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Theorem mplcoe2OLD 18260
 Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) Obsolete version of mplcoe2 18259 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p mPoly
mplcoe1.d
mplcoe1.z
mplcoe1.o
mplcoe1.i
mplcoe2.g mulGrp
mplcoe2.m .g
mplcoe2.v mVar
mplcoe2.r
mplcoe2.y
Assertion
Ref Expression
mplcoe2OLD g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mplcoe2OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe2.y . . . . . . . . 9
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11
43psrbag 18140 . . . . . . . . . 10
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9
61, 5mpbid 210 . . . . . . . 8
76simpld 459 . . . . . . 7
87feqmptd 5926 . . . . . 6
9 iftrue 3950 . . . . . . . . 9
109adantl 466 . . . . . . . 8
11 eldif 3481 . . . . . . . . . 10
12 ifid 3981 . . . . . . . . . . 11
13 nn0suppOLD 10871 . . . . . . . . . . . . . . 15
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
15 eqimss 3551 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
177, 16suppssrOLD 6022 . . . . . . . . . . . 12
1817ifeq2d 3963 . . . . . . . . . . 11
1912, 18syl5reqr 2513 . . . . . . . . . 10
2011, 19sylan2br 476 . . . . . . . . 9
2120anassrs 648 . . . . . . . 8
2210, 21pm2.61dan 791 . . . . . . 7
2322mpteq2dva 4543 . . . . . 6
248, 23eqtr4d 2501 . . . . 5
2524eqeq2d 2471 . . . 4
2625ifbid 3966 . . 3
2726mpteq2dv 4544 . 2
28 cnvimass 5367 . . . . 5
29 fdm 5741 . . . . . 6
307, 29syl 16 . . . . 5
3128, 30syl5sseq 3547 . . . 4
326simprd 463 . . . . 5
33 sseq1 3520 . . . . . . . 8
34 noel 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3634, 35mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3938mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . 13
40 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . 12
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
4342ifbid 3966 . . . . . . . . . 10
4443mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
45 mpteq1 4537 . . . . . . . . . . . 12
46 mpt0 5714 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10 g g
49 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12 mulGrp
50 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50ringidval 17282 . . . . . . . . . . 11
5251gsum0 16032 . . . . . . . . . 10 g
5348, 52syl6eq 2514 . . . . . . . . 9 g
5444, 53eqeq12d 2479 . . . . . . . 8 g
5533, 54imbi12d 320 . . . . . . 7 g
5655imbi2d 316 . . . . . 6 g
57 sseq1 3520 . . . . . . . 8
58 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
5958ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . 13
6059mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . 12
6160eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
6261ifbid 3966 . . . . . . . . . 10
6362mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
64 mpteq1 4537 . . . . . . . . . 10
6564oveq2d 6312 . . . . . . . . 9 g g
6663, 65eqeq12d 2479 . . . . . . . 8 g g
6757, 66imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
6867imbi2d 316 . . . . . 6 g g
69 sseq1 3520 . . . . . . . 8
70 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
7170ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . 13
7271mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . 12
7372eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
7473ifbid 3966 . . . . . . . . . 10
7574mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
76 mpteq1 4537 . . . . . . . . . 10
7776oveq2d 6312 . . . . . . . . 9 g g
7875, 77eqeq12d 2479 . . . . . . . 8 g g
7969, 78imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
8079imbi2d 316 . . . . . 6 g g
81 sseq1 3520 . . . . . . . 8
82 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
8382ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . 13
8483mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . 12
8584eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
8685ifbid 3966 . . . . . . . . . 10
8786mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
88 mpteq1 4537 . . . . . . . . . 10
8988oveq2d 6312 . . . . . . . . 9 g g
9087, 89eqeq12d 2479 . . . . . . . 8 g g
9181, 90imbi12d 320 . . . . . . 7 g g
9291imbi2d 316 . . . . . 6 g g
93 mplcoe1.p . . . . . . . . 9 mPoly
94 mplcoe1.z . . . . . . . . 9
95 mplcoe1.o . . . . . . . . 9
96 mplcoe2.r . . . . . . . . . 10
97 crngring 17336 . . . . . . . . . 10
9896, 97syl 16 . . . . . . . . 9
9993, 3, 94, 95, 50, 2, 98mpl1 18233 . . . . . . . 8
10099eqcomd 2465 . . . . . . 7
101100a1d 25 . . . . . 6
102 ssun1 3663 . . . . . . . . . . 11
103 sstr2 3506 . . . . . . . . . . 11
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
105104imim1i 58 . . . . . . . . 9 g g
106 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12 g g
107 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1082adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
10998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
1107adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114111, 112, 113sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116114, 115fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 nn0suppOLD 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123suppss2OLD 6529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126119, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127118, 126eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1283psrbag 18140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130116, 127, 129mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
134132, 133syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136135snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137134, 136sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138110, 137ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141139, 112, 140sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143141, 142fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 nn0suppOLD 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146 snfi 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
148147adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
149148neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
150 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151suppss2OLD 6529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154146, 152, 153sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155145, 154eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1563psrbag 18140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157108, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158143, 155, 157mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . 15
15993, 107, 94, 95, 3, 108, 109, 130, 131, 158mplmonmul 18253 . . . . . . . . . . . . . 14
160 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g
161 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 mVar
16293, 3, 94, 95, 108, 49, 160, 161, 109, 137, 138mplcoe3 18255 . . . . . . . . . . . . . . 15
163162oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
164 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166108, 114, 141, 164, 165offval2 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
168167nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169168addid2d 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
170 elsni 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
172 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
174171, 173eqneltrd 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
175174, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
176 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
177171, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
178171fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
179177, 178eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
180175, 179oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
181 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182132, 181sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185169, 180, 1843eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
186114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
187186nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
188187addid1d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
189 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
190 elsn 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
191189, 190sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
192191, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
193192oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
194 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
195 elun 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
196 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
197195, 196bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
198194, 197syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
199198adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
200199ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
201188, 193, 2003eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
202185, 201pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
203202mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204166, 203eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
205204eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
206205ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15
207206mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . 14
208159, 163, 2073eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . . . 13
20949, 107mgpbas 17274 . . . . . . . . . . . . . 14
21049, 131mgpplusg 17272 . . . . . . . . . . . . . 14
21193mplcrng 18242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2122, 96, 211syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21349crngmgp 17333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMnd
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMnd
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd
216102, 133syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217216sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
218 cmnmnd 16940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CMnd
219214, 218syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
220219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2217ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22398adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22593, 161, 107, 222, 223, 224mvrcl 18238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226209, 160mulgnn0cl 16285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227220, 221, 225, 226syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
229217, 228syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
230219adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
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