MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllss Structured version   Unicode version

Theorem mpllss 17494
Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mpllss  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )

Proof of Theorem mpllss
Dummy variables  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2441 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 eqid 2441 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplsubg.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 0fin 7536 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Fin )
8 unfi 7575 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
98adantl 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  e. 
Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
10 ssfi 7529 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
1110adantl 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  Fin )
12 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
13 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
141, 12, 13, 5mplsubglem2 17492 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( g supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin } )
15 mpllss.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15mpllsslem 17489 1  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717    u. cun 3323    C_ wss 3325   (/)c0 3634   `'ccnv 4835   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   0gc0g 14374   Ringcrg 16635   LSubSpclss 16991   mPwSer cmps 17396   mPoly cmpl 17398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671  df-mgp 16582  df-rng 16637  df-lss 16992  df-psr 17401  df-mpl 17403
This theorem is referenced by:  mpllmod  17508  mplassa  17511  mplbas2  17527  mplbas2OLD  17528  mplind  17560  ply1lss  17628
  Copyright terms: Public domain W3C validator