqd 2606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> -. y = X )
166	165	iffalsed 3865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ y e. ( D \ { X } ) ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) = .0. )
167		ovex 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
168	5, 167	rabex2 4520	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> D e. _V )
170	166, 169	suppss2 6904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
171	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. e. _V )
172	162, 170, 169, 171	suppssr 6901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( D \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
173	161, 172	sylan2 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) = .0. )
174	173	oveq1d 6264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
175		eldifi 3530	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) -> j e. { x e. D | x oR <_ k } )
176	48, 3, 6	ringlz 17760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
177	111, 124, 176	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ k } ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
178	175, 177	sylan2 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
179	174, 178	eqtrd 2462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ j e. ( { x e. D | x oR <_ k } \ { X } ) ) -> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) = .0. )
180	168	rabex 4518	. . . . . . . 8 |- { x e. D | x oR <_ k } e. _V
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { x e. D | x oR <_ k } e. _V )
182	179, 181	suppss2 6904	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } )
183	168	mptrabex 6096	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V
184		funmpt 5580	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) )
185	183, 184, 43	3pm3.2i 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V )
186	185	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) )
187		snfi 7604	. . . . . . . 8 |- { X } e. Fin
188	187	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { X } e. Fin )
189		suppssfifsupp 7851	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { X } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) supp .0. ) C_ { X } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
190	186, 188, 182, 189	syl12anc 1262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp .0. )
191	48, 6, 156, 158, 128, 182, 190	gsumres 17490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) |` { X } ) ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
192	153, 191	eqtr3d 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) = ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4453	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> if ( k = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
194	17, 193	syl5eq 2474	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ k } |-> ( ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) ` j ) ( .r ` R ) ( ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
195	14, 194	eqtr4d 2465	1 |- ( ph -> ( ( y e. D |-> if ( y = X , .1. , .0. ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = Y , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = ( X oF + Y ) , .1. , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   {csn 3941   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795   |` cres 4798   "cima 4799   Fun wfun 5538   Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   oFcof 6487   oRcofr 6488   supp csupp 6869   ^m cmap 7427   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836   CCcc 9488   RRcr 9489   + caddc 9493   <_ cle 9627   - cmin 9811   NNcn 10560   NN0cn0 10820   Basecbs 15064   .rcmulr 15134   0gc0g 15281   gsum_g cgsu 15282   Mndcmnd 16478  CMndccmn 17373   1rcur 17678   Ringcrg 17723   mPoly cmpl 18520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-tset 15152  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-psr 18523  df-mpl 18525

This theorem is referenced by:  mplcoe3  18633  mplcoe5  18635  mplmon2mul  18667