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Theorem mplind 16517
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplind.sv  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplind.sy  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mplind.sp  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
mplind.st  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mplind.sc  |-  C  =  (algSc `  Y )
mplind.sb  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mplind.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
mplind.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
mplind.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
mplind.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
mplind.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mplind.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
mplind.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplind  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Distinct variable groups:    x, y,  .+    x, B, y    x, C, y    x, I    ph, x, y    x, H, y    x, K    x,  .x. , y    x, V   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    I( y)    K( y)    V( y)    X( x, y)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3521 . 2  |-  ( H  i^i  B )  C_  H
2 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
3 mplind.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 mplind.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrassa 16432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e. AssAlg )
6 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( H  i^i  B )  C_  B
7 mplind.sy . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
8 mplind.sb . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 crngrng 15629 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 16458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
12 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
1312subrgss 15824 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
156, 14syl5ss 3319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
16 mplind.sv . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( I mVar  R )
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 16507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
18 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( V : I --> B  ->  V  Fn  I )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
20 mplind.v . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  H )
2120ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  H )
22 fnfvrnss 5855 . . . . . . 7  |-  ( ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  H )  ->  ran  V  C_  H )
2319, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  H
)
24 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> B  ->  ran  V  C_  B )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  B
)
2623, 25ssind 3525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( H  i^i  B ) )
27 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) )  =  (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) )
2827, 12aspss 16346 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ran  V  C_  ( H  i^i  B
) )  ->  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ran  V )  C_  ( (AlgSpan `  ( I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
295, 15, 26, 28syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  C_  (
(AlgSpan `  ( I mPwSer  R
) ) `  ( H  i^i  B ) ) )
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 16486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  (
Base `  Y )
)
3130, 8syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ran  V )  =  B )
326a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  C_  B )
337mplassa 16472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
343, 4, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. AssAlg )
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  (algSc `  Y )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
3735, 36asclrhm 16355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y ) )
39 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
4139, 40rhm1 15786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  -> 
( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
4238, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
437, 3, 4mplsca 16463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  Y ) )
4443, 10eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Ring )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
4645, 39rngidcl 15639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  R
)
4943fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5048, 49syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
5147, 50eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K )
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( C `  x )  e.  H )
5352ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
54 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
) ) )
5554eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H ) )
5655rspcva 3010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H
)  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  H )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y
) ) )  e.  H )
5842, 57eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  H )
59 assarng 16335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  Ring )
6034, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
618, 40rngidcl 15639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  B )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  B )
63 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( 1r
`  Y )  e.  H  /\  ( 1r
`  Y )  e.  B ) )
6458, 62, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
65 ne0i 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  Y )  e.  ( H  i^i  B )  ->  ( H  i^i  B )  =/=  (/) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  =/=  (/) )
671sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( H  i^i  B )  ->  z  e.  H )
681sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( H  i^i  B )  ->  w  e.  H )
6967, 68anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( H  i^i  B )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( z  e.  H  /\  w  e.  H
) )
70 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  H )
7170caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( z  .+  w
)  e.  H )
7269, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  H )
73 assalmod 16334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e. AssAlg  ->  Y  e.  LMod )
7434, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
75 lmodgrp 15912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  LMod  ->  Y  e. 
Grp )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
78 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B
) )
796, 78sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  B )
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B
) )
816, 80sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B )
82 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
838, 82grpcl 14773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  ( z  .+  w
)  e.  B )
8477, 79, 81, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  B )
85 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z 
.+  w )  e.  H  /\  ( z 
.+  w )  e.  B ) )
8672, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( H  i^i  B
)  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8786anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B
) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B
) )  ->  (
z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B
) )
8887ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B ) )
89 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
9160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Ring )
92 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  ( H  i^i  B ) )
936, 92sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  B )
948, 89, 40, 90, 91, 93rngnegl 15658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  =  ( ( inv g `  Y ) `  z
) )
95 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ph )
96 rhmghm 15781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  e.  ( (Scalar `  Y ) RingHom  Y )  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
9738, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y ) )
98 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  Y ) )
9945, 98, 90ghminv 14968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( (Scalar `  Y )  GrpHom  Y )  /\  ( 1r `  (Scalar `  Y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10097, 47, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) ) )
10142fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( C `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
102100, 101eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  =  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) )
103 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  Y )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  Y )  e.  Grp )
10444, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Scalar `  Y )  e.  Grp )
10545, 98grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Scalar `  Y )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  Y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
) )
106104, 47, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
107106, 50eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K
)
108 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( C `  x )  =  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) ) )
109108eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) )  ->  ( ( C `
 x )  e.  H  <->  ( C `  ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) ) )  e.  H ) )
110109rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  Y )
) `  ( 1r `  (Scalar `  Y )
) )  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
111107, 53, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C `  (
( inv g `  (Scalar `  Y ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  Y ) ) ) )  e.  H
)
112102, 111eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  e.  H )
1141, 92sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  z  e.  H )
115 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  H )
116115caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  H  /\  z  e.  H ) )  -> 
( ( ( inv g `  Y ) `
 ( 1r `  Y ) )  .x.  z )  e.  H
)
11795, 113, 114, 116syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( (
( inv g `  Y ) `  ( 1r `  Y ) ) 
.x.  z )  e.  H )
11894, 117eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  H )
11976adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  Y  e.  Grp )
1208, 90grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  z  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B )
121119, 93, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  B )
122 elin 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( (
( inv g `  Y ) `  z
)  e.  H  /\  ( ( inv g `  Y ) `  z
)  e.  B ) )
123118, 121, 122sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) )
12488, 123jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( H  i^i  B ) )  ->  ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
125124ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z  .+  w )  e.  ( H  i^i  B )  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) )
1268, 82, 90issubg2 14914 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Grp  ->  (
( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12776, 126syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  C_  B  /\  ( H  i^i  B )  =/=  (/)  /\  A. z  e.  ( H  i^i  B ) ( A. w  e.  ( H  i^i  B ) ( z 
.+  w )  e.  ( H  i^i  B
)  /\  ( ( inv g `  Y ) `
 z )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) ) )
12832, 66, 125, 127mpbir3and 1137 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubGrp `  Y ) )
1291sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( H  i^i  B )  ->  x  e.  H )
1301sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H  i^i  B )  ->  y  e.  H )
131129, 130anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( H  i^i  B )  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) )  -> 
( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )
132131, 115sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  H )
13360adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
134 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  ( H  i^i  B
) )
1356, 134sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  x  e.  B )
136 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  ( H  i^i  B
) )
1376, 136sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  y  e.  B )
1388, 89rngcl 15632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
140 elin 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( x 
.x.  y )  e.  H  /\  ( x 
.x.  y )  e.  B ) )
141132, 139, 140sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( H  i^i  B
)  /\  y  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) )
142141ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x  .x.  y
)  e.  ( H  i^i  B ) )
1438, 40, 89issubrg2 15843 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
14460, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  ( 1r `  Y
)  e.  ( H  i^i  B )  /\  A. x  e.  ( H  i^i  B ) A. y  e.  ( H  i^i  B ) ( x 
.x.  y )  e.  ( H  i^i  B
) ) ) )
145128, 64, 142, 144mpbir3and 1137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  Y
) )
1467, 2, 8mplval2 16450 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( I mPwSer  R
)s 
B )
147146subsubrg 15849 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
148147simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
14911, 145, 148syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) ) )
150 assalmod 16334 . . . . . . 7  |-  ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1515, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mPwSer  R )  e.  LMod )
1522, 7, 8, 3, 10mpllss 16456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
15334adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e. AssAlg )
154 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
155 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  ( H  i^i  B ) )
1566, 155sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  B
)
157 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
15835, 36, 45, 8, 89, 157asclmul1 16353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( ( C `  z )  .x.  w
)  =  ( z ( .s `  Y
) w ) )
159153, 154, 156, 158syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  =  ( z ( .s `  Y ) w ) )
16050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  K  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
161154, 160eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  z  e.  K
)
16253adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )
163 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( C `  x )  =  ( C `  z ) )
164163eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( C `  x
)  e.  H  <->  ( C `  z )  e.  H
) )
165164rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  K  /\  A. x  e.  K  ( C `  x )  e.  H )  -> 
( C `  z
)  e.  H )
166161, 162, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( C `  z )  e.  H
)
1671, 155sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  w  e.  H
)
168166, 167jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )
169115caovclg 6198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( C `  z )  e.  H  /\  w  e.  H ) )  -> 
( ( C `  z )  .x.  w
)  e.  H )
170168, 169syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( ( C `
 z )  .x.  w )  e.  H
)
171159, 170eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  H
)
17274adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
1738, 36, 157, 45lmodvscl 15922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  B )  ->  ( z ( .s
`  Y ) w )  e.  B )
174172, 154, 156, 173syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  B
)
175 elin 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B )  <->  ( ( z ( .s `  Y
) w )  e.  H  /\  ( z ( .s `  Y
) w )  e.  B ) )
176171, 174, 175sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  w  e.  ( H  i^i  B ) ) )  ->  ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
177176ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) )
178 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  Y )  =  (
LSubSp `  Y )
17936, 45, 8, 157, 178islss4 15993 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  LMod  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
)  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
18074, 179syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  (SubGrp `  Y )  /\  A. z  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) A. w  e.  ( H  i^i  B
) ( z ( .s `  Y ) w )  e.  ( H  i^i  B ) ) ) )
181128, 177, 180mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  Y ) )
182 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )
183146, 182, 178lsslss 15992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  -> 
( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y )  <->  ( ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  C_  B ) ) )
184183simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I mPwSer  R
)  e.  LMod  /\  B  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  Y
) )  ->  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
185151, 152, 181, 184syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  i^i  B
)  e.  ( LSubSp `  ( I mPwSer  R ) ) )
18627, 12, 182aspid 16344 . . . . 5  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e. AssAlg  /\  ( H  i^i  B )  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( H  i^i  B )  e.  ( LSubSp `  (
I mPwSer  R ) ) )  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
1875, 149, 185, 186syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (AlgSpan `  (
I mPwSer  R ) ) `  ( H  i^i  B ) )  =  ( H  i^i  B ) )
18829, 31, 1873sstr3d 3350 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( H  i^i  B ) )
189 mplind.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
190188, 189sseldd 3309 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( H  i^i  B ) )
1911, 190sseldi 3306 1  |-  ( ph  ->  X  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641  SubGrpcsubg 14893    GrpHom cghm 14958   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963  AssAlgcasa 16324  AlgSpancasp 16325  algSccascl 16326   mPwSer cmps 16361   mVar cmvr 16362   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  mpfind  19918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374
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