MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Structured version   Unicode version

Theorem mplmon 17520
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplmon.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 16655 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 mplmon.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 16656 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
74, 6ifcld 3829 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
98adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
10 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
119, 10fmptd 5864 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
12 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
13 mplmon.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1513, 14rabex2 4442 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1612, 15elmap 7237 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1711, 16sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
18 eqid 2441 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
19 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
20 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 17426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
2217, 21eleqtrrd 2518 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
2315mptex 5945 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V
24 funmpt 5451 . . . . 5  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
25 fvex 5698 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
265, 25eqeltri 2511 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2723, 24, 263pm3.2i 1161 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
29 snfi 7386 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  e.  Fin )
31 eldifsni 3998 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
3231adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
3332neneqd 2622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
34 iffalse 3796 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
3735, 36suppss2 6722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
38 suppssfifsupp 7631 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
3928, 30, 37, 38syl12anc 1211 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
40 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
41 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4240, 18, 19, 5, 41mplelbas 17482 . 2  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
4322, 39, 42sylanbrc 659 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   0gc0g 14374   1rcur 16593   Ringcrg 16635   mPwSer cmps 17396   mPoly cmpl 17398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-psr 17401  df-mpl 17403
This theorem is referenced by:  mplmonmul  17521  mplcoe1  17522  mplbas2  17527  mplbas2OLD  17528  mplmon2  17551  mplmon2cl  17558  mplmon2mul  17559
  Copyright terms: Public domain W3C validator