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Theorem mplcoe1 17478
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplcoe1.n  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplcoe1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplcoe1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .1.    B, k    f, k, y, I    ph, k,
y    R, f, y    D, k, y    P, k    .0. , f, k, y    f, X, k, y    k, W, y    .x. , k
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    W( f)

Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplcoe1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 mplcoe1.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplcoe1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5mplelf 17443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
76feqmptd 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 y ) ) )
8 iftrue 3785 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
98adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  ( X supp  .0.  )
)  ->  if (
y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y
) )
10 eldif 3326 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )
11 ifid 3814 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  ( X `  y
)
12 ssid 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
14 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
154, 14rabex2 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
17 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
216, 13, 16, 20suppssr 6709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  y )  =  .0.  )
2221ifeq2d 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
2311, 22syl5reqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2410, 23sylan2br 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2524anassrs 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
269, 25pm2.61dan 782 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2726mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  y ) ) )
287, 27eqtr4d 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
29 suppssdm 6692 . . . . 5  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  dom  X
30 fdm 5551 . . . . . 6  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  dom  X  =  D )
316, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  D )
3229, 31syl5sseq 3392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  D )
33 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
34 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
351, 33, 34, 17, 3mplelbas 17438 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  X finSupp  .0.  ) )
3635simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X finSupp  .0.  )
375, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
3837fsuppimpd 7615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  e.  Fin )
39 sseq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  D  <->  (/)  C_  D
) )
40 mpteq1 4360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
41 mpt0 5526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/) )
4342oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  (/) ) )
44 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4544gsum0 15490 . . . . . . . . . 10  |-  ( P 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  P )
4643, 45syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  P ) )
47 noel 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  (/)
48 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  (/) ) )
4947, 48mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  y  e.  w )
50 iffalse 3787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  w  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
5251mpteq2dv 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
5346, 52eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) )
5439, 53imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) ) )
5554imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) ) ) )
56 sseq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  D  <->  x  C_  D
) )
57 mpteq1 4360 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
5857oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
59 eleq2 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
6059ifbid 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
6160mpteq2dv 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
6258, 61eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
6356, 62imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
6463imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
65 sseq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  D ) )
66 mpteq1 4360 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  {
z } )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )
6766oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
68 eleq2 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
6968ifbid 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
7069mpteq2dv 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
7167, 70eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
7265, 71imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
7372imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
74 sseq1 3365 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( X supp  .0.  )  C_  D ) )
75 mpteq1 4360 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
7675oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
77 eleq2 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( X supp  .0.  ) )
)
7877ifbid 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
7978mpteq2dv 4367 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
8076, 79eqeq12d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
8174, 80imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
8281imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
83 mplcoe1.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
84 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
85 rnggrp 16586 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
871, 4, 17, 44, 83, 86mpl0 17454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
88 fconstmpt 4869 . . . . . . . 8  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
8987, 88syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
9089a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  D  -> 
( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) )
91 ssun1 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
92 sstr2 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x 
C_  D ) )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x  C_  D )
9493imim1i 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
95 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
96 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
971mplrng 17465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
9883, 84, 97syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
99 rngcmn 16611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
101100adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e. CMnd )
102 simprll 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  e.  Fin )
103 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D )
104103unssad 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  C_  D
)
105104sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  D )
10683adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
10784adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
1081mpllmod 17464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
109106, 107, 108syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  P  e.  LMod )
1106ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
1111, 83, 84mplsca 17458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
112111adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
113112fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
114110, 113eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
115 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
116 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  k  e.  D )
1171, 3, 17, 115, 4, 106, 107, 116mplmon 17476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
118 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
119 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .x.  =  ( .s `  P )
120 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
1213, 118, 119, 120lmodvscl 16889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
122109, 114, 117, 121syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  e.  B
)
123122adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  D
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
124105, 123syldan 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
125 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  _V )
127 simprlr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  -.  z  e.  x )
12883, 84, 108syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
129128adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e.  LMod )
1306adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  X : D --> ( Base `  R )
)
131103unssbd 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  { z } 
C_  D )
132125snss 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  D  <->  { z }  C_  D )
133131, 132sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  D
)
134130, 133ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
135111adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
136135fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
137134, 136eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
13883adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  I  e.  W
)
13984adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Ring )
1401, 3, 17, 115, 4, 138, 139, 133mplmon 17476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B )
1413, 118, 119, 120lmodvscl 16889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
142129, 137, 140, 141syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
143 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( X `  k )  =  ( X `  z ) )
144 equequ2 1736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
y  =  k  <->  y  =  z ) )
145144ifbid 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)
146145mpteq2dv 4367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
147143, 146oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( ( X `  z
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
1483, 96, 101, 102, 124, 126, 127, 142, 147gsumunsn 16428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
149 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
150130ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  y )  e.  (
Base `  R )
)
1512, 17rng0cl 16602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
15284, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  R ) )
153152ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
154150, 153ifcld 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
155 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
156154, 155fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R ) )
157 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  e.  _V
158157, 15elmap 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
159156, 158sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
16033, 2, 4, 34, 138psrbas 17382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
161159, 160eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
16215mptex 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V
163 funmpt 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
164162, 163, 193pm3.2i 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
166 eldifn 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( D  \  x )  ->  -.  y  e.  x )
167166adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  -.  y  e.  x )
168 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  e.  x  ->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
17015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  D  e.  _V )
171169, 170suppss2 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) supp  .0.  )  C_  x )
172 suppssfifsupp 7623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( x  e.  Fin  /\  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  x
) )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
173165, 102, 171, 172syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
1741, 33, 34, 17, 3mplelbas 17438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
175161, 173, 174sylanbrc 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B )
1761, 3, 149, 96, 175, 142mpladd 17455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
177 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V )
179 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
180 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1811, 119, 2, 3, 180, 4, 134, 140mplvsca 17460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { ( X `  z ) } )  oF ( .r
`  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
182134adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
1832, 115rngidcl 16601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
184183, 151ifcld 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
18584, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
186185ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
187 fconstmpt 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 z ) )
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( D  X.  { ( X `  z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  z ) ) )
189 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
190170, 182, 186, 188, 189offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  oF ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
191181, 190eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
192170, 154, 178, 179, 191offval2 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
193139, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Grp )
1942, 149, 17grplid 15548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X `  z ) )  =  ( X `  z
) )
195193, 134, 194syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
196195ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
197 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  {
z } )
198 elsn 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
199197, 198sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  =  z )
200199fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  z ) )
201196, 200eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 y ) )
202127ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
203199, 202eqneltrd 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  x )
204203, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
205 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
206199, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
207206oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )
)
2082, 180, 115rngridm 16605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
209139, 134, 208syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
210209ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
211207, 210eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( X `  z ) )
212204, 211oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `
 z ) ) )
213 elun2 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { z }  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
214213adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
215 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
216214, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
217201, 212, 2163eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
21886ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  R  e.  Grp )
2192, 149, 17grprid 15549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
220218, 154, 219syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
221220adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
222 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  { z } )
223222, 198sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  =  z )
224 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  y  =  z  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
225223, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
226225oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
2272, 180, 17rngrz 16618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
228139, 134, 227syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
229228ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
230226, 229eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  .0.  )
231230oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  ) )
232 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  x  <->  ( y  e. 
{ z }  \/  y  e.  x )
) )
233 elun 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  x  \/  y  e.  { z } ) )
234 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  { z }  \/  y  e.  x )
)
235233, 234bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  {
z }  \/  y  e.  x ) )
236232, 235syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  y  e.  x ) )
237236adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
y  e.  ( x  u.  { z } )  <->  y  e.  x
) )
238237ifbid 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
239221, 231, 2383eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
240217, 239pm2.61dan 782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
241240mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
242176, 192, 2413eqtrrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
243148, 242eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  <-> 
( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
24495, 243syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
245244expr 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
246245a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
24794, 246syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
248247expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
249248a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
25055, 64, 73, 82, 90, 249findcard2s 7541 . . . . 5  |-  ( ( X supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp 
.0.  )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) )
25138, 250mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
25232, 251mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
25328, 252eqtr4d 2468 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
254 resmpt 5144 . . . . 5  |-  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  ) )  =  ( k  e.  ( X supp 
.0.  )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
25532, 254syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
256255oveq2d 6096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
257 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
258122, 257fmptd 5855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) : D --> B )
2596, 13, 16, 20suppssr 6709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  k )  =  .0.  )
260259oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
261 eldifi 3466 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  ->  k  e.  D )
262112fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
26317, 262syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
264263oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
265 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
2663, 118, 119, 265, 44lmod0vs 16905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
267109, 117, 266syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
268264, 267eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
269261, 268sylan2 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
270260, 269eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
271270, 16suppss2 6712 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) )
27215mptex 5935 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
273 funmpt 5442 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
274 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
275272, 273, 2743pm3.2i 1159 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g
`  P )  e. 
_V )
276275a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
277 suppssfifsupp 7623 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( X supp 
.0.  )  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
278276, 38, 271, 277syl12anc 1209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
2793, 44, 100, 16, 258, 271, 278gsumres 16375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
280256, 279eqtr3d 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
281253, 280eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ifcif 3779   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   dom cdm 4827    |` cres 4829   "cima 4830   Fun wfun 5400   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Grpcgrp 15393  CMndccmn 16257   Ringcrg 16577   1rcur 16579   LModclmod 16872   mPwSer cmps 17340   mPoly cmpl 17342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-psr 17351  df-mpl 17353
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