Theorem mplcoe1 17524

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	|- P = ( I mPoly R )
mplcoe1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplcoe1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplcoe1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplcoe1.i	|- ( ph -> I e. W )
mplcoe1.b	|- B = ( Base ` P )
mplcoe1.n	|- .x. = ( .s ` P )
mplcoe1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplcoe1.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplcoe1	|- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, k, .1.   B, k   f, k, y, I   ph, k, y   R, f, y   D, k, y   P, k   .0. , f, k, y   f, X, k, y   k, W, y   .x. , k

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( k)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   W( f)

Proof of Theorem mplcoe1

Dummy variables w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe1.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
2		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		mplcoe1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
4		mplcoe1.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		mplcoe1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplelf 17489	. . . . 5 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
7	6	feqmptd 5739	. . . 4 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
8		iftrue 3792	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X supp .0. ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
9	8	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
10		eldif 3333	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) )
11		ifid 3821	. . . . . . . . 9 |- if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = ( X ` y )
12		ssid 3370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
14		ovex 6111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	4, 14	rabex2 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. _V )
17		mplcoe1.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .0. e. _V )
21	6, 13, 16, 20	suppssr 6715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` y ) = .0. )
22	21	ifeq2d 3803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
23	11, 22	syl5reqr 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
24	10, 23	sylan2br 476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
25	24	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
26	9, 25	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
27	26	mpteq2dva 4373	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
28	7, 27	eqtr4d 2473	. . 3 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
29		suppssdm 6698	. . . . 5 |- ( X supp .0. ) C_ dom X
30		fdm 5558	. . . . . 6 |- ( X : D --> ( Base ` R ) -> dom X = D )
31	6, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom X = D )
32	29, 31	syl5sseq 3399	. . . 4 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ D )
33		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
34		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
35	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 17484	. . . . . . . 8 |- ( X e. B <-> ( X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ X finSupp .0. ) )
36	35	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> X finSupp .0. )
37	5, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
38	37	fsuppimpd 7619	. . . . 5 |- ( ph -> ( X supp .0. ) e. Fin )
39		sseq1 3372	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( w C_ D <-> (/) C_ D ) )
40		mpteq1 4367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
41		mpt0 5533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/) )
43	42	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg (/) ) )
44		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
45	44	gsum0 15501	. . . . . . . . . 10 |- ( P gsumg (/) ) = ( 0g ` P )
46	43, 45	syl6eq 2486	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( 0g ` P ) )
47		noel 3636	. . . . . . . . . . . 12 |- -. y e. (/)
48		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( y e. w <-> y e. (/) ) )
49	47, 48	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> -. y e. w )
50		iffalse 3794	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y e. w -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
52	51	mpteq2dv 4374	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> .0. ) )
53	46, 52	eqeq12d 2452	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
54	39, 53	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) )
55	54	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) ) )
56		sseq1 3372	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w C_ D <-> x C_ D ) )
57		mpteq1 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
58	57	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
59		eleq2 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
60	59	ifbid 3806	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
61	60	mpteq2dv 4374	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
62	58, 61	eqeq12d 2452	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
63	56, 62	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
64	63	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
65		sseq1 3372	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( w C_ D <-> ( x u. { z } ) C_ D ) )
66		mpteq1 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
67	66	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
68		eleq2 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. w <-> y e. ( x u. { z } ) ) )
69	68	ifbid 3806	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
70	69	mpteq2dv 4374	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
71	67, 70	eqeq12d 2452	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
72	65, 71	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
73	72	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
74		sseq1 3372	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( w C_ D <-> ( X supp .0. ) C_ D ) )
75		mpteq1 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
76	75	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
77		eleq2 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. w <-> y e. ( X supp .0. ) ) )
78	77	ifbid 3806	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
79	78	mpteq2dv 4374	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
80	76, 79	eqeq12d 2452	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
81	74, 80	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
82	81	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
83		mplcoe1.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. W )
84		mplcoe1.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
85		rnggrp 16640	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Grp )
87	1, 4, 17, 44, 83, 86	mpl0 17500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) )
88		fconstmpt 4877	. . . . . . . 8 |- ( D X. { .0. } ) = ( y e. D |-> .0. )
89	87, 88	syl6eq 2486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) )
90	89	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
91		ssun1 3514	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ ( x u. { z } )
92		sstr2 3358	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( x u. { z } ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D ) )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D )
94	93	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
95		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
96		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
97	1	mplrng 17511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
98	83, 84, 97	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Ring )
99		rngcmn 16665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CMnd )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. CMnd )
102		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x e. Fin )
103		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( x u. { z } ) C_ D )
104	103	unssad 3528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x C_ D )
105	104	sselda 3351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> k e. D )
106	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
107	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
108	1	mpllmod 17510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. LMod )
109	106, 107, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> P e. LMod )
110	6	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` R ) )
111	1, 83, 84	mplsca 17504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R = (Scalar ` P ) )
113	112	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
114	110, 113	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
115		mplcoe1.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .1. = ( 1r ` R )
116		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
117	1, 3, 17, 115, 4, 106, 107, 116	mplmon 17522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B )
118		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
119		mplcoe1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .x. = ( .s ` P )
120		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
121	3, 118, 119, 120	lmodvscl 16945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
122	109, 114, 117, 121	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
123	122	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
124	105, 123	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
125		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. _V )
127		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> -. z e. x )
128	83, 84, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. LMod )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. LMod )
130	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
131	103	unssbd 3529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> { z } C_ D )
132	125	snss 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. D <-> { z } C_ D )
133	131, 132	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. D )
134	130, 133	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
135	111	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
136	135	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
137	134, 136	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
138	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> I e. W )
139	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Ring )
140	1, 3, 17, 115, 4, 138, 139, 133	mplmon 17522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B )
141	3, 118, 119, 120	lmodvscl 16945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
142	129, 137, 140, 141	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
143		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( X ` k ) = ( X ` z ) )
144		equequ2 1737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = z -> ( y = k <-> y = z ) )
145	144	ifbid 3806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> if ( y = k , .1. , .0. ) = if ( y = z , .1. , .0. ) )
146	145	mpteq2dv 4374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
147	143, 146	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
148	3, 96, 101, 102, 124, 126, 127, 142, 147	gsumunsn 16443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
149		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
150	130	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
151	2, 17	rng0cl 16656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
152	84, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
153	152	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
154	150, 153	ifcld 3827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
155		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
156	154, 155	fmptd 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
157		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
158	157, 15	elmap 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
159	156, 158	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
160	33, 2, 4, 34, 138	psrbas 17428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
161	159, 160	eleqtrrd 2515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
162	15	mptex 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V
163		funmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
164	162, 163, 19	3pm3.2i 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V )
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) )
166		eldifn 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( D \ x ) -> -. y e. x )
167	166	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> -. y e. x )
168		iffalse 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. x -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
169	167, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
170	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> D e. _V )
171	169, 170	suppss2 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x )
172		suppssfifsupp 7627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( x e. Fin /\ ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
173	165, 102, 171, 172	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
174	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 17484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B <-> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. ) )
175	161, 173, 174	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B )
176	1, 3, 149, 96, 175, 142	mpladd 17501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
177		ovex 6111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V )
179		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
180		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
181	1, 119, 2, 3, 180, 4, 134, 140	mplvsca 17506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
182	134	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
183	2, 115	rngidcl 16655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
184	183, 151	ifcld 3827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
185	84, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
186	185	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
187		fconstmpt 4877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) ) )
189		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
190	170, 182, 186, 188, 189	offval2 6331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
191	181, 190	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
192	170, 154, 178, 179, 191	offval2 6331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
193	139, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Grp )
194	2, 149, 17	grplid 15559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Grp /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
195	193, 134, 194	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
196	195	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
197		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. { z } )
198		elsn 3886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { z } <-> y = z )
199	197, 198	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y = z )
200	199	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( X ` y ) = ( X ` z ) )
201	196, 200	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` y ) )
202	127	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. z e. x )
203	199, 202	eqneltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. y e. x )
204	203, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
205		iftrue 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
206	199, 205	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
207	206	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) )
208	2, 180, 115	rngridm 16659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
209	139, 134, 208	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
210	209	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
211	207, 210	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( X ` z ) )
212	204, 211	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) )
213		elun2 3519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { z } -> y e. ( x u. { z } ) )
214	213	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. ( x u. { z } ) )
215		iftrue 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( x u. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
216	214, 215	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
217	201, 212, 216	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
218	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> R e. Grp )
219	2, 149, 17	grprid 15560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Grp /\ if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
220	218, 154, 219	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
221	220	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
222		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y e. { z } )
223	222, 198	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y = z )
224		iffalse 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
225	223, 224	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
226	225	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
227	2, 180, 17	rngrz 16672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
228	139, 134, 227	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
229	228	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
230	226, 229	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = .0. )
231	230	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) )
232		biorf 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. x <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) ) )
233		elun 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. x \/ y e. { z } ) )
234		orcom 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x \/ y e. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
235	233, 234	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
236	232, 235	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
237	236	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
238	237	ifbid 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
239	221, 231, 238	3eqtr4d 2480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
240	217, 239	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
241	240	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
242	176, 192, 241	3eqtrrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
243	148, 242	eqeq12d 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
244	95, 243	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
245	244	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
246	245	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
247	94, 246	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
248	247	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
249	248	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
250	55, 64, 73, 82, 90, 249	findcard2s 7545	. . . . 5 |- ( ( X supp .0. ) e. Fin -> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
251	38, 250	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
252	32, 251	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
253	28, 252	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
254		resmpt 5151	. . . . 5 |- ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
255	32, 254	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
256	255	oveq2d 6102	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
257		eqid 2438	. . . . 5 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
258	122, 257	fmptd 5862	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) : D --> B )
259	6, 13, 16, 20	suppssr 6715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` k ) = .0. )
260	259	oveq1d 6101	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
261		eldifi 3473	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> k e. D )
262	112	fveq2d 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
263	17, 262	syl5eq 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
264	263	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
265		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
266	3, 118, 119, 265, 44	lmod0vs 16961	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. LMod /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
267	109, 117, 266	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
268	264, 267	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
269	261, 268	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
270	260, 269	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
271	270, 16	suppss2 6718	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) )
272	15	mptex 5943	. . . . . . 7 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V
273		funmpt 5449	. . . . . . 7 |- Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
274		fvex 5696	. . . . . . 7 |- ( 0g ` P ) e. _V
275	272, 273, 274	3pm3.2i 1166	. . . . . 6 |- ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V )
276	275	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) )
277		suppssfifsupp 7627	. . . . 5 |- ( ( ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( X supp .0. ) e. Fin /\ ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
278	276, 38, 271, 277	syl12anc 1216	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
279	3, 44, 100, 16, 258, 271, 278	gsumres 16386	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
280	256, 279	eqtr3d 2472	. 2 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
281	253, 280	eqtrd 2470	1 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   |` cres 4837   "cima 4838   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   oFcof 6313   supp csupp 6685   ^m cmap 7206   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370   gsum_g cgsu 14371   Grpcgrp 15402  CMndccmn 16268   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928   mPwSer cmps 17398   mPoly cmpl 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-psr 17403  df-mpl 17405

This theorem is referenced by:  mplbas2  17531  mplbas2OLD  17532  mplcoe4  17565  ply1coe  17726  ply1coeOLD  17727