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Theorem mplcoe2 16485
 Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p mPoly
mplcoe1.d
mplcoe1.z
mplcoe1.o
mplcoe1.i
mplcoe2.g mulGrp
mplcoe2.m .g
mplcoe2.v mVar
mplcoe2.r
mplcoe2.y
Assertion
Ref Expression
mplcoe2 g
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mplcoe2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe2.y . . . . . . . . 9
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11
43psrbag 16386 . . . . . . . . . 10
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9
61, 5mpbid 202 . . . . . . . 8
76simpld 446 . . . . . . 7
87feqmptd 5738 . . . . . 6
9 iftrue 3705 . . . . . . . . 9
109adantl 453 . . . . . . . 8
11 eldif 3290 . . . . . . . . . 10
12 ifid 3731 . . . . . . . . . . 11
13 nn0supp 10229 . . . . . . . . . . . . . . 15
147, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
15 eqimss 3360 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
177, 16suppssr 5823 . . . . . . . . . . . 12
1817ifeq2d 3714 . . . . . . . . . . 11
1912, 18syl5reqr 2451 . . . . . . . . . 10
2011, 19sylan2br 463 . . . . . . . . 9
2120anassrs 630 . . . . . . . 8
2210, 21pm2.61dan 767 . . . . . . 7
2322mpteq2dva 4255 . . . . . 6
248, 23eqtr4d 2439 . . . . 5
2524eqeq2d 2415 . . . 4
2625ifbid 3717 . . 3
2726mpteq2dv 4256 . 2
28 cnvimass 5183 . . . . 5
29 fdm 5554 . . . . . 6
307, 29syl 16 . . . . 5
3128, 30syl5sseq 3356 . . . 4
326simprd 450 . . . . 5
33 sseq1 3329 . . . . . . . 8
34 noel 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3634, 35mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3938mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . 13
40 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . 12
4241eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11
4342ifbid 3717 . . . . . . . . . 10
4443mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9
45 mpteq1 4249 . . . . . . . . . . . 12
46 mpt0 5531 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10 g g
49 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12 mulGrp
50 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50rngidval 15621 . . . . . . . . . . 11
5251gsum0 14735 . . . . . . . . . 10 g
5348, 52syl6eq 2452 . . . . . . . . 9 g
5444, 53eqeq12d 2418 . . . . . . . 8 g
5533, 54imbi12d 312 . . . . . . 7 g
5655imbi2d 308 . . . . . 6 g
57 sseq1 3329 . . . . . . . 8
58 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14
5958ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . 13
6059mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12
6160eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11
6261ifbid 3717 . . . . . . . . . 10
6362mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9
64 mpteq1 4249 . . . . . . . . . 10
6564oveq2d 6056 . . . . . . . . 9 g g
6663, 65eqeq12d 2418 . . . . . . . 8 g g
6757, 66imbi12d 312 . . . . . . 7 g g
6867imbi2d 308 . . . . . 6 g g
69 sseq1 3329 . . . . . . . 8
70 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14
7170ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . 13
7271mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12
7372eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11
7473ifbid 3717 . . . . . . . . . 10
7574mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9
76 mpteq1 4249 . . . . . . . . . 10
7776oveq2d 6056 . . . . . . . . 9 g g
7875, 77eqeq12d 2418 . . . . . . . 8 g g
7969, 78imbi12d 312 . . . . . . 7 g g
8079imbi2d 308 . . . . . 6 g g
81 sseq1 3329 . . . . . . . 8
82 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14
8382ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . 13
8483mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12
8584eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11
8685ifbid 3717 . . . . . . . . . 10
8786mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9
88 mpteq1 4249 . . . . . . . . . 10
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . 9 g g
9087, 89eqeq12d 2418 . . . . . . . 8 g g
9181, 90imbi12d 312 . . . . . . 7 g g
9291imbi2d 308 . . . . . 6 g g
93 mplcoe1.p . . . . . . . . 9 mPoly
94 mplcoe1.z . . . . . . . . 9
95 mplcoe1.o . . . . . . . . 9
96 mplcoe2.r . . . . . . . . . 10
97 crngrng 15629 . . . . . . . . . 10
9896, 97syl 16 . . . . . . . . 9
9993, 3, 94, 95, 50, 2, 98mpl1 16462 . . . . . . . 8
10099eqcomd 2409 . . . . . . 7
101100a1d 23 . . . . . 6
102 ssun1 3470 . . . . . . . . . . 11
103 sstr2 3315 . . . . . . . . . . 11
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
105104imim1i 56 . . . . . . . . 9 g g
106 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12 g g
107 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15
1082adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
10998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
1107adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114111, 112, 113sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116114, 115fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117 nn0supp 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123suppss2 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126119, 124, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127118, 126eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1283psrbag 16386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130116, 127, 129mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
134132, 133syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136135snss 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137134, 136sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138110, 137ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141139, 112, 140sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143141, 142fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 nn0supp 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146 snfi 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
148147adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
149148neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
150 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151suppss2 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154146, 152, 153sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155145, 154eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1563psrbag 16386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157108, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158143, 155, 157mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . 15
15993, 107, 94, 95, 3, 108, 109, 130, 131, 158mplmonmul 16482 . . . . . . . . . . . . . 14
160 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g
161 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 mVar
16293, 3, 94, 95, 108, 49, 160, 161, 109, 137, 138mplcoe3 16484 . . . . . . . . . . . . . . 15
163162oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
164 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166108, 114, 141, 164, 165offval2 6281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
168167nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169168addid2d 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
170 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
171170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
172 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
173172ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
174171, 173eqneltrd 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
175174, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
176 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
177171, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
178171fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
179177, 178eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
180175, 179oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
181 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182132, 181sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185169, 180, 1843eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
186114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
187186nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
188187addid1d 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
189 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
190 elsn 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
191189, 190sylnib 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
192191, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
193192oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
194 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
195 elun 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
196 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
197195, 196bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
198194, 197syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
199198adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
200199ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
201188, 193, 2003eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
202185, 201pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
203202mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204166, 203eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
205204eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16
206205ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . . . 15
207206mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . 14
208159, 163, 2073eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . 13
20949, 107mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . . . 14
21049, 131mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . 14
21193mplcrng 16471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2122, 96, 211syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21349crngmgp 15627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMnd
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMnd
215214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd
216102, 133syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217216sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15
218 cmnmnd 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CMnd
219214, 218syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
220219adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2217ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22398adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22593, 161, 107, 222, 223, 224mvrcl 16467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226209, 160mulgnn0cl 14861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227220, 221, 225, 226syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
228227adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
229217, 228syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
230219adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
23193, 161, 107, 108, 109, 137mvrcl 16467 . . . . . . . . . . . . . . 15
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