MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplelbas Structured version   Unicode version

Theorem mplelbas 18213
Description: Property of being a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplval.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mplval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplbas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mplelbas  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  X finSupp  .0.  ) )

Proof of Theorem mplelbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4459 . 2  |-  ( f  =  X  ->  (
f finSupp  .0.  <->  X finSupp  .0.  ) )
2 mplval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mplval.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 mplval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 mplval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6 mplbas.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
72, 3, 4, 5, 6mplbas 18212 . 2  |-  U  =  { f  e.  B  |  f finSupp  .0.  }
81, 7elrab2 3259 1  |-  ( X  e.  U  <->  ( X  e.  B  /\  X finSupp  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14643   0gc0g 14856   mPwSer cmps 18126   mPoly cmpl 18128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-psr 18131  df-mpl 18133
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  18226  mplsubrg  18228  mvrcl  18237  mplmon  18251  mplcoe1  18253  mplbas2  18260  mplelsfi  18281
  Copyright terms: Public domain W3C validator