MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllss Structured version   Unicode version

Theorem mpllss 17969
Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mpllss  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )

Proof of Theorem mpllss
Dummy variables  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2467 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 eqid 2467 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplsubg.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 0fin 7759 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Fin )
8 unfi 7799 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
98adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  e. 
Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
10 ssfi 7752 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
1110adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  Fin )
12 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
13 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
141, 12, 13, 5mplsubglem2 17967 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( g supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin } )
15 mpllss.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15mpllsslem 17964 1  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   `'ccnv 5004   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Ringcrg 17070   LSubSpclss 17449   mPwSer cmps 17870   mPoly cmpl 17872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ring 17072  df-lss 17450  df-psr 17875  df-mpl 17877
This theorem is referenced by:  mpllmod  17983  mplassa  17986  mplbas2  18004  mplbas2OLD  18005  mplind  18037  ply1lss  18105
  Copyright terms: Public domain W3C validator