Theorem mplcoe1 17926

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	|- P = ( I mPoly R )
mplcoe1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplcoe1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplcoe1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplcoe1.i	|- ( ph -> I e. W )
mplcoe1.b	|- B = ( Base ` P )
mplcoe1.n	|- .x. = ( .s ` P )
mplcoe1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplcoe1.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplcoe1	|- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, k, .1.   B, k   f, k, y, I   ph, k, y   R, f, y   D, k, y   P, k   .0. , f, k, y   f, X, k, y   k, W, y   .x. , k

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( k)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   W( f)

Proof of Theorem mplcoe1

Dummy variables w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe1.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
2		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		mplcoe1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
4		mplcoe1.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		mplcoe1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplelf 17891	. . . . 5 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
7	6	feqmptd 5920	. . . 4 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
8		iftrue 3945	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X supp .0. ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
9	8	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
10		eldif 3486	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) )
11		ifid 3976	. . . . . . . . 9 |- if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = ( X ` y )
12		ssid 3523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
14		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	4, 14	rabex2 4600	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. _V )
17		mplcoe1.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .0. e. _V )
21	6, 13, 16, 20	suppssr 6931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` y ) = .0. )
22	21	ifeq2d 3958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
23	11, 22	syl5reqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
24	10, 23	sylan2br 476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
25	24	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
26	9, 25	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
27	26	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
28	7, 27	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
29		suppssdm 6914	. . . . 5 |- ( X supp .0. ) C_ dom X
30		fdm 5735	. . . . . 6 |- ( X : D --> ( Base ` R ) -> dom X = D )
31	6, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom X = D )
32	29, 31	syl5sseq 3552	. . . 4 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ D )
33		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
34		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
35	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 17886	. . . . . . . 8 |- ( X e. B <-> ( X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ X finSupp .0. ) )
36	35	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> X finSupp .0. )
37	5, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
38	37	fsuppimpd 7836	. . . . 5 |- ( ph -> ( X supp .0. ) e. Fin )
39		sseq1 3525	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( w C_ D <-> (/) C_ D ) )
40		mpteq1 4527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
41		mpt0 5708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/) )
43	42	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg (/) ) )
44		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
45	44	gsum0 15832	. . . . . . . . . 10 |- ( P gsumg (/) ) = ( 0g ` P )
46	43, 45	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( 0g ` P ) )
47		noel 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- -. y e. (/)
48		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( y e. w <-> y e. (/) ) )
49	47, 48	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> -. y e. w )
50		iffalse 3948	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y e. w -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
52	51	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> .0. ) )
53	46, 52	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
54	39, 53	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) )
55	54	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) ) )
56		sseq1 3525	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w C_ D <-> x C_ D ) )
57		mpteq1 4527	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
58	57	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
59		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
60	59	ifbid 3961	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
61	60	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
62	58, 61	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
63	56, 62	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
64	63	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
65		sseq1 3525	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( w C_ D <-> ( x u. { z } ) C_ D ) )
66		mpteq1 4527	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
67	66	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
68		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. w <-> y e. ( x u. { z } ) ) )
69	68	ifbid 3961	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
70	69	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
71	67, 70	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
72	65, 71	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
73	72	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
74		sseq1 3525	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( w C_ D <-> ( X supp .0. ) C_ D ) )
75		mpteq1 4527	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
76	75	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
77		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. w <-> y e. ( X supp .0. ) ) )
78	77	ifbid 3961	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
79	78	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
80	76, 79	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
81	74, 80	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
82	81	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
83		mplcoe1.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. W )
84		mplcoe1.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
85		rnggrp 17005	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Grp )
87	1, 4, 17, 44, 83, 86	mpl0 17902	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) )
88		fconstmpt 5043	. . . . . . . 8 |- ( D X. { .0. } ) = ( y e. D |-> .0. )
89	87, 88	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) )
90	89	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
91		ssun1 3667	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ ( x u. { z } )
92		sstr2 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( x u. { z } ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D ) )
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D )
94	93	imim1i 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
95		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
96		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
97	1	mplrng 17913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
98	83, 84, 97	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Ring )
99		rngcmn 17030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CMnd )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. CMnd )
102		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x e. Fin )
103		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( x u. { z } ) C_ D )
104	103	unssad 3681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x C_ D )
105	104	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> k e. D )
106	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
107	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
108	1	mpllmod 17912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. LMod )
109	106, 107, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> P e. LMod )
110	6	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` R ) )
111	1, 83, 84	mplsca 17906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
112	111	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R = (Scalar ` P ) )
113	112	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
114	110, 113	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
115		mplcoe1.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .1. = ( 1r ` R )
116		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
117	1, 3, 17, 115, 4, 106, 107, 116	mplmon 17924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B )
118		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
119		mplcoe1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .x. = ( .s ` P )
120		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
121	3, 118, 119, 120	lmodvscl 17329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
122	109, 114, 117, 121	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
123	122	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
124	105, 123	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
125		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. _V )
127		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> -. z e. x )
128	83, 84, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. LMod )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. LMod )
130	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
131	103	unssbd 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> { z } C_ D )
132	125	snss 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. D <-> { z } C_ D )
133	131, 132	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. D )
134	130, 133	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
135	111	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
136	135	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
137	134, 136	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
138	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> I e. W )
139	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Ring )
140	1, 3, 17, 115, 4, 138, 139, 133	mplmon 17924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B )
141	3, 118, 119, 120	lmodvscl 17329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
142	129, 137, 140, 141	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
143		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( X ` k ) = ( X ` z ) )
144		equequ2 1748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = z -> ( y = k <-> y = z ) )
145	144	ifbid 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> if ( y = k , .1. , .0. ) = if ( y = z , .1. , .0. ) )
146	145	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
147	143, 146	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
148	3, 96, 101, 102, 124, 126, 127, 142, 147	gsumunsn 16789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
149		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
150	130	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
151	2, 17	rng0cl 17021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
152	84, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
153	152	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
154	150, 153	ifcld 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
155		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
156	154, 155	fmptd 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
157		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
158	157, 15	elmap 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
159	156, 158	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
160	33, 2, 4, 34, 138	psrbas 17829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
161	159, 160	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
162	15	mptex 6131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V
163		funmpt 5624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
164	162, 163, 19	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V )
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) )
166		eldifn 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( D \ x ) -> -. y e. x )
167	166	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> -. y e. x )
168		iffalse 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. x -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
169	167, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
170	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> D e. _V )
171	169, 170	suppss2 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x )
172		suppssfifsupp 7844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( x e. Fin /\ ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
173	165, 102, 171, 172	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
174	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 17886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B <-> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. ) )
175	161, 173, 174	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B )
176	1, 3, 149, 96, 175, 142	mpladd 17903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
177		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V )
179		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
180		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
181	1, 119, 2, 3, 180, 4, 134, 140	mplvsca 17908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
182	134	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
183	2, 115	rngidcl 17020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
184	183, 151	ifcld 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
185	84, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
186	185	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
187		fconstmpt 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) )
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) ) )
189		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
190	170, 182, 186, 188, 189	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
191	181, 190	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
192	170, 154, 178, 179, 191	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
193	139, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Grp )
194	2, 149, 17	grplid 15890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Grp /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
195	193, 134, 194	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
196	195	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
197		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. { z } )
198		elsn 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { z } <-> y = z )
199	197, 198	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y = z )
200	199	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( X ` y ) = ( X ` z ) )
201	196, 200	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` y ) )
202	127	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. z e. x )
203	199, 202	eqneltrd 2576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. y e. x )
204	203, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
205		iftrue 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
206	199, 205	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
207	206	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) )
208	2, 180, 115	rngridm 17024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
209	139, 134, 208	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
210	209	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
211	207, 210	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( X ` z ) )
212	204, 211	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) )
213		elun2 3672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { z } -> y e. ( x u. { z } ) )
214	213	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. ( x u. { z } ) )
215		iftrue 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( x u. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
216	214, 215	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
217	201, 212, 216	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
218	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> R e. Grp )
219	2, 149, 17	grprid 15891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Grp /\ if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
220	218, 154, 219	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
221	220	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
222		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y e. { z } )
223	222, 198	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y = z )
224		iffalse 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. y = z -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
225	223, 224	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
226	225	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
227	2, 180, 17	rngrz 17037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
228	139, 134, 227	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
229	228	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
230	226, 229	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = .0. )
231	230	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) )
232		biorf 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. x <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) ) )
233		elun 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. x \/ y e. { z } ) )
234		orcom 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x \/ y e. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
235	233, 234	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
236	232, 235	syl6rbbr 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
237	236	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
238	237	ifbid 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
239	221, 231, 238	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
240	217, 239	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
241	240	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
242	176, 192, 241	3eqtrrd 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
243	148, 242	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
244	95, 243	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
245	244	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
246	245	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
247	94, 246	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
248	247	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
249	248	a2d 26	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
250	55, 64, 73, 82, 90, 249	findcard2s 7761	. . . . 5 |- ( ( X supp .0. ) e. Fin -> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
251	38, 250	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
252	32, 251	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
253	28, 252	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
254		resmpt 5323	. . . . 5 |- ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
255	32, 254	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
256	255	oveq2d 6300	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
257		eqid 2467	. . . . 5 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
258	122, 257	fmptd 6045	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) : D --> B )
259	6, 13, 16, 20	suppssr 6931	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` k ) = .0. )
260	259	oveq1d 6299	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
261		eldifi 3626	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> k e. D )
262	112	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
263	17, 262	syl5eq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
264	263	oveq1d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
265		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
266	3, 118, 119, 265, 44	lmod0vs 17345	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. LMod /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
267	109, 117, 266	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
268	264, 267	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
269	261, 268	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
270	260, 269	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
271	270, 16	suppss2 6934	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) )
272	15	mptex 6131	. . . . . . 7 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V
273		funmpt 5624	. . . . . . 7 |- Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
274		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( 0g ` P ) e. _V
275	272, 273, 274	3pm3.2i 1174	. . . . . 6 |- ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V )
276	275	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) )
277		suppssfifsupp 7844	. . . . 5 |- ( ( ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( X supp .0. ) e. Fin /\ ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
278	276, 38, 271, 277	syl12anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
279	3, 44, 100, 16, 258, 271, 278	gsumres 16724	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
280	256, 279	eqtr3d 2510	. 2 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
281	253, 280	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   oFcof 6522   supp csupp 6901   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695   gsum_g cgsu 14696   Grpcgrp 15727  CMndccmn 16604   1rcur 16955   Ringcrg 17000   LModclmod 17312   mPwSer cmps 17799   mPoly cmpl 17801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-psr 17804  df-mpl 17806

This theorem is referenced by:  mplbas2  17933  mplbas2OLD  17934  mplcoe4  17967  ply1coe  18136  ply1coeOLD  18137