MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllss Structured version   Unicode version

Theorem mpllss 17516
Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplsubg.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplsubg.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
mplsubg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mpllss.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
mpllss  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )

Proof of Theorem mpllss
Dummy variables  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2443 . 2  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
4 eqid 2443 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplsubg.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 0fin 7540 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  Fin )
8 unfi 7579 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
98adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  e. 
Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
10 ssfi 7533 . . 3  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
1110adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  Fin )
12 mplsubg.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
13 mplsubg.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
141, 12, 13, 5mplsubglem2 17514 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  { g  e.  ( Base `  S
)  |  ( g supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin } )
15 mpllss.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15mpllsslem 17511 1  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   `'ccnv 4839   "cima 4843   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   0gc0g 14378   Ringcrg 16645   LSubSpclss 17013   mPwSer cmps 17418   mPoly cmpl 17420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-rng 16647  df-lss 17014  df-psr 17423  df-mpl 17425
This theorem is referenced by:  mpllmod  17530  mplassa  17533  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  mplind  17584  ply1lss  17652
  Copyright terms: Public domain W3C validator