MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelf Structured version   Unicode version

Theorem mplelf 18410
Description: A polynomial is defined as a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplelf.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplelf.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mplelf.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplelf.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplelf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplelf  |-  ( ph  ->  X : D --> K )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    P( f)    R( f)    K( f)    X( f)

Proof of Theorem mplelf
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 mplelf.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 mplelf.d . 2  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 eqid 2402 . 2  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
5 mplelf.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mplelf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
75, 1, 6, 4mplbasss 18409 . . 3  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
8 mplelf.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
97, 8sseldi 3439 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  ( I mPwSer  R ) ) )
101, 2, 3, 4, 9psrelbas 18350 1  |-  ( ph  ->  X : D --> K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   `'ccnv 4821   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   Fincfn 7553   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   mPwSer cmps 18318   mPoly cmpl 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-psr 18323  df-mpl 18325
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  18418  mplsubrglemOLD  18419  mplvscaval  18428  mplmonmul  18444  mplcoe1  18445  mplbas2  18452  mplbas2OLD  18453  mplcoe4  18486  evlslem2  18498  evlslem6  18499  evlslem6OLD  18500  evlslem1  18502  ply1basf  18559  mdegfval  22750  mdegleb  22754  mdegldg  22756  mdegaddle  22764  mdegvsca  22766  mdegle0  22767  mdegmullem  22768
  Copyright terms: Public domain W3C validator