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Theorem mplcoe5 18685
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. Instead of assuming that 
R is a commutative ring (as in mplcoe2 18686), it is sufficient that  R is a ring and all the variables of the multivariate polynomial commute. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe5.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe5.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
mplcoe5.c  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
mplcoe5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,  .^ , y    .1. , k    x, y,  .1.    k, G, x    f,
k, x, y, I    ph, k, x, y    R, f, y    D, k, x, y    P, k, x    k, V, x    .0. , f, k, x, y    f, Y, k, x, y    k, W, y    y, G    y, V    y,  .^
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( x, k)    .1. ( f)    .^ ( f)    G( f)    V( f)    W( x, f)

Proof of Theorem mplcoe5
Dummy variables  i  w  z  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe5.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag 18581 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  W  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
61, 5mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) )
76simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
87feqmptd 5932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `
 i ) ) )
9 iftrue 3916 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
109adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
11 eldif 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
12 ifid 3947 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  ( Y `
 i )
13 frnnn0supp 10925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y : I --> NN0 )  ->  ( Y supp  0 )  =  ( `' Y " NN ) )
142, 7, 13syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y supp  0 )  =  ( `' Y " NN ) )
15 eqimss 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y supp  0 )  =  ( `' Y " NN )  ->  ( Y supp  0 )  C_  ( `' Y " NN ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y supp  0 ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
17 c0ex 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
197, 16, 2, 18suppssr 6955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  i )  =  0 )
2019ifeq2d 3929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
2112, 20syl5reqr 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2211, 21sylan2br 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2322anassrs 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
2410, 23pm2.61dan 799 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2524mpteq2dva 4508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `  i
) ) )
268, 25eqtr4d 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
2726eqeq2d 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  =  Y  <-> 
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
2827ifbid 3932 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2928mpteq2dv 4509 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
30 cnvimass 5205 . . . . 5  |-  ( `' Y " NN ) 
C_  dom  Y
31 fdm 5748 . . . . . 6  |-  ( Y : I --> NN0  ->  dom 
Y  =  I )
327, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  Y  =  I )
3330, 32syl5sseq 3513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  C_  I )
346simprd 465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  e.  Fin )
35 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
36 noel 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  i  e.  (/)
37 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  (/) ) )
3836, 37mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  i  e.  w )
3938iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
4039mpteq2dv 4509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  0 ) )
41 fconstmpt 4895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( i  e.  I  |->  0 )
4240, 41syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
4342eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
4443ifbid 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
4544mpteq2dv 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
46 mpteq1 4502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
47 mpt0 5721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  (/)
4846, 47syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  (/) )
4948oveq2d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
50 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  P )
51 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
5250, 51ringidval 17730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  G
)
5352gsum0 16514 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 1r
`  P )
5449, 53syl6eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( 1r `  P
) )
5545, 54eqeq12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P ) ) )
5635, 55imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( (/)  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) )
5756imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) ) )
58 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  I  <->  x  C_  I
) )
59 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  x ) )
6059ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
6160mpteq2dv 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
6261eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
6362ifbid 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
6463mpteq2dv 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
65 mpteq1 4502 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
6665oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
6764, 66eqeq12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
6858, 67imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
6968imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
70 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  I 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  I ) )
71 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
7271ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
7372mpteq2dv 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
7473eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
7574ifbid 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
7675mpteq2dv 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
77 mpteq1 4502 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
7877oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) )
7976, 78eqeq12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
8070, 79imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
8180imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
82 sseq1 3486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
w  C_  I  <->  ( `' Y " NN )  C_  I ) )
83 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
8483ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
8584mpteq2dv 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
8685eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
8786ifbid 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8887mpteq2dv 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
89 mpteq1 4502 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
9089oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
9188, 90eqeq12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
9282, 91imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
9392imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
94 mplcoe1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
95 mplcoe1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
96 mplcoe1.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
97 mplcoe5.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9894, 3, 95, 96, 51, 2, 97mpl1 18661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
9998eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) )
10099a1d 27 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) ) )
101 ssun1 3630 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
102 sstr2 3472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x 
C_  I ) )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x  C_  I )
104103imim1i 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
105 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) )
106 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1072adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  I  e.  W
)
10897adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  R  e.  Ring )
1097adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  Y : I --> NN0 )
110109ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
111 0nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  NN0
112 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  i
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
113110, 111, 112sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  e.  NN0 )
114 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
115113, 114fmptd 6059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
116 frnnn0supp 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) supp  0
)  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) " NN ) )
117107, 115, 116syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) supp  0 )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) " NN ) )
118 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  e.  Fin )
119 eldifn 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( I  \  x )  ->  -.  i  e.  x )
120119adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  -.  i  e.  x )
121120iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
122121, 107suppss2 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) supp  0 )  C_  x )
123 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) supp  0 )  C_  x
)  ->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) supp  0 )  e.  Fin )
124118, 122, 123syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) supp  0 )  e. 
Fin )
125117, 124eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1263psrbag 18581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
127107, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
128115, 125, 127mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  e.  D )
129 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
130 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
131 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I )
132130, 131syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  { z } 
C_  I )
133 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
134133snss 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  I  <->  { z }  C_  I )
135132, 134sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  z  e.  I
)
136109, 135ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
1373snifpsrbag 18583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) )  e.  D )
138107, 136, 137syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  e.  D )
13994, 106, 95, 96, 3, 107, 108, 128, 129, 138mplmonmul 18681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
140 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .^  =  (.g
`  G )
141 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( I mVar  R )
14294, 3, 95, 96, 107, 50, 140, 141, 108, 135, 136mplcoe3 18683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )
143142oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
144136adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
145 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Y `  z
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  e.  NN0 )
146144, 111, 145sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 )  e.  NN0 )
147 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
148 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )
149107, 113, 146, 147, 148offval2 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ) )
150110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
151150nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  CC )
152151addid2d 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( 0  +  ( Y `  i
) )  =  ( Y `  i ) )
153 elsni 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
154153adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  =  z )
155 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  -.  z  e.  x )
156155ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
157154, 156eqneltrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  x )
158157iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
159154iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  z
) )
160154fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  =  ( Y `  z ) )
161159, 160eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
162158, 161oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  ( Y `  i
) ) )
163 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  {
z } )
164130, 163sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  ( x  u.  { z } ) )
165164iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
166152, 162, 1653eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
167113adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
168167nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  CC )
169168addid1d 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
170 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  { z } )
171 elsn 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  { z }  <-> 
i  =  z )
172170, 171sylnib 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  =  z )
173172iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
174173oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 ) )
175 biorf 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  x  <->  ( i  e. 
{ z }  \/  i  e.  x )
) )
176 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  x  \/  i  e.  { z } ) )
177 orcom 389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  x  \/  i  e.  { z } )  <->  ( i  e.  { z }  \/  i  e.  x )
)
178176, 177bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  {
z }  \/  i  e.  x ) )
179175, 178syl6rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  i  e.  x ) )
180179adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  (
i  e.  ( x  u.  { z } )  <->  i  e.  x
) )
181180ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
182169, 174, 1813eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
183166, 182pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
184183mpteq2dva 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) )
185149, 184eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
186185eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
187186ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
188187mpteq2dv 4509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
189139, 143, 1883eqtr3rd 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
19050, 106mgpbas 17722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
19150, 129mgpplusg 17720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
192 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
193 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  =  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
19494mplring 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
1952, 97, 194syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
19650ringmgp 17779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
198197adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e.  Mnd )
1991adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  Y  e.  D
)
200 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
201 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  ( V `  x )  =  ( V `  a ) )
202201oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  x ) )  =  ( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) ) )
203201oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
( V `  x
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  =  ( ( V `  a ) ( +g  `  G ) ( V `
 y ) ) )
204202, 203eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) )  <->  ( ( V `  y )
( +g  `  G ) ( V `  a
) )  =  ( ( V `  a
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) ) ) )
205 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  b  ->  ( V `  y )  =  ( V `  b ) )
206205oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  a ) )  =  ( ( V `  b ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) ) )
207205oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  b  ->  (
( V `  a
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) )  =  ( ( V `  a ) ( +g  `  G ) ( V `
 b ) ) )
208206, 207eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) )  =  ( ( V `
 a ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) )  <->  ( ( V `  b )
( +g  `  G ) ( V `  a
) )  =  ( ( V `  a
) ( +g  `  G
) ( V `  b ) ) ) )
209204, 208cbvral2v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  y
) ( +g  `  G
) ( V `  x ) )  =  ( ( V `  x ) ( +g  `  G ) ( V `
 y ) )  <->  A. a  e.  I  A. b  e.  I 
( ( V `  b ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) )  =  ( ( V `
 a ) ( +g  `  G ) ( V `  b
) ) )
210200, 209sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  I 
( ( V `  b ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) )  =  ( ( V `
 a ) ( +g  `  G ) ( V `  b
) ) )
211210adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  I 
( ( V `  b ) ( +g  `  G ) ( V `
 a ) )  =  ( ( V `
 a ) ( +g  `  G ) ( V `  b
) ) )
21294, 3, 95, 96, 107, 50, 140, 141, 108, 199, 211, 131mplcoe5lem 18684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ran  ( k  e.  ( x  u.  {
z } )  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) )
213101, 131syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  C_  I
)
214213sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  I )
215197adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  G  e.  Mnd )
2167ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
2172adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  I  e.  W )
21897adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
219 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
22094, 141, 106, 217, 218, 219mvrcl 18666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
221190, 140mulgnn0cl 16767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  k )  e.  NN0  /\  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
222215, 216, 220, 221syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
223222adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
224214, 223syldan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
22594, 141, 106, 107, 108, 135mvrcl 18666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( V `  z )  e.  (
Base `  P )
)
226190, 140mulgnn0cl 16767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P
) )
227198, 136, 225, 226syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( Y `
 z )  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P ) )
228 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  z ) )
229 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  ( V `  k )  =  ( V `  z ) )
230228, 229oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) )
231230adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  =  z )  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  =  ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )
232190, 191, 192, 193, 198, 118, 212, 224, 135, 155, 227, 231gsumzunsnd 17581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z ) 
.^  ( V `  z ) ) ) )
233189, 232eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) ) )
234105, 233syl5ibr 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
235234expr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
236235a2d 30 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
237104, 236syl5 34 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
238237expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
239238a2d 30 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
24057, 69, 81, 93, 100, 239findcard2s 7816 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
24134, 240mpcom 38 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
24233, 241mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
24333resmptd 5173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
244243oveq2d 6319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
245 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
246222, 245fmptd 6059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) : I --> ( Base `  P
) )
247 ssid 3484 . . . . . 6  |-  I  C_  I
248247a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  C_  I )
24994, 3, 95, 96, 2, 50, 140, 141, 97, 1, 200, 248mplcoe5lem 18684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) ) )
2507, 16, 2, 18suppssr 6955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  k )  =  0 )
251250oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 0  .^  ( V `  k )
) )
252 eldifi 3588 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  ->  k  e.  I )
253252, 220sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
254190, 52, 140mulg0 16756 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  k )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
255253, 254syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
0  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
256251, 255eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
257256, 2suppss2 6958 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) supp  ( 1r
`  P ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
258 mptexg 6148 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  e.  _V )
2592, 258syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  e.  _V )
260 funmpt 5635 . . . . . 6  |-  Fun  (
k  e.  I  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )
261260a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
262 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  P )  e. 
_V
263262a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  e.  _V )
264 suppssfifsupp 7902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  /\  ( 1r `  P )  e. 
_V )  /\  (
( `' Y " NN )  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) supp  ( 1r
`  P ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) finSupp  ( 1r
`  P ) )
265259, 261, 263, 34, 257, 264syl32anc 1273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) finSupp  ( 1r `  P ) )
266190, 52, 192, 197, 2, 246, 249, 257, 265gsumzres 17536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
267242, 244, 2663eqtr2d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
26829, 267eqtrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   `'ccnv 4850   dom cdm 4851    |` cres 4853   "cima 4854   Fun wfun 5593   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    oFcof 6541   supp csupp 6923    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887   0cc0 9541    + caddc 9544   NNcn 10611   NN0cn0 10871   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332   Mndcmnd 16528  .gcmg 16665  Cntzccntz 16962  mulGrpcmgp 17716   1rcur 17728   Ringcrg 17773   mVar cmvr 18569   mPoly cmpl 18570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-srg 17733  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-psr 18573  df-mvr 18574  df-mpl 18575
This theorem is referenced by:  mplcoe2  18686  ply1coe  18882
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