MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Unicode version

Theorem mplmon2 16508
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon2.v  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplmon2.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon2.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mplmon2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
mplmon2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplmon2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    y, B    y, D    f, I    f, K, y    y,  .1.    y, R    y, X    y,  .0.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y, f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon2.v . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
3 mplmon2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 mplmon2.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 mplmon2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 mplmon2.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mplmon2.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 mplmon2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 mplmon2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 mplmon2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  D )
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 16481 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  P )
)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 16465 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
15 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4314 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
176, 16eqeltri 2474 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
197adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
20 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
219, 20eqeltri 2474 . . . . 5  |-  .1.  e.  _V
22 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
238, 22eqeltri 2474 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2421, 23ifex 3757 . . . 4  |-  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
2524a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )
26 fconstmpt 4880 . . . 4  |-  ( D  X.  { X }
)  =  ( y  e.  D  |->  X )
2726a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { X } )  =  ( y  e.  D  |->  X ) )
28 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
2918, 19, 25, 27, 28offval2 6281 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r `  R
) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
30 oveq2 6048 . . . . 5  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3130eqeq1d 2412 . . . 4  |-  (  .1.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
32 oveq2 6048 . . . . 5  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
3332eqeq1d 2412 . . . 4  |-  (  .0.  =  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  )  ->  (
( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  <->  ( X ( .r `  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
343, 5, 9rngridm 15643 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  X )
3511, 7, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .1.  )  =  X )
36 iftrue 3705 . . . . . 6  |-  ( y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  X )
3736eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( y  =  K  ->  X  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
3835, 37sylan9eq 2456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .1.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
393, 5, 8rngrz 15656 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
4011, 7, 39syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
41 iffalse 3706 . . . . . 6  |-  ( -.  y  =  K  ->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  )  =  .0.  )
4241eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  K  ->  .0.  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4340, 42sylan9eq 2456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  K )  ->  ( X ( .r `  R )  .0.  )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4431, 33, 38, 43ifbothda 3729 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) )
4544mpteq2dv 4256 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  ( X ( .r
`  R ) if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
4614, 29, 453eqtrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  K ,  X ,  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   ifcif 3699   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   .scvsca 13488   0gc0g 13678   Ringcrg 15615   1rcur 15617   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  mplascl  16511  mplmon2cl  16515  mplmon2mul  16516  mplcoe4  16518  coe1tm  16620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-psr 16372  df-mpl 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator