MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe4 Unicode version

Theorem mplcoe4 16518
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of scaled monomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe4.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe4.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe4.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplcoe4.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe4.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplcoe4  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( X `
 k ) ,  .0.  ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k, y    B, k    D, k, y   
f, I, k, y    P, k, y    R, f, k, y    k, W   
f, X, k, y    .0. , f, k, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( f)    W( y, f)

Proof of Theorem mplcoe4
StepHypRef Expression
1 mplcoe4.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplcoe4.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
3 mplcoe4.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 eqid 2404 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
5 mplcoe4.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mplcoe4.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 eqid 2404 . . 3  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
8 mplcoe4.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 mplcoe4.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mplcoe1 16483 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
125adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
138adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
14 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  k  e.  D )
151, 11, 6, 2, 9mplelf 16452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ffvelrnda 5829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
171, 7, 2, 4, 3, 11, 12, 13, 14, 16mplmon2 16508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( X `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  .0.  )
) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( X `  k ) ,  .0.  ) ) )
1817mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( X `  k ) ,  .0.  ) ) ) )
1918oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( X `
 k ) ,  .0.  ) ) ) ) )
2010, 19eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  ( X `
 k ) ,  .0.  ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   ifcif 3699    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .scvsca 13488   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Ringcrg 15615   1rcur 15617   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  evlslem2  16523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-psr 16372  df-mpl 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator