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Theorem mplcoe2OLD 17897
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that  R is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) Obsolete version of mplcoe2 17896 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mplcoe2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplcoe2OLD  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Distinct variable groups:    .^ , k, y    .1. , k, y    k, G   
f, k, y, I    ph, k, y    R, f, y    D, k, y    P, k    k, V    .0. , f,
k, y    f, Y, k, y    k, W, y   
y, G    y, V    y, 
.^
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .1. ( f)    .^ ( f)    G( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem mplcoe2OLD
Dummy variables  i  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe2.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag 17777 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  W  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y : I --> NN0  /\  ( `' Y " NN )  e.  Fin ) )
76simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
87feqmptd 5911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `
 i ) ) )
9 iftrue 3938 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
11 eldif 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
12 ifid 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  ( Y `
 i )
13 nn0suppOLD 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y : I --> NN0  ->  ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' Y " NN ) )
15 eqimss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' Y " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' Y " NN )  ->  ( `' Y " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' Y "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' Y " NN ) )
177, 16suppssrOLD 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  i )  =  0 )
1817ifeq2d 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  ( Y `  i ) )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
1912, 18syl5reqr 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2011, 19sylan2br 476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2120anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  ( `' Y " NN ) )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
2210, 21pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
2322mpteq2dva 4526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( Y `  i
) ) )
248, 23eqtr4d 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
2524eqeq2d 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  =  Y  <-> 
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
2625ifbid 3954 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2726mpteq2dv 4527 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
28 cnvimass 5348 . . . . 5  |-  ( `' Y " NN ) 
C_  dom  Y
29 fdm 5726 . . . . . 6  |-  ( Y : I --> NN0  ->  dom 
Y  =  I )
307, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  Y  =  I )
3128, 30syl5sseq 3545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  C_  I )
326simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' Y " NN )  e.  Fin )
33 sseq1 3518 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  I  <->  (/)  C_  I
) )
34 noel 3782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  i  e.  (/)
35 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  (/) ) )
3634, 35mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  i  e.  w )
37 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  i  e.  w  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
3938mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  0 ) )
40 fconstmpt 5035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( i  e.  I  |->  0 )
4139, 40syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
4241eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  <-> 
y  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
4342ifbid 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
4443mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
45 mpteq1 4520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
46 mpt0 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  (/)
4745, 46syl6eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  (/) )
4847oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
49 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  (mulGrp `  P )
50 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
5149, 50rngidval 16938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  G
)
5251gsum0 15816 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 1r
`  P )
5348, 52syl6eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( 1r `  P
) )
5444, 53eqeq12d 2482 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P ) ) )
5533, 54imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( (/)  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) )
5655imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( 1r `  P
) ) ) ) )
57 sseq1 3518 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  I  <->  x  C_  I
) )
58 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  x ) )
5958ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
6059mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
6160eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
6261ifbid 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
6362mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
64 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
6564oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
6663, 65eqeq12d 2482 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
6757, 66imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
6867imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
69 sseq1 3518 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  I 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  I ) )
70 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  w  <->  i  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
7170ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
7271mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
7372eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
7473ifbid 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
7574mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
76 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) ) )
7776oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) )
7875, 77eqeq12d 2482 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
7969, 78imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
8079imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
81 sseq1 3518 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
w  C_  I  <->  ( `' Y " NN )  C_  I ) )
82 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  w  <->  i  e.  ( `' Y " NN ) ) )
8382ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
8483mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
8584eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ) )
8685ifbid 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8786mpteq2dv 4527 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
88 mpteq1 4520 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
8988oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
9087, 89eqeq12d 2482 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
9181, 90imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( w  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  <-> 
( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
9291imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( `' Y " NN )  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  w ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) ) )
93 mplcoe1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
94 mplcoe1.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
95 mplcoe1.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
96 mplcoe2.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
97 crngrng 16989 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9993, 3, 94, 95, 50, 2, 98mpl1 17870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
10099eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) )
101100a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  I  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( 1r
`  P ) ) )
102 ssun1 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
103 sstr2 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x 
C_  I ) )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  x  C_  I )
105104imim1i 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
106 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) )
107 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1082adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  I  e.  W
)
10998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  R  e.  Ring )
1107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  Y : I --> NN0 )
111110ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
112 0nn0 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  NN0
113 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  i
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
114111, 112, 113sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  e.  NN0 )
115 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )
116114, 115fmptd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
117 nn0suppOLD 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN ) )
119 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  e.  Fin )
120 eldifn 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( I  \  x )  ->  -.  i  e.  x )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  -.  i  e.  x )
122 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  e.  x  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  x ) )  ->  if (
i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  =  0 )
124123suppss2OLD 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x
)
125 ssfi 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  x )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  e.  Fin )
126119, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
127118, 126eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1283psrbag 17777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
130116, 127, 129mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  e.  D )
131 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
132 ssun2 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
133 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I )
134132, 133syl5ss 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  { z } 
C_  I )
135 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
136135snss 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  I  <->  { z }  C_  I )
137134, 136sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  z  e.  I
)
138110, 137ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
140 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y `  z
)  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  e.  NN0 )
141139, 112, 140sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  if (
i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 )  e.  NN0 )
142 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )
143141, 142fmptd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0 )
144 nn0suppOLD 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN ) )
146 snfi 7586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  e.  Fin
147 eldifsni 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( I  \  { z } )  ->  i  =/=  z
)
148147adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  -> 
i  =/=  z )
149148neneqd 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  -.  i  =  z
)
150 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  ( I  \  { z } ) )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
152151suppss2OLD 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )
153 ssfi 7730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { z } )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
154146, 152, 153sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
155145, 154eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
1563psrbag 17777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  W  ->  (
( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
157108, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
158143, 155, 157mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  e.  D )
15993, 107, 94, 95, 3, 108, 109, 130, 131, 158mplmonmul 17890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
160 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .^  =  (.g
`  G )
161 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  =  ( I mVar  R )
16293, 3, 94, 95, 108, 49, 160, 161, 109, 137, 138mplcoe3 17892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )
163162oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
164 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
165 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )
166108, 114, 141, 164, 165offval2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) ) )
167111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  NN0 )
168167nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  e.  CC )
169168addid2d 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( 0  +  ( Y `  i
) )  =  ( Y `  i ) )
170 elsni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  { z }  ->  i  =  z )
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  =  z )
172 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  -.  z  e.  x )
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
174171, 173eqneltrd 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  x )
175174, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  0 )
176 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  z  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `
 z ) )
177171, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  z
) )
178171fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( Y `  i )  =  ( Y `  z ) )
179177, 178eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  ( Y `  i
) )
180175, 179oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  ( Y `  i
) ) )
181 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  {
z } )
182132, 181sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  i  e.  ( x  u.  { z } ) )
183 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  ( Y `
 i ) )
185169, 180, 1843eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
186114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  NN0 )
187186nn0cnd 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  e.  CC )
188187addid1d 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )
189 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  e.  { z } )
190 elsn 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  { z }  <-> 
i  =  z )
191189, 190sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  -.  i  =  z )
192191, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 )  =  0 )
193192oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  0 ) )
194 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  x  <->  ( i  e. 
{ z }  \/  i  e.  x )
) )
195 elun 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  x  \/  i  e.  { z } ) )
196 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( i  e.  x  \/  i  e.  { z } )  <->  ( i  e.  { z }  \/  i  e.  x )
)
197195, 196bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( i  e.  {
z }  \/  i  e.  x ) )
198194, 197syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  i  e.  { z }  ->  ( i  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  i  e.  x ) )
199198adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  (
i  e.  ( x  u.  { z } )  <->  i  e.  x
) )
200199ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 )  =  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
201188, 193, 2003eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  I
) )  /\  i  e.  I )  /\  -.  i  e.  { z } )  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
202185, 201pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  i  e.  I
)  ->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z
) ,  0 ) )  =  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) )
203202mpteq2dva 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( i  e.  I  |->  ( if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 )  +  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) )
204166, 203eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) )
205204eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `  z ) ,  0 ) ) )  <->  y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ) )
206205ifbid 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
207206mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) )  oF  +  ( i  e.  I  |->  if ( i  =  z ,  ( Y `
 z ) ,  0 ) ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
208159, 163, 2073eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) ) )
20949, 107mgpbas 16930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  G )
21049, 131mgpplusg 16928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
21193mplcrng 17879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
2122, 96, 211syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
21349crngmgp 16987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e. CMnd )
216102, 133syl5ss 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  x  C_  I
)
217216sselda 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  I )
218 cmnmnd 16602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
219214, 218syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
220219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  G  e.  Mnd )
2217ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Y `  k )  e.  NN0 )
2222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  I  e.  W )
22398adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
224 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  k  e.  I )
22593, 161, 107, 222, 223, 224mvrcl 17875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
226209, 160mulgnn0cl 15951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  k )  e.  NN0  /\  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
227220, 221, 225, 226syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  e.  ( Base `  P
) )
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
229217, 228syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k
) )  e.  (
Base `  P )
)
230219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  G  e.  Mnd )
23193, 161, 107, 108, 109, 137mvrcl 17875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( V `  z )  e.  (
Base `  P )
)
232209, 160mulgnn0cl 15951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P
) )
233230, 138, 231, 232syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( Y `
 z )  .^  ( V `  z ) )  e.  ( Base `  P ) )
234 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( Y `  k )  =  ( Y `  z ) )
235 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( V `  k )  =  ( V `  z ) )
236234, 235oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) )
237209, 210, 215, 119, 229, 137, 172, 233, 236gsumunsn 16770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z ) 
.^  ( V `  z ) ) ) )
238208, 237eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( ( Y `  z
)  .^  ( V `  z ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ( .r `  P ) ( ( Y `  z )  .^  ( V `  z )
) ) ) )
239106, 238syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  I ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) )
240239expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( Y `  i
) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
241240a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
242105, 241syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) )
243242expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
244243a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  x ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) ) ) ) ) )
24556, 68, 80, 92, 101, 244findcard2s 7750 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `  i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) ) )
24632, 245mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' Y " NN )  C_  I  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) ) )
24731, 246mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
248 resmpt 5314 . . . . 5  |-  ( ( `' Y " NN ) 
C_  I  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
24931, 248syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) )  =  ( k  e.  ( `' Y " NN )  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) ) )
250249oveq2d 6291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( `' Y " NN ) 
|->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
251 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )
252227, 251fmptd 6036 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) : I --> ( Base `  P
) )
2537, 16suppssrOLD 6006 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( Y `  k )  =  0 )
254253oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 0  .^  ( V `  k )
) )
255 eldifi 3619 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( I  \ 
( `' Y " NN ) )  ->  k  e.  I )
256255, 225sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  ( V `  k )  e.  ( Base `  P
) )
257209, 51, 160mulg0 15940 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  k )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
258256, 257syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
0  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
259254, 258eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( I  \  ( `' Y " NN ) ) )  ->  (
( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) )  =  ( 1r `  P
) )
260259suppss2OLD 6505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )
261 ssfi 7730 . . . . 5  |-  ( ( ( `' Y " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' Y " NN ) )  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k
)  .^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
26232, 260, 261syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k ) 
.^  ( V `  k ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
263209, 51, 214, 2, 252, 260, 262gsumresOLD 16709 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  I  |->  ( ( Y `
 k )  .^  ( V `  k ) ) )  |`  ( `' Y " NN ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
264247, 250, 2633eqtr2d 2507 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( i  e.  I  |->  if ( i  e.  ( `' Y " NN ) ,  ( Y `
 i ) ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
26527, 264eqtrd 2501 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   {csn 4020    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992    |` cres 4994   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   0cc0 9481    + caddc 9484   NNcn 10525   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715  .gcmg 15720  CMndccmn 16587  mulGrpcmgp 16924   1rcur 16936   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980   mVar cmvr 17765   mPoly cmpl 17766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-subrg 17203  df-psr 17769  df-mvr 17770  df-mpl 17771
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