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Theorem mplcoe5 17895
 Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. Instead of assuming that is a commutative ring (as in mplcoe2 17896), it is sufficient that is a ring and all the variables of the multivariate polynomial commute. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p mPoly
mplcoe1.d
mplcoe1.z
mplcoe1.o
mplcoe1.i
mplcoe2.g mulGrp
mplcoe2.m .g
mplcoe2.v mVar
mplcoe5.r
mplcoe5.y
mplcoe5.c
Assertion
Ref Expression
mplcoe5 g
Distinct variable groups:   ,, ,   ,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem mplcoe5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe5.y . . . . . . . . 9
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11
43psrbag 17777 . . . . . . . . . 10
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9
61, 5mpbid 210 . . . . . . . 8
76simpld 459 . . . . . . 7
87feqmptd 5911 . . . . . 6
9 iftrue 3938 . . . . . . . . 9
109adantl 466 . . . . . . . 8
11 eldif 3479 . . . . . . . . . 10
12 ifid 3969 . . . . . . . . . . 11
13 frnnn0supp 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15 supp
142, 7, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 supp
15 eqimss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 supp
17 c0ex 9579 . . . . . . . . . . . . . 14
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
197, 16, 2, 18suppssr 6921 . . . . . . . . . . . 12
2019ifeq2d 3951 . . . . . . . . . . 11
2112, 20syl5reqr 2516 . . . . . . . . . 10
2211, 21sylan2br 476 . . . . . . . . 9
2322anassrs 648 . . . . . . . 8
2410, 23pm2.61dan 789 . . . . . . 7
2524mpteq2dva 4526 . . . . . 6
268, 25eqtr4d 2504 . . . . 5
2726eqeq2d 2474 . . . 4
2827ifbid 3954 . . 3
2928mpteq2dv 4527 . 2
30 cnvimass 5348 . . . . 5
31 fdm 5726 . . . . . 6
327, 31syl 16 . . . . 5
3330, 32syl5sseq 3545 . . . 4
346simprd 463 . . . . 5
35 sseq1 3518 . . . . . . . 8
36 noel 3782 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3836, 37mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4140mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . 13
42 fconstmpt 5035 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12
4443eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11
4544ifbid 3954 . . . . . . . . . 10
4645mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9
47 mpteq1 4520 . . . . . . . . . . . 12
48 mpt0 5699 . . . . . . . . . . . 12
4947, 48syl6eq 2517 . . . . . . . . . . 11
5049oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10 g g
51 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12 mulGrp
52 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52rngidval 16938 . . . . . . . . . . 11
5453gsum0 15816 . . . . . . . . . 10 g
5550, 54syl6eq 2517 . . . . . . . . 9 g
5646, 55eqeq12d 2482 . . . . . . . 8 g
5735, 56imbi12d 320 . . . . . . 7 g
5857imbi2d 316 . . . . . 6 g
59 sseq1 3518 . . . . . . . 8
60 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
6160ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13
6261mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12
6362eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11
6463ifbid 3954 . . . . . . . . . 10
6564mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9
66 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10
6766oveq2d 6291 . . . . . . . . 9 g g
6865, 67eqeq12d 2482 . . . . . . . 8 g g
6959, 68imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
7069imbi2d 316 . . . . . 6 g g
71 sseq1 3518 . . . . . . . 8
72 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
7372ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13
7473mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12
7574eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11
7675ifbid 3954 . . . . . . . . . 10
7776mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9
78 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10
7978oveq2d 6291 . . . . . . . . 9 g g
8077, 79eqeq12d 2482 . . . . . . . 8 g g
8171, 80imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
8281imbi2d 316 . . . . . 6 g g
83 sseq1 3518 . . . . . . . 8
84 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
8584ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13
8685mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12
8786eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11
8887ifbid 3954 . . . . . . . . . 10
8988mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9
90 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10
9190oveq2d 6291 . . . . . . . . 9 g g
9289, 91eqeq12d 2482 . . . . . . . 8 g g
9383, 92imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
9493imbi2d 316 . . . . . 6 g g
95 mplcoe1.p . . . . . . . . 9 mPoly
96 mplcoe1.z . . . . . . . . 9
97 mplcoe1.o . . . . . . . . 9
98 mplcoe5.r . . . . . . . . 9
9995, 3, 96, 97, 52, 2, 98mpl1 17870 . . . . . . . 8
10099eqcomd 2468 . . . . . . 7
101100a1d 25 . . . . . 6
102 ssun1 3660 . . . . . . . . . . 11
103 sstr2 3504 . . . . . . . . . . 11
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
105104imim1i 58 . . . . . . . . 9 g g
106 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . 12 g g
107 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15
1082adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
10998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 0nn0 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114111, 112, 113sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116114, 115fmptd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 frnnn0supp 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 supp
118108, 116, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 supp
119 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 eldifn 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123, 108suppss2 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 supp
125 ssfi 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 supp supp
126119, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 supp
127118, 126eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1283psrbag 17777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130116, 127, 129mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 ssun2 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134132, 133syl5ss 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136135snss 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137134, 136sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138110, 137ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1393snifpsrbag 17779 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140108, 138, 139syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
14195, 107, 96, 97, 3, 108, 109, 130, 131, 140mplmonmul 17890 . . . . . . . . . . . . . 14
142 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g
143 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 mVar
14495, 3, 96, 97, 108, 51, 142, 143, 109, 137, 138mplcoe3 17892 . . . . . . . . . . . . . . 15
145144oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14
146138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148146, 112, 147sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151108, 114, 148, 149, 150offval2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153152nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
154153addid2d 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155 elsni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
156155adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
157 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
158157ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
159156, 158eqneltrd 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
160159, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
161 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
162156, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
163156fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
164162, 163eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
165160, 164oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
166 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
167132, 166sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
168 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
170154, 165, 1693eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
171114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
172171nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
173172addid1d 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
175 elsn 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
176174, 175sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
177 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
179178oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
180 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
181 elun 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
182 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
183181, 182bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
184180, 183syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
185184adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
186185ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
187173, 179, 1863eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188170, 187pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189188mpteq2dva 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190151, 189eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191190eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192191ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15
193192mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . . 14
194141, 145, 1933eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . . 13
19551, 107mgpbas 16930 . . . . . . . . . . . . . 14
19651, 131mgpplusg 16928 . . . . . . . . . . . . . 14
197 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz Cntz
198 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14
19995mplrng 17878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2002, 98, 199syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20151rngmgp 16985 . . . . . . . . . . . . . . . 16
202200, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
203202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
2041adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
205 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
207206oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208206oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
209207, 208eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
211210oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
212210oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
213211, 212eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214209, 213cbvral2v 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215205, 214sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216215adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
21795, 3, 96, 97, 108, 51, 142, 143, 109, 204, 216, 133mplcoe5lem 17894 . . . . . . . . . . . . . 14 Cntz
218102, 133syl5ss 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219218sselda 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15
220202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2217ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22398adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22595, 143, 107, 222, 223, 224mvrcl 17875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226195, 142mulgnn0cl 15951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227220, 221, 225, 226syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
229219, 228syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
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