MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcrng Structured version   Unicode version

Theorem mplcrng 17554
Description: The polynomial ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mplgrp.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
Assertion
Ref Expression
mplcrng  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )

Proof of Theorem mplcrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  ->  I  e.  V )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  ->  R  e.  CRing )
41, 2, 3psrcrng 17507 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  -> 
( I mPwSer  R )  e.  CRing )
5 mplgrp.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7 crngrng 16677 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
87adantl 466 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  ->  R  e.  Ring )
91, 5, 6, 2, 8mplsubrg 17541 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  -> 
( Base `  P )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )
105, 1, 6mplval2 17529 . . 3  |-  P  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  P
) )
1110subrgcrng 16891 . 2  |-  ( ( ( I mPwSer  R )  e.  CRing  /\  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  ( I mPwSer  R ) ) )  ->  P  e.  CRing )
124, 9, 11syl2anc 661 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   Ringcrg 16667   CRingccrg 16668  SubRingcsubrg 16883   mPwSer cmps 17440   mPoly cmpl 17442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-tset 14278  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-psr 17445  df-mpl 17447
This theorem is referenced by:  mplcoe2  17571  mplcoe2OLD  17572  mplbas2  17573  mplbas2OLD  17574  ply1coeOLD  17769
  Copyright terms: Public domain W3C validator