MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Structured version   Unicode version

Theorem mplmon 17557
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplmon.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 16680 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 mplmon.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 16681 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
74, 6ifcld 3847 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
119, 10fmptd 5882 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
12 fvex 5716 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
13 mplmon.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 ovex 6131 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1513, 14rabex2 4460 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1612, 15elmap 7256 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1711, 16sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
20 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 17463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
2217, 21eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
2315mptex 5963 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V
24 funmpt 5469 . . . . 5  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
25 fvex 5716 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
265, 25eqeltri 2513 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2723, 24, 263pm3.2i 1166 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
29 snfi 7405 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  e.  Fin )
31 eldifsni 4016 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
3231adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
3332neneqd 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
34 iffalse 3814 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
3735, 36suppss2 6738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
38 suppssfifsupp 7650 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
3928, 30, 37, 38syl12anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
40 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
41 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4240, 18, 19, 5, 41mplelbas 17519 . 2  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
4322, 39, 42sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734   _Vcvv 2987    \ cdif 3340    C_ wss 3343   ifcif 3806   {csn 3892   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   `'ccnv 4854   "cima 4858   Fun wfun 5427   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supp csupp 6705    ^m cmap 7229   Fincfn 7325   finSupp cfsupp 7635   NNcn 10337   NN0cn0 10594   Basecbs 14189   0gc0g 14393   1rcur 16618   Ringcrg 16660   mPwSer cmps 17433   mPoly cmpl 17435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-tset 14272  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-psr 17438  df-mpl 17440
This theorem is referenced by:  mplmonmul  17558  mplcoe1  17559  mplbas2  17566  mplbas2OLD  17567  mplmon2  17590  mplmon2cl  17597  mplmon2mul  17598
  Copyright terms: Public domain W3C validator