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Theorem mplcoe1 18688
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplcoe1.n  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplcoe1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplcoe1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .1.    B, k    f, k, y, I    ph, k,
y    R, f, y    D, k, y    P, k    .0. , f, k, y    f, X, k, y    k, W, y    .x. , k
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    W( f)

Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplcoe1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 mplcoe1.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplcoe1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5mplelf 18656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
76feqmptd 5934 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 y ) ) )
8 iftrue 3917 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
98adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  ( X supp  .0.  )
)  ->  if (
y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y
) )
10 eldif 3446 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )
11 ifid 3948 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  ( X `  y
)
12 ssid 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
14 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
154, 14rabex2 4577 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
17 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
216, 13, 16, 20suppssr 6957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  y )  =  .0.  )
2221ifeq2d 3930 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
2311, 22syl5reqr 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2410, 23sylan2br 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2524anassrs 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
269, 25pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2726mpteq2dva 4510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  y ) ) )
287, 27eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
29 suppssdm 6938 . . . . 5  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  dom  X
30 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  dom  X  =  D )
316, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  D )
3229, 31syl5sseq 3512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  D )
33 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
34 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
351, 33, 34, 17, 3mplelbas 18653 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  X finSupp  .0.  ) )
3635simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X finSupp  .0.  )
375, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
3837fsuppimpd 7899 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  e.  Fin )
39 sseq1 3485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  D  <->  (/)  C_  D
) )
40 mpteq1 4504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
41 mpt0 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/) )
4342oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  (/) ) )
44 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4544gsum0 16520 . . . . . . . . . 10  |-  ( P 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  P )
4643, 45syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  P ) )
47 noel 3765 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  (/)
48 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  (/) ) )
4947, 48mtbiri 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  y  e.  w )
5049iffalsed 3922 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
5150mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
5246, 51eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) )
5339, 52imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) ) )
5453imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) ) ) )
55 sseq1 3485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  D  <->  x  C_  D
) )
56 mpteq1 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
5756oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
58 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
5958ifbid 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
6059mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
6157, 60eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
6255, 61imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
6362imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
64 sseq1 3485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  D ) )
65 mpteq1 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  {
z } )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )
6665oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
67 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
6867ifbid 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
6968mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
7066, 69eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
7164, 70imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
7271imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
73 sseq1 3485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( X supp  .0.  )  C_  D ) )
74 mpteq1 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
7574oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
76 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( X supp  .0.  ) )
)
7776ifbid 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
7877mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
7975, 78eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
8073, 79imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
8180imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
82 mplcoe1.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
83 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
84 ringgrp 17784 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
861, 4, 17, 44, 82, 85mpl0 18664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
87 fconstmpt 4897 . . . . . . . 8  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
8886, 87syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
8988a1d 26 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  D  -> 
( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) )
90 ssun1 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
91 sstr2 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x 
C_  D ) )
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x  C_  D )
9392imim1i 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
94 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
95 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
961mplring 18675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
9782, 83, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
98 ringcmn 17810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e. CMnd )
101 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  e.  Fin )
102 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D )
103102unssad 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  C_  D
)
104103sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  D )
10582adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
10683adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
1071mpllmod 18674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
108105, 106, 107syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  P  e.  LMod )
1096ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
1101, 82, 83mplsca 18668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
111110adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
112111fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
113109, 112eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
114 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
115 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  k  e.  D )
1161, 3, 17, 114, 4, 105, 106, 115mplmon 18686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
117 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
118 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .x.  =  ( .s `  P )
119 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
1203, 117, 118, 119lmodvscl 18107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
121108, 113, 116, 120syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  e.  B
)
122121adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  D
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
123104, 122syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
124 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  _V )
126 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  -.  z  e.  x )
12782, 83, 107syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
128127adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e.  LMod )
1296adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  X : D --> ( Base `  R )
)
130102unssbd 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  { z } 
C_  D )
131124snss 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  D  <->  { z }  C_  D )
132130, 131sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  D
)
133129, 132ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
134110adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
135134fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
136133, 135eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
13782adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  I  e.  W
)
13883adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Ring )
1391, 3, 17, 114, 4, 137, 138, 132mplmon 18686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B )
1403, 117, 118, 119lmodvscl 18107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
141128, 136, 139, 140syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
142 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( X `  k )  =  ( X `  z ) )
143 equequ2 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
y  =  k  <->  y  =  z ) )
144143ifbid 3933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)
145144mpteq2dv 4511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
146142, 145oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( ( X `  z
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
1473, 95, 100, 101, 123, 125, 126, 141, 146gsumunsn 17591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
148 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
149129ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  y )  e.  (
Base `  R )
)
1502, 17ring0cl 17801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
15183, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  R ) )
152151ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
153149, 152ifcld 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
154 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
155153, 154fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R ) )
156 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  e.  _V
157156, 15elmap 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
158155, 157sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
15933, 2, 4, 34, 137psrbas 18601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
160158, 159eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
16115mptex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V
162 funmpt 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
163161, 162, 193pm3.2i 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
165 eldifn 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( D  \  x )  ->  -.  y  e.  x )
166165adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  -.  y  e.  x )
167166iffalsed 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
16815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  D  e.  _V )
169167, 168suppss2 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) supp  .0.  )  C_  x )
170 suppssfifsupp 7907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( x  e.  Fin  /\  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  x
) )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
171164, 101, 169, 170syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
1721, 33, 34, 17, 3mplelbas 18653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
173160, 171, 172sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B )
1741, 3, 148, 95, 173, 141mpladd 18665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
175 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V )
177 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
178 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1791, 118, 2, 3, 178, 4, 133, 139mplvsca 18670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { ( X `  z ) } )  oF ( .r
`  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
180133adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
1812, 114ringidcl 17800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
182181, 150ifcld 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
18383, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
184183ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
185 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 z ) )
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( D  X.  { ( X `  z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  z ) ) )
187 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
188168, 180, 184, 186, 187offval2 6562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  oF ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
189179, 188eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
190168, 153, 176, 177, 189offval2 6562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
191138, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Grp )
1922, 148, 17grplid 16695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X `  z ) )  =  ( X `  z
) )
193191, 133, 192syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
194193ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
195 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  {
z } )
196 elsn 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
197195, 196sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  =  z )
198197fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  z ) )
199194, 198eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 y ) )
200126ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
201197, 200eqneltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  x )
202201iffalsed 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
203197iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
204203oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )
)
2052, 178, 114ringridm 17804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
206138, 133, 205syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
207206ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
208204, 207eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( X `  z ) )
209202, 208oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `
 z ) ) )
210 elun2 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { z }  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
211210adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
212211iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
213199, 209, 2123eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
21485ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  R  e.  Grp )
2152, 148, 17grprid 16696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
216214, 153, 215syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
217216adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
218 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  { z } )
219218, 196sylnib 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  =  z )
220219iffalsed 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
221220oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
2222, 178, 17ringrz 17817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
223138, 133, 222syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
224223ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
225221, 224eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  .0.  )
226225oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  ) )
227 biorf 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  x  <->  ( y  e. 
{ z }  \/  y  e.  x )
) )
228 elun 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  x  \/  y  e.  { z } ) )
229 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  { z }  \/  y  e.  x )
)
230228, 229bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  {
z }  \/  y  e.  x ) )
231227, 230syl6rbbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  y  e.  x ) )
232231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
y  e.  ( x  u.  { z } )  <->  y  e.  x
) )
233232ifbid 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
234217, 226, 2333eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
235213, 234pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
236235mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
237174, 190, 2363eqtrrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
238147, 237eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  <-> 
( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
23994, 238syl5ibr 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
240239expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
241240a2d 29 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
24293, 241syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
243242expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
244243a2d 29 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
24554, 63, 72, 81, 89, 244findcard2s 7821 . . . . 5  |-  ( ( X supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp 
.0.  )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) )
24638, 245mpcom 37 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
24732, 246mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
24828, 247eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
24932resmptd 5175 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
250249oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
251 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
252121, 251fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) : D --> B )
2536, 13, 16, 20suppssr 6957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  k )  =  .0.  )
254253oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
255 eldifi 3587 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  ->  k  e.  D )
256111fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
25717, 256syl5eq 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
258257oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
259 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
2603, 117, 118, 259, 44lmod0vs 18123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
261108, 116, 260syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
262258, 261eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
263255, 262sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
264254, 263eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
265264, 16suppss2 6960 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) )
26615mptex 6151 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
267 funmpt 5637 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
268 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
269266, 267, 2683pm3.2i 1183 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g
`  P )  e. 
_V )
270269a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
271 suppssfifsupp 7907 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( X supp 
.0.  )  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
272270, 38, 265, 271syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
2733, 44, 99, 16, 252, 265, 272gsumres 17546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
274250, 273eqtr3d 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
275248, 274eqtrd 2463 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853    |` cres 4855   "cima 4856   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   supp csupp 6925    ^m cmap 7483   Fincfn 7580   finSupp cfsupp 7892   NNcn 10616   NN0cn0 10876   Basecbs 15120   +g cplusg 15189   .rcmulr 15190  Scalarcsca 15192   .scvsca 15193   0gc0g 15337    gsumg cgsu 15338   Grpcgrp 16668  CMndccmn 17429   1rcur 17734   Ringcrg 17779   LModclmod 18090   mPwSer cmps 18574   mPoly cmpl 18576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-tset 15208  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-ghm 16880  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-psr 18579  df-mpl 18581
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