Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllsslemOLD Structured version   Unicode version

Theorem mpllsslemOLD 18416
 Description: If is an ideal of subsets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set of finite bags (the primary applications being and for some ), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of is a linear subspace of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) Obsolete version of mpllsslem 18414 as of 16-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubglemOLD.s mPwSer
mplsubglemOLD.b
mplsubglemOLD.z
mplsubglemOLD.d
mplsubglemOLD.i
mplsubglemOLD.0
mplsubgOLD.a
mplsubglemOLD.y
mplsubglemOLD.u
mpllsslemOLD.r
Assertion
Ref Expression
mpllsslemOLD
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem mpllsslemOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubglemOLD.s . . 3 mPwSer
2 mplsubglemOLD.i . . 3
3 mpllsslemOLD.r . . 3
41, 2, 3psrsca 18362 . 2 Scalar
5 eqidd 2403 . 2
6 mplsubglemOLD.b . . 3
76a1i 11 . 2
8 eqidd 2403 . 2
9 eqidd 2403 . 2
10 eqidd 2403 . 2
11 mplsubglemOLD.z . . . 4
12 mplsubglemOLD.d . . . 4
13 mplsubglemOLD.0 . . . 4
14 mplsubgOLD.a . . . 4
15 mplsubglemOLD.y . . . 4
16 mplsubglemOLD.u . . . 4
17 ringgrp 17523 . . . . 5
183, 17syl 17 . . . 4
191, 6, 11, 12, 2, 13, 14, 15, 16, 18mplsubglemOLD 18415 . . 3 SubGrp
206subgss 16526 . . 3 SubGrp
2119, 20syl 17 . 2
22 eqid 2402 . . . 4
2322subg0cl 16533 . . 3 SubGrp
24 ne0i 3744 . . 3
2519, 23, 243syl 18 . 2
2619adantr 463 . . 3 SubGrp
27 eqid 2402 . . . . . 6
28 eqid 2402 . . . . . 6
293adantr 463 . . . . . 6
30 simprl 756 . . . . . 6
31 simprr 758 . . . . . . . 8
3216adantr 463 . . . . . . . . . 10
3332eleq2d 2472 . . . . . . . . 9
34 cnveq 4997 . . . . . . . . . . . 12
3534imaeq1d 5156 . . . . . . . . . . 11
3635eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10
3736elrab 3207 . . . . . . . . 9
3833, 37syl6bb 261 . . . . . . . 8
3931, 38mpbid 210 . . . . . . 7
4039simpld 457 . . . . . 6
411, 27, 28, 6, 29, 30, 40psrvscacl 18366 . . . . 5
4239simprd 461 . . . . . . 7
431, 28, 12, 6, 41psrelbas 18352 . . . . . . . 8
44 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
4530adantr 463 . . . . . . . . . 10
4640adantr 463 . . . . . . . . . 10
47 eldifi 3565 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 464 . . . . . . . . . 10
491, 27, 28, 6, 44, 12, 45, 46, 48psrvscaval 18365 . . . . . . . . 9
501, 28, 12, 6, 40psrelbas 18352 . . . . . . . . . . 11
51 ssid 3461 . . . . . . . . . . . 12
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5350, 52suppssrOLD 5999 . . . . . . . . . 10
5453oveq2d 6294 . . . . . . . . 9
5528, 44, 11ringrz 17556 . . . . . . . . . . 11
5629, 30, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . 10
5756adantr 463 . . . . . . . . 9
5849, 54, 573eqtrd 2447 . . . . . . . 8
5943, 58suppssOLD 5998 . . . . . . 7
6042, 59ssexd 4541 . . . . . 6
6115expr 613 . . . . . . . . . 10
6261alrimiv 1740 . . . . . . . . 9
6362ralrimiva 2818 . . . . . . . 8
6463adantr 463 . . . . . . 7
65 sseq2 3464 . . . . . . . . . 10
6665imbi1d 315 . . . . . . . . 9
6766albidv 1734 . . . . . . . 8
6867rspcv 3156 . . . . . . 7
6942, 64, 68sylc 59 . . . . . 6
70 sseq1 3463 . . . . . . . 8
71 eleq1 2474 . . . . . . . 8
7270, 71imbi12d 318 . . . . . . 7
7372spcgv 3144 . . . . . 6
7460, 69, 59, 73syl3c 60 . . . . 5
7532eleq2d 2472 . . . . . 6
76 cnveq 4997 . . . . . . . . 9
7776imaeq1d 5156 . . . . . . . 8
7877eleq1d 2471 . . . . . . 7
7978elrab 3207 . . . . . 6
8075, 79syl6bb 261 . . . . 5
8141, 74, 80mpbir2and 923 . . . 4
82813adantr3 1158 . . 3
83 simpr3 1005 . . 3
84 eqid 2402 . . . 4
8584subgcl 16535 . . 3 SubGrp
8626, 82, 83, 85syl3anc 1230 . 2
874, 5, 7, 8, 9, 10, 21, 25, 86islssd 17902 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974  wal 1403   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  crab 2758  cvv 3059   cdif 3411   cun 3412   wss 3414  c0 3738  csn 3972  ccnv 4822  cima 4826  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmap 7457  cfn 7554  cn 10576  cn0 10836  cbs 14841   cplusg 14909  cmulr 14910  cvsca 14913  c0g 15054  cgrp 16377  SubGrpcsubg 16519  crg 17518  clss 17898   mPwSer cmps 18320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-tset 14928  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-subg 16522  df-mgp 17462  df-ring 17520  df-lss 17899  df-psr 18325 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator