MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelbas Unicode version

Theorem mplelbas 16449
Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplelbas  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) )

Proof of Theorem mplelbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5005 . . . 4  |-  ( f  =  X  ->  `' f  =  `' X
)
21imaeq1d 5161 . . 3  |-  ( f  =  X  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
32eleq1d 2470 . 2  |-  ( f  =  X  ->  (
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' X "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
4 mplval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
5 mplval.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
6 mplval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
7 mplval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 mplbas.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
94, 5, 6, 7, 8mplbas 16448 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin }
103, 9elrab2 3054 1  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  ( `' X " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Basecbs 13424   0gc0g 13678   mPwSer cmps 16361   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  16457  mplsubrg  16458  mvrcl  16467  mplmon  16481  mplcoe1  16483  mplbas2  16486  mplelsfi  16506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-psr 16372  df-mpl 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator