Theorem mplcoe1 16483

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	|- P = ( I mPoly R )
mplcoe1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplcoe1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplcoe1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplcoe1.i	|- ( ph -> I e. W )
mplcoe1.b	|- B = ( Base ` P )
mplcoe1.n	|- .x. = ( .s ` P )
mplcoe1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplcoe1.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplcoe1	|- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, k, .1.   B, k   f, k, y, I   ph, k, y   R, f, y   D, k, y   P, k   k, W   .0. , f, k, y   f, X, k, y   .x. , k

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( k)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   W( y, f)

Proof of Theorem mplcoe1

Dummy variables w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe1.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
2		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		mplcoe1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
4		mplcoe1.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		mplcoe1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplelf 16452	. . . . 5 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
7	6	feqmptd 5738	. . . 4 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
8		iftrue 3705	. . . . . . 7 |- ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
9	8	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
10		eldif 3290	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) <-> ( y e. D /\ -. y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
11		ifid 3731	. . . . . . . . 9 |- if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = ( X ` y )
12		ssid 3327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) )
14	6, 13	suppssr 5823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( X ` y ) = .0. )
15	14	ifeq2d 3714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) )
16	11, 15	syl5reqr 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
17	10, 16	sylan2br 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. D /\ -. y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
18	17	anassrs 630	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ -. y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
19	9, 18	pm2.61dan 767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
20	19	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
21	7, 20	eqtr4d 2439	. . 3 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
22		cnvimass 5183	. . . . 5 |- ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ dom X
23		fdm 5554	. . . . . 6 |- ( X : D --> ( Base ` R ) -> dom X = D )
24	6, 23	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom X = D )
25	22, 24	syl5sseq 3356	. . . 4 |- ( ph -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D )
26		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
27		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
28		mplcoe1.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
29	1, 26, 27, 28, 3	mplelbas 16449	. . . . . . 7 |- ( X e. B <-> ( X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) )
30	29	simprbi 451	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
31	5, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
32		sseq1 3329	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( w C_ D <-> (/) C_ D ) )
33		mpteq1 4249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
34		mpt0 5531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/)
35	33, 34	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/) )
36	35	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg (/) ) )
37		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
38	37	gsum0 14735	. . . . . . . . . 10 |- ( P gsumg (/) ) = ( 0g ` P )
39	36, 38	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( 0g ` P ) )
40		noel 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- -. y e. (/)
41		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( y e. w <-> y e. (/) ) )
42	40, 41	mtbiri 295	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> -. y e. w )
43		iffalse 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y e. w -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
45	44	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> .0. ) )
46	39, 45	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
47	32, 46	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) )
48	47	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) ) )
49		sseq1 3329	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w C_ D <-> x C_ D ) )
50		mpteq1 4249	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
51	50	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
52		eleq2 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
53	52	ifbid 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
54	53	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
55	51, 54	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
56	49, 55	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
57	56	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
58		sseq1 3329	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( w C_ D <-> ( x u. { z } ) C_ D ) )
59		mpteq1 4249	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
60	59	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
61		eleq2 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. w <-> y e. ( x u. { z } ) ) )
62	61	ifbid 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
63	62	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
64	60, 63	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
65	58, 64	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
66	65	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
67		sseq1 3329	. . . . . . . 8 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( w C_ D <-> ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D ) )
68		mpteq1 4249	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
69	68	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
70		eleq2 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( y e. w <-> y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) )
71	70	ifbid 3717	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) )
72	71	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
73	69, 72	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
74	67, 73	imbi12d 312	. . . . . . 7 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
75	74	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( w = ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
76		mplcoe1.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. W )
77		mplcoe1.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
78		rnggrp 15624	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Grp )
80	1, 4, 28, 37, 76, 79	mpl0 16459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) )
81		fconstmpt 4880	. . . . . . . 8 |- ( D X. { .0. } ) = ( y e. D |-> .0. )
82	80, 81	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) )
83	82	a1d 23	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
84		ssun1 3470	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ ( x u. { z } )
85		sstr2 3315	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( x u. { z } ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D ) )
86	84, 85	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D )
87	86	imim1i 56	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
88		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
89		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
90	1	mplrng 16470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
91	76, 77, 90	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Ring )
92		rngcmn 15649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CMnd )
94	93	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. CMnd )
95		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x e. Fin )
96		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( x u. { z } ) C_ D )
97	96	unssad 3484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x C_ D )
98	97	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> k e. D )
99	76	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
100	77	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
101	1	mpllmod 16469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. LMod )
102	99, 100, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> P e. LMod )
103	6	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` R ) )
104	1, 76, 77	mplsca 16463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
105	104	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R = (Scalar ` P ) )
106	105	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
107	103, 106	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
108		mplcoe1.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .1. = ( 1r ` R )
109		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
110	1, 3, 28, 108, 4, 99, 100, 109	mplmon 16481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B )
111		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
112		mplcoe1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .x. = ( .s ` P )
113		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
114	3, 111, 112, 113	lmodvscl 15922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
115	102, 107, 110, 114	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
116	115	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
117	98, 116	syldan 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
118		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. _V )
120		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> -. z e. x )
121	76, 77, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. LMod )
122	121	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. LMod )
123	6	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
124	96	unssbd 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> { z } C_ D )
125	118	snss 3886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. D <-> { z } C_ D )
126	124, 125	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. D )
127	123, 126	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
128	104	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
129	128	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
130	127, 129	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
131	76	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> I e. W )
132	77	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Ring )
133	1, 3, 28, 108, 4, 131, 132, 126	mplmon 16481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B )
134	3, 111, 112, 113	lmodvscl 15922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
135	122, 130, 133, 134	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
136		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( X ` k ) = ( X ` z ) )
137		equequ2 1694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = z -> ( y = k <-> y = z ) )
138	137	ifbid 3717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> if ( y = k , .1. , .0. ) = if ( y = z , .1. , .0. ) )
139	138	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
140	136, 139	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
141	3, 89, 94, 95, 117, 119, 120, 135, 140	gsumunsn 15499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
142		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
143	123	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
144	2, 28	rng0cl 15640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
145	77, 144	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
146	145	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
147		ifcl 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X ` y ) e. ( Base ` R ) /\ .0. e. ( Base ` R ) ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
148	143, 146, 147	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
149		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
150	148, 149	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
151		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
152		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
153	152	rabex 4314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
154	4, 153	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D e. _V
155	151, 154	elmap 7001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
156	150, 155	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
157	26, 2, 4, 27, 131	psrbas 16398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
158	156, 157	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
159		eldifn 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( D \ x ) -> -. y e. x )
160	159	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> -. y e. x )
161		iffalse 3706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. x -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
162	160, 161	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
163	162	suppss2 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( `' ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ x )
164		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. Fin /\ ( `' ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) C_ x ) -> ( `' ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
165	95, 163, 164	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( `' ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
166	1, 26, 27, 28, 3	mplelbas 16449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B <-> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ ( `' ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin ) )
167	158, 165, 166	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B )
168	1, 3, 142, 89, 167, 135	mpladd 16460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) o F ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
169	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> D e. _V )
170		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V )
172		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
173		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
174	1, 112, 2, 3, 173, 4, 127, 133	mplvsca 16465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( ( D X. { ( X ` z ) } ) o F ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
175	127	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
176	2, 108	rngidcl 15639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
177		ifcl 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( .1. e. ( Base ` R ) /\ .0. e. ( Base ` R ) ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
178	176, 144, 177	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
179	77, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
180	179	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
181		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) )
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) ) )
183		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
184	169, 175, 180, 182, 183	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( D X. { ( X ` z ) } ) o F ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
185	174, 184	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
186	169, 148, 171, 172, 185	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) o F ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
187	132, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Grp )
188	2, 142, 28	grplid 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Grp /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
189	187, 127, 188	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
190	189	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
191		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. { z } )
192		elsn 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { z } <-> y = z )
193	191, 192	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y = z )
194	193	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( X ` y ) = ( X ` z ) )
195	190, 194	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` y ) )
196	120	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. z e. x )
197	193, 196	eqneltrd 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. y e. x )
198	197, 161	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
199		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
200	193, 199	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
201	200	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) )
202	2, 173, 108	rngridm 15643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
203	132, 127, 202	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
204	203	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
205	201, 204	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( X ` z ) )
206	198, 205	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) )
207		elun2 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { z } -> y e. ( x u. { z } ) )
208	207	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. ( x u. { z } ) )
209		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( x u. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
210	208, 209	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
211	195, 206, 210	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
212	79	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> R e. Grp )
213	2, 142, 28	grprid 14791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Grp /\ if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
214	212, 148, 213	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
215	214	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
216		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y e. { z } )
217	216, 192	sylnib 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y = z )
218		iffalse 3706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
219	217, 218	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
220	219	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
221	2, 173, 28	rngrz 15656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
222	132, 127, 221	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
223	222	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
224	220, 223	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = .0. )
225	224	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) )
226		biorf 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. x <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) ) )
227		elun 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. x \/ y e. { z } ) )
228		orcom 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x \/ y e. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
229	227, 228	bitri 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
230	226, 229	syl6rbbr 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
231	230	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
232	231	ifbid 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
233	215, 225, 232	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
234	211, 233	pm2.61dan 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
235	234	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
236	168, 186, 235	3eqtrrd 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
237	141, 236	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
238	88, 237	syl5ibr 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
239	238	expr 599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
240	239	a2d 24	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
241	87, 240	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
242	241	expcom 425	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
243	242	a2d 24	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
244	48, 57, 66, 75, 83, 243	findcard2s 7308	. . . . 5 |- ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin -> ( ph -> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
245	31, 244	mpcom 34	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
246	25, 245	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
247	21, 246	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
248		resmpt 5150	. . . . 5 |- ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) C_ D -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) = ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
249	25, 248	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) = ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
250	249	oveq2d 6056	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
251	154	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
252		eqid 2404	. . . . 5 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
253	115, 252	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) : D --> B )
254	6, 13	suppssr 5823	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( X ` k ) = .0. )
255	254	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
256		eldifi 3429	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> k e. D )
257	105	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
258	28, 257	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
259	258	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
260		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
261	3, 111, 112, 260, 37	lmod0vs 15938	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. LMod /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
262	102, 110, 261	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
263	259, 262	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
264	256, 263	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
265	255, 264	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
266	265	suppss2 6259	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) " ( _V \ { ( 0g ` P ) } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) )
267		ssfi 7288	. . . . 5 |- ( ( ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin /\ ( `' ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) " ( _V \ { ( 0g ` P ) } ) ) C_ ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) -> ( `' ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) " ( _V \ { ( 0g ` P ) } ) ) e. Fin )
268	31, 266, 267	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) " ( _V \ { ( 0g ` P ) } ) ) e. Fin )
269	3, 37, 93, 251, 253, 266, 268	gsumres 15475	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
270	250, 269	eqtr3d 2438	. 2 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( `' X " ( _V \ { .0. } ) ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
271	247, 270	eqtrd 2436	1 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   {csn 3774   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   gsum_g cgsu 13679   Grpcgrp 14640  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   1rcur 15617   LModclmod 15905   mPwSer cmps 16361   mPoly cmpl 16363

This theorem is referenced by:  mplbas2  16486  mplcoe4  16518  ply1coe  16639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-psr 16372  df-mpl 16374