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Theorem mplcoe5lem 18448
Description: Lemma for mplcoe4 18486. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe5.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe5.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
mplcoe5.c  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
mplcoe5.s  |-  ( ph  ->  S  C_  I )
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .^ , y    .1. , k    x, y,  .1.    k, G, x    f,
k, x, y, I    ph, k, x, y    R, f, y    D, k, x, y    P, k, x    k, V, x    .0. , f, k, x, y    f, Y, k, x, y    k, W, y    y, G    y, V    y,  .^    S, k, y, x
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( x, k)    S( f)    .1. ( f)   
.^ ( f)    G( f)    V( f)    W( x, f)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3061 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
32elrnmpt 5069 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
k  e.  S  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  <->  E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) ) ) )
41, 3mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  <->  E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )
5 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
62elrnmpt 5069 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  S  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  <->  E. k  e.  S  y  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) ) ) )
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  <->  E. k  e.  S  y  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )
8 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  l ) )
9 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  ( V `  k )  =  ( V `  l ) )
108, 9oveq12d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  l  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) )
1110eqeq2d 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  l  ->  (
y  =  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) )  <->  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) ) )
1211cbvrexv 3034 . . . . . . . 8  |-  ( E. k  e.  S  y  =  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) )  <->  E. l  e.  S  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l
) ) )
13 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  (mulGrp `  P )
15 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
1614, 15mgpplusg 17463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
1716eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( .r `  P )
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .^  =  (.g
`  G )
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2221mplring 18432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
2319, 20, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
24 ringsrg 17555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. SRing
)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e. SRing )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  P  e. SRing )
2726adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  P  e. SRing )
2814ringmgp 17522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
31 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  C_  I )
3231sseld 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( l  e.  S  ->  l  e.  I ) )
3332imdistani 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  ( ph  /\  l  e.  I
) )
34 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
35 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
3635psrbag 18331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  W  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
3719, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) )
3938simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
4039ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  l  e.  I )  ->  ( Y `  l )  e.  NN0 )
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  ( Y `  l )  e.  NN0 )
42 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  V  =  ( I mVar  R )
4319adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  I  e.  W )
4420adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
4531sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  l  e.  I )
4621, 42, 13, 43, 44, 45mvrcl 18429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  ( V `  l )  e.  ( Base `  P
) )
4714, 13mgpbas 17465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
4847, 18mulgnn0cl 16480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  l )  e.  NN0  /\  ( V `  l )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  l
)  .^  ( V `  l ) )  e.  ( Base `  P
) )
4930, 41, 46, 48syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  (
( Y `  l
)  .^  ( V `  l ) )  e.  ( Base `  P
) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
( Y `  l
)  .^  ( V `  l ) )  e.  ( Base `  P
) )
5119adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  I  e.  W )
5220adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
5331sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  k  e.  I )
5421, 42, 13, 51, 52, 53mvrcl 18429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
5554adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
5639ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
5753, 56syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
5857adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
5946adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  ( V `  l )  e.  ( Base `  P
) )
6041adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  ( Y `  l )  e.  NN0 )
61 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
6245, 53anim12dan 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  S  /\  k  e.  S ) )  -> 
( l  e.  I  /\  k  e.  I
) )
63 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  l  ->  ( V `  x )  =  ( V `  l ) )
6463oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  x ) )  =  ( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 l ) ) )
6563oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  l  ->  (
( V `  x
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  =  ( ( V `  l ) ( +g  `  G ) ( V `
 y ) ) )
6664, 65eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  l  ->  (
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) )  <->  ( ( V `  y )
( +g  `  G ) ( V `  l
) )  =  ( ( V `  l
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) ) ) )
67 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  k  ->  ( V `  y )  =  ( V `  k ) )
6867oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  k  ->  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  l ) )  =  ( ( V `  k ) ( +g  `  G ) ( V `
 l ) ) )
6967oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  k  ->  (
( V `  l
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  =  ( ( V `  l ) ( +g  `  G ) ( V `
 k ) ) )
7068, 69eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 l ) )  =  ( ( V `
 l ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) )  <->  ( ( V `  k )
( +g  `  G ) ( V `  l
) )  =  ( ( V `  l
) ( +g  `  G
) ( V `  k ) ) ) )
7166, 70rspc2v 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( l  e.  I  /\  k  e.  I )  ->  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( V `
 y ) ( +g  `  G ) ( V `  x
) )  =  ( ( V `  x
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  -> 
( ( V `  k ) ( +g  `  G ) ( V `
 l ) )  =  ( ( V `
 l ) ( +g  `  G ) ( V `  k
) ) ) )
7262, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  S  /\  k  e.  S ) )  -> 
( A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( V `
 y ) ( +g  `  G ) ( V `  x
) )  =  ( ( V `  x
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  -> 
( ( V `  k ) ( +g  `  G ) ( V `
 l ) )  =  ( ( V `
 l ) ( +g  `  G ) ( V `  k
) ) ) )
7372com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  x ) )  =  ( ( V `  x ) ( +g  `  G ) ( V `
 y ) )  ->  ( ( ph  /\  ( l  e.  S  /\  k  e.  S
) )  ->  (
( V `  k
) ( +g  `  G
) ( V `  l ) )  =  ( ( V `  l ) ( +g  `  G ) ( V `
 k ) ) ) )
7473expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  x ) )  =  ( ( V `  x ) ( +g  `  G ) ( V `
 y ) )  ->  ( ph  ->  ( ( l  e.  S  /\  k  e.  S
)  ->  ( ( V `  k )
( +g  `  G ) ( V `  l
) )  =  ( ( V `  l
) ( +g  `  G
) ( V `  k ) ) ) ) )
7561, 74mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( l  e.  S  /\  k  e.  S )  ->  (
( V `  k
) ( +g  `  G
) ( V `  l ) )  =  ( ( V `  l ) ( +g  `  G ) ( V `
 k ) ) ) )
7675impl 618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
( V `  k
) ( +g  `  G
) ( V `  l ) )  =  ( ( V `  l ) ( +g  `  G ) ( V `
 k ) ) )
7713, 17, 14, 18, 27, 55, 59, 60, 76srgpcomp 17501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) ( +g  `  G
) ( V `  k ) )  =  ( ( V `  k ) ( +g  `  G ) ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) ) ) )
7813, 17, 14, 18, 27, 50, 55, 58, 77srgpcomp 17501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ( +g  `  G
) ( ( Y `
 l )  .^  ( V `  l ) ) )  =  ( ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) ( +g  `  G
) ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
79 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) )  /\  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ( +g  `  G ) ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) ) )
80 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) )  /\  x  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) ) ( +g  `  G ) ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )
8180ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) )  /\  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) x )  =  ( ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) ) ( +g  `  G ) ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )
8279, 81eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) )  /\  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x )  <->  ( (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) ( +g  `  G ) ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) )  =  ( ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l )
) ( +g  `  G
) ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ) )
8378, 82syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
( x  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  /\  y  =  ( ( Y `  l )  .^  ( V `  l
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
8483expd 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  S )  /\  k  e.  S )  ->  (
x  =  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) )  -> 
( y  =  ( ( Y `  l
)  .^  ( V `  l ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
8584rexlimdva 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  ( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  ->  (
y  =  ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  l  e.  S )  ->  (
y  =  ( ( Y `  l ) 
.^  ( V `  l ) )  -> 
( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
8786rexlimdva 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. l  e.  S  y  =  ( ( Y `  l
)  .^  ( V `  l ) )  -> 
( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
8812, 87syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  S  y  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  -> 
( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
897, 88sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  ->  ( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
9089com23 78 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  S  x  =  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  -> 
( y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
914, 90sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  S  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
9291imp32 431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  /\  y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
9392ralrimivva 2824 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) A. y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
9429adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
9531sseld 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  S  ->  k  e.  I ) )
9695imdistani 688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( ph  /\  k  e.  I
) )
9796, 56syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
9854, 47syl6eleq 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  G
) )
99 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
10099, 18mulgnn0cl 16480 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  k )  e.  NN0  /\  ( V `  k )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  G
) )
10194, 97, 98, 100syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  G
) )
102101, 2fmptd 6032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) : S --> ( Base `  G )
)
103 frn 5719 . . . 4  |-  ( ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) ) : S --> ( Base `  G )  ->  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  C_  ( Base `  G ) )
104102, 103syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  C_  ( Base `  G ) )
105 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
106 eqid 2402 . . . 4  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
10799, 105, 106sscntz 16686 . . 3  |-  ( ( ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  C_  ( Base `  G )  /\  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ran  (
k  e.  S  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  A. x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) A. y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
108104, 104, 107syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  A. x  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) A. y  e.  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) )
10993, 108mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  S  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   ran crn 4823   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   Fincfn 7553   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241  .gcmg 16378  Cntzccntz 16675  mulGrpcmgp 17459   1rcur 17471  SRingcsrg 17475   Ringcrg 17516   mVar cmvr 18319   mPoly cmpl 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-srg 17476  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-psr 18323  df-mvr 18324  df-mpl 18325
This theorem is referenced by:  mplcoe5  18449
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