MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelbas Structured version   Unicode version

Theorem mplelbas 17509
Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplelbas  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  X finSupp  .0.  ) )

Proof of Theorem mplelbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4300 . 2  |-  ( f  =  X  ->  (
f finSupp  .0.  <->  X finSupp  .0.  ) )
2 mplval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplval.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 mplval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 mplval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 mplbas.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
72, 3, 4, 5, 6mplbas 17508 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
81, 7elrab2 3124 1  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  X finSupp  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   finSupp cfsupp 7625   Basecbs 14179   0gc0g 14383   mPwSer cmps 17423   mPoly cmpl 17425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-nn 10328  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-psr 17428  df-mpl 17430
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  17522  mplsubrg  17524  mvrcl  17533  mplmon  17547  mplcoe1  17549  mplbas2  17556  mplelsfi  17577
  Copyright terms: Public domain W3C validator