MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mplcoe2 18693
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that  R is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe2.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
mplcoe2.m  |-  .^  =  (.g
`  G )
mplcoe2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplcoe2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mplcoe2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplcoe2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Distinct variable groups:    .^ , k, y    .1. , k, y    k, G   
f, k, y, I    ph, k, y    R, f, y    D, k, y    P, k    k, V    .0. , f,
k, y    f, Y, k, y    k, W, y   
y, G    y, V    y, 
.^
Allowed substitution hints:    ph( f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .1. ( f)    .^ ( f)    G( f)    V( f)    W( f)

Proof of Theorem mplcoe2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . 2  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplcoe1.d . 2  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
3 mplcoe1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 mplcoe1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
5 mplcoe1.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 mplcoe2.g . 2  |-  G  =  (mulGrp `  P )
7 mplcoe2.m . 2  |-  .^  =  (.g
`  G )
8 mplcoe2.v . 2  |-  V  =  ( I mVar  R )
9 mplcoe2.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngring 17791 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 mplcoe2.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131mplcrng 18677 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
145, 9, 13syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
1514adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  ->  P  e.  CRing )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
175adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  ->  I  e.  W )
1811adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simprr 766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
y  e.  I )
201, 8, 16, 17, 18, 19mvrcl 18673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( V `  y
)  e.  ( Base `  P ) )
21 simprl 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  ->  x  e.  I )
221, 8, 16, 17, 18, 21mvrcl 18673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( V `  x
)  e.  ( Base `  P ) )
23 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
246, 23mgpplusg 17727 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  G
)
2524eqcomi 2460 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( .r `  P )
2616, 25crngcom 17795 . . . 4  |-  ( ( P  e.  CRing  /\  ( V `  y )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( V `  x )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( ( V `  y )
( +g  `  G ) ( V `  x
) )  =  ( ( V `  x
) ( +g  `  G
) ( V `  y ) ) )
2715, 20, 22, 26syl3anc 1268 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
2827ralrimivva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  y ) ( +g  `  G ) ( V `
 x ) )  =  ( ( V `
 x ) ( +g  `  G ) ( V `  y
) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 28mplcoe5 18692 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  I  |->  ( ( Y `  k )  .^  ( V `  k )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   ifcif 3881    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339  .gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723   1rcur 17735   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   mVar cmvr 18576   mPoly cmpl 18577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-tset 15209  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-srg 17740  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582
This theorem is referenced by:  mplbas2  18694  ply1coeOLD  18890
  Copyright terms: Public domain W3C validator