MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon Structured version   Unicode version

Theorem mplmon 17896
Description: A monomial is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmon  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon
StepHypRef Expression
1 mplmon.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplmon.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 17006 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 mplmon.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 17007 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
74, 6ifcld 3982 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
119, 10fmptd 6043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
12 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
13 mplmon.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1513, 14rabex2 4600 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1612, 15elmap 7444 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1711, 16sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
20 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 17801 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
2217, 21eleqtrrd 2558 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
2315mptex 6129 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V
24 funmpt 5622 . . . . 5  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
25 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
265, 25eqeltri 2551 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
2723, 24, 263pm3.2i 1174 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
29 snfi 7593 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  e.  Fin )
31 eldifsni 4153 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
3231adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
3332neneqd 2669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
34 iffalse 3948 . . . . 5  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
3615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
3735, 36suppss2 6931 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
38 suppssfifsupp 7840 . . 3  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { X }  e.  Fin  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ X } ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
3928, 30, 37, 38syl12anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
40 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
41 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4240, 18, 19, 5, 41mplelbas 17858 . 2  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
4322, 39, 42sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   0gc0g 14691   1rcur 16943   Ringcrg 16986   mPwSer cmps 17771   mPoly cmpl 17773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-tset 14570  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-psr 17776  df-mpl 17778
This theorem is referenced by:  mplmonmul  17897  mplcoe1  17898  mplbas2  17905  mplbas2OLD  17906  mplmon2  17929  mplmon2cl  17936  mplmon2mul  17937
  Copyright terms: Public domain W3C validator