MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe1 Structured version   Unicode version

Theorem mplcoe1 17667
Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplcoe1.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplcoe1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplcoe1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplcoe1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplcoe1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplcoe1.n  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mplcoe1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplcoe1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mplcoe1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .1.    B, k    f, k, y, I    ph, k,
y    R, f, y    D, k, y    P, k    .0. , f, k, y    f, X, k, y    k, W, y    .x. , k
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( k)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    W( f)

Proof of Theorem mplcoe1
Dummy variables  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 mplcoe1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 mplcoe1.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 mplcoe1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
61, 2, 3, 4, 5mplelf 17632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
76feqmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 y ) ) )
8 iftrue 3904 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  ( X supp  .0.  )
)  ->  if (
y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y
) )
10 eldif 3445 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  <->  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )
11 ifid 3933 . . . . . . . . 9  |-  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  ( X `  y
)
12 ssid 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  ( X supp  .0.  )
)
14 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
154, 14rabex2 4552 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
17 mplcoe1.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
216, 13, 16, 20suppssr 6829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  y )  =  .0.  )
2221ifeq2d 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  ( X `  y ) )  =  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
2311, 22syl5reqr 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2410, 23sylan2br 476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  D  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  )
) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2524anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  ( X supp  .0.  ) )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
269, 25pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
2726mpteq2dva 4485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  y ) ) )
287, 27eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
29 suppssdm 6812 . . . . 5  |-  ( X supp 
.0.  )  C_  dom  X
30 fdm 5670 . . . . . 6  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  dom  X  =  D )
316, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  X  =  D )
3229, 31syl5sseq 3511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  C_  D )
33 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
34 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  R ) )
351, 33, 34, 17, 3mplelbas 17627 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  <->  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  X finSupp  .0.  ) )
3635simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  X finSupp  .0.  )
375, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X finSupp  .0.  )
3837fsuppimpd 7737 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X supp  .0.  )  e.  Fin )
39 sseq1 3484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  D  <->  (/)  C_  D
) )
40 mpteq1 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
41 mpt0 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (/)  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  (/) )
4342oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  (/) ) )
44 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4544gsum0 15628 . . . . . . . . . 10  |-  ( P 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  P )
4643, 45syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( 0g
`  P ) )
47 noel 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  y  e.  (/)
48 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  (/) ) )
4947, 48mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  (/)  ->  -.  y  e.  w )
50 iffalse 3906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  w  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
5251mpteq2dv 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
5346, 52eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) )
5439, 53imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) ) )
5554imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  D  ->  ( 0g `  P )  =  ( y  e.  D  |->  .0.  ) ) ) ) )
56 sseq1 3484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  D  <->  x  C_  D
) )
57 mpteq1 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
k  e.  w  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  =  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
5857oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
59 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
6059ifbid 3918 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
6160mpteq2dv 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
6258, 61eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
6356, 62imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
6463imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
65 sseq1 3484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  D ) )
66 mpteq1 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( x  u.  {
z } )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )
6766oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
68 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( x  u.  { z } ) ) )
6968ifbid 3918 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
7069mpteq2dv 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
7167, 70eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
7265, 71imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
7372imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
74 sseq1 3484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( w  C_  D 
<->  ( X supp  .0.  )  C_  D ) )
75 mpteq1 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( k  e.  w  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
7675oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
77 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( X supp  .0.  ) )
)
7877ifbid 3918 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
7978mpteq2dv 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
8076, 79eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  <->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp 
.0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
8174, 80imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( w 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  <->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
8281imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( X supp  .0.  )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  w  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  w ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
83 mplcoe1.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
84 mplcoe1.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
85 rnggrp 16772 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
871, 4, 17, 44, 83, 86mpl0 17643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
88 fconstmpt 4989 . . . . . . . 8  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
8987, 88syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
)
9089a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  D  -> 
( 0g `  P
)  =  ( y  e.  D  |->  .0.  )
) )
91 ssun1 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
92 sstr2 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x 
C_  D ) )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  x  C_  D )
9493imim1i 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
95 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
96 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
971mplrng 17654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
9883, 84, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
99 rngcmn 16797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e. CMnd )
102 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  e.  Fin )
103 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D )
104103unssad 3640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  x  C_  D
)
105104sselda 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  D )
10683adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
10784adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
1081mpllmod 17653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  P  e.  LMod )
1106ffvelrnda 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
1111, 83, 84mplsca 17647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
112111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
113112fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
114110, 113eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
115 mplcoe1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
116 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  k  e.  D )
1171, 3, 17, 115, 4, 106, 107, 116mplmon 17665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
118 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
119 mplcoe1.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .x.  =  ( .s `  P )
120 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
1213, 118, 119, 120lmodvscl 17087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
122109, 114, 117, 121syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  e.  B
)
123122adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  D
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
124105, 123syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  k  e.  x
)  ->  ( ( X `  k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
125 vex 3079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  _V )
127 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  -.  z  e.  x )
12883, 84, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  P  e.  LMod )
1306adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  X : D --> ( Base `  R )
)
131103unssbd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  { z } 
C_  D )
132125snss 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  D  <->  { z }  C_  D )
133131, 132sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  z  e.  D
)
134130, 133ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
135111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
136135fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
137134, 136eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
13883adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  I  e.  W
)
13984adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Ring )
1401, 3, 17, 115, 4, 138, 139, 133mplmon 17665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B )
1413, 118, 119, 120lmodvscl 17087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( X `  z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
142129, 137, 140, 141syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  e.  B )
143 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( X `  k )  =  ( X `  z ) )
144 equequ2 1739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
y  =  k  <->  y  =  z ) )
145144ifbid 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)
146145mpteq2dv 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
147143, 146oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( ( X `  z
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
1483, 96, 101, 102, 124, 126, 127, 142, 147gsumunsn 16574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
149 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
150130ffvelrnda 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  y )  e.  (
Base `  R )
)
1512, 17rng0cl 16788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
15284, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  R ) )
153152ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
154150, 153ifcld 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
155 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
156154, 155fmptd 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R ) )
157 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  e.  _V
158157, 15elmap 7350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )  <->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
159156, 158sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
16033, 2, 4, 34, 138psrbas 17570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
161159, 160eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) ) )
16215mptex 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V
163 funmpt 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Fun  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
164162, 163, 193pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V ) )
166 eldifn 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( D  \  x )  ->  -.  y  e.  x )
167166adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  -.  y  e.  x )
168 iffalse 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  e.  x  ->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  ( D  \  x ) )  ->  if (
y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )  =  .0.  )
17015a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  D  e.  _V )
171169, 170suppss2 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) supp  .0.  )  C_  x )
172 suppssfifsupp 7745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  _V  /\  Fun  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( x  e.  Fin  /\  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) supp 
.0.  )  C_  x
) )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
173165, 102, 171, 172syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  )
1741, 33, 34, 17, 3mplelbas 17627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B  <->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )  /\  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) finSupp  .0.  ) )
175161, 173, 174sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  e.  B )
1761, 3, 149, 96, 175, 142mpladd 17644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) ( +g  `  P
) ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
177 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  e. 
_V )
179 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
180 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1811, 119, 2, 3, 180, 4, 134, 140mplvsca 17649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( D  X.  { ( X `  z ) } )  oF ( .r
`  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
182134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( X `  z )  e.  (
Base `  R )
)
1832, 115rngidcl 16787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
184183, 151ifcld 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
18584, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  if (
y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
187 fconstmpt 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `
 z ) )
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( D  X.  { ( X `  z ) } )  =  ( y  e.  D  |->  ( X `  z ) ) )
189 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
190170, 182, 186, 188, 189offval2 6445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( D  X.  { ( X `
 z ) } )  oF ( .r `  R ) ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
191181, 190eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
192170, 154, 178, 179, 191offval2 6445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  oF ( +g  `  R ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
193139, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  R  e.  Grp )
1942, 149, 17grplid 15686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X `  z ) )  =  ( X `  z
) )
195193, 134, 194syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
196195ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 z ) )
197 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  {
z } )
198 elsn 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
199197, 198sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  =  z )
200199fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  z ) )
201196, 200eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `  z ) )  =  ( X `
 y ) )
202127ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  z  e.  x )
203199, 202eqneltrd 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  x )
204203, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  .0.  )
205 iftrue 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
206199, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
207206oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( ( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )
)
2082, 180, 115rngridm 16791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
209139, 134, 208syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
210209ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  z ) )
211207, 210eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( X `  z ) )
212204, 211oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X `
 z ) ) )
213 elun2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { z }  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
214213adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  y  e.  ( x  u.  { z } ) )
215 iftrue 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
216214, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  ( X `  y ) )
217201, 212, 2163eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
21886ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  R  e.  Grp )
2192, 149, 17grprid 15687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )
220218, 154, 219syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
221220adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
)  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
222 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  e.  { z } )
223222, 198sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  -.  y  =  z )
224 iffalse 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  y  =  z  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
225223, 224syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
226225oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
2272, 180, 17rngrz 16804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
228139, 134, 227syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
229228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
230226, 229eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  .0.  )
231230oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R )  .0.  ) )
232 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  x  <->  ( y  e. 
{ z }  \/  y  e.  x )
) )
233 elun 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  x  \/  y  e.  { z } ) )
234 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  { z }  \/  y  e.  x )
)
235233, 234bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( x  u. 
{ z } )  <-> 
( y  e.  {
z }  \/  y  e.  x ) )
236232, 235syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  y  e.  { z }  ->  ( y  e.  ( x  u.  {
z } )  <->  y  e.  x ) )
237236adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  (
y  e.  ( x  u.  { z } )  <->  y  e.  x
) )
238237ifbid 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  )  =  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) )
239221, 231, 2383eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( x  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  x )  /\  (
x  u.  { z } )  C_  D
) )  /\  y  e.  D )  /\  -.  y  e.  { z } )  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
240217, 239pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  /\  y  e.  D
)  ->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  if ( y  e.  ( x  u.  {
z } ) ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)
241240mpteq2dva 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  ( if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
( +g  `  R ) ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
242176, 192, 2413eqtrrd 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u. 
{ z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
243148, 242eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) )  <-> 
( ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ( +g  `  P ) ( ( X `  z ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  z ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
24495, 243syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  /\  ( x  u.  { z } ) 
C_  D ) )  ->  ( ( P 
gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) )
245244expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  (
( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
246245a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y
) ,  .0.  )
) )  ->  (
( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
24794, 246syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) )
248247expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )  -> 
( ( x  u. 
{ z } ) 
C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u.  { z } )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
249248a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  x  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  x ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
z } )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( x  u. 
{ z } ) 
|->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( x  u.  { z } ) ,  ( X `
 y ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
25055, 64, 73, 82, 90, 249findcard2s 7663 . . . . 5  |-  ( ( X supp  .0.  )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp 
.0.  )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) , 
( X `  y
) ,  .0.  )
) ) ) )
25138, 250mpcom 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) ) )
25232, 251mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  e.  ( X supp  .0.  ) ,  ( X `  y ) ,  .0.  ) ) )
25328, 252eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
254 resmpt 5263 . . . . 5  |-  ( ( X supp  .0.  )  C_  D  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  ) )  =  ( k  e.  ( X supp 
.0.  )  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
25532, 254syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) )
256255oveq2d 6215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) ) )
257 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
258122, 257fmptd 5975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) : D --> B )
2596, 13, 16, 20suppssr 6829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( X `  k )  =  .0.  )
260259oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  (  .0.  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
261 eldifi 3585 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( D  \ 
( X supp  .0.  )
)  ->  k  e.  D )
262112fveq2d 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
26317, 262syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
264263oveq1d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
265 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
2663, 118, 119, 265, 44lmod0vs 17103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
267109, 117, 266syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
268264, 267eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
269261, 268sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  (  .0.  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
270260, 269eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( D  \  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
271270, 16suppss2 6832 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) )
27215mptex 6056 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
273 funmpt 5561 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
274 fvex 5808 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
275272, 273, 2743pm3.2i 1166 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g
`  P )  e. 
_V )
276275a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
277 suppssfifsupp 7745 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( X supp 
.0.  )  e.  Fin  /\  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  ( X supp  .0.  ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
278276, 38, 271, 277syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
2793, 44, 100, 16, 258, 271, 278gsumres 16515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( ( k  e.  D  |->  ( ( X `
 k )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )  |`  ( X supp  .0.  )
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
280256, 279eqtr3d 2497 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  ( X supp  .0.  )  |->  ( ( X `  k
)  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  )
) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k ) 
.x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
281253, 280eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  X  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  D  |->  ( ( X `  k )  .x.  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  k ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076    \ cdif 3432    u. cun 3433    C_ wss 3435   (/)c0 3744   ifcif 3898   {csn 3984   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945   `'ccnv 4946   dom cdm 4947    |` cres 4949   "cima 4950   Fun wfun 5519   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427   supp csupp 6799    ^m cmap 7323   Fincfn 7419   finSupp cfsupp 7730   NNcn 10432   NN0cn0 10689   Basecbs 14291   +g cplusg 14356   .rcmulr 14357  Scalarcsca 14359   .scvsca 14360   0gc0g 14496    gsumg cgsu 14497   Grpcgrp 15528  CMndccmn 16397   1rcur 16724   Ringcrg 16767   LModclmod 17070   mPwSer cmps 17540   mPoly cmpl 17542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-ofr 6430  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-tset 14375  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-ghm 15863  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-subrg 16985  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-psr 17545  df-mpl 17547
This theorem is referenced by:  mplbas2  17674  mplbas2OLD  17675  mplcoe4  17708  ply1coe  17870  ply1coeOLD  17871
  Copyright terms: Public domain W3C validator