Theorem mplcoe1 18449

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of monomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	|- P = ( I mPoly R )
mplcoe1.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplcoe1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplcoe1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplcoe1.i	|- ( ph -> I e. W )
mplcoe1.b	|- B = ( Base ` P )
mplcoe1.n	|- .x. = ( .s ` P )
mplcoe1.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplcoe1.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplcoe1	|- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, k, .1.   B, k   f, k, y, I   ph, k, y   R, f, y   D, k, y   P, k   .0. , f, k, y   f, X, k, y   k, W, y   .x. , k

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( y, f)   D( f)   P( y, f)   R( k)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   W( f)

Proof of Theorem mplcoe1

Dummy variables w x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe1.p	. . . . . 6 |- P = ( I mPoly R )
2		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		mplcoe1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
4		mplcoe1.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		mplcoe1.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	mplelf 18414	. . . . 5 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
7	6	feqmptd 5904	. . . 4 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
8		iftrue 3893	. . . . . . 7 |- ( y e. ( X supp .0. ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
9	8	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
10		eldif 3426	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) <-> ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) )
11		ifid 3924	. . . . . . . . 9 |- if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = ( X ` y )
12		ssid 3463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. )
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ ( X supp .0. ) )
14		ovex 6308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	4, 14	rabex2 4549	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. _V )
17		mplcoe1.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` R )
18		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) e. _V
19	17, 18	eqeltri 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .0. e. _V )
21	6, 13, 16, 20	suppssr 6936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` y ) = .0. )
22	21	ifeq2d 3906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , ( X ` y ) ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
23	11, 22	syl5reqr 2460	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
24	10, 23	sylan2br 476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. D /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
25	24	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ -. y e. ( X supp .0. ) ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
26	9, 25	pm2.61dan 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
27	26	mpteq2dva 4483	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> ( X ` y ) ) )
28	7, 27	eqtr4d 2448	. . 3 |- ( ph -> X = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
29		suppssdm 6917	. . . . 5 |- ( X supp .0. ) C_ dom X
30		fdm 5720	. . . . . 6 |- ( X : D --> ( Base ` R ) -> dom X = D )
31	6, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom X = D )
32	29, 31	syl5sseq 3492	. . . 4 |- ( ph -> ( X supp .0. ) C_ D )
33		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
34		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
35	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 18409	. . . . . . . 8 |- ( X e. B <-> ( X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ X finSupp .0. ) )
36	35	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> X finSupp .0. )
37	5, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X finSupp .0. )
38	37	fsuppimpd 7872	. . . . 5 |- ( ph -> ( X supp .0. ) e. Fin )
39		sseq1 3465	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( w C_ D <-> (/) C_ D ) )
40		mpteq1 4477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
41		mpt0 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (/) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = (/) )
43	42	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg (/) ) )
44		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
45	44	gsum0 16231	. . . . . . . . . 10 |- ( P gsumg (/) ) = ( 0g ` P )
46	43, 45	syl6eq 2461	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( 0g ` P ) )
47		noel 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- -. y e. (/)
48		eleq2 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = (/) -> ( y e. w <-> y e. (/) ) )
49	47, 48	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = (/) -> -. y e. w )
50	49	iffalsed 3898	. . . . . . . . . 10 |- ( w = (/) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
51	50	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> .0. ) )
52	46, 51	eqeq12d 2426	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
53	39, 52	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) )
54	53	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) ) ) )
55		sseq1 3465	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w C_ D <-> x C_ D ) )
56		mpteq1 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
57	56	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
58		eleq2 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
59	58	ifbid 3909	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
60	59	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
61	57, 60	eqeq12d 2426	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
62	55, 61	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
63	62	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
64		sseq1 3465	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( w C_ D <-> ( x u. { z } ) C_ D ) )
65		mpteq1 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
66	65	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
67		eleq2 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. w <-> y e. ( x u. { z } ) ) )
68	67	ifbid 3909	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x u. { z } ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
69	68	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
70	66, 69	eqeq12d 2426	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
71	64, 70	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
72	71	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
73		sseq1 3465	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( w C_ D <-> ( X supp .0. ) C_ D ) )
74		mpteq1 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
75	74	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
76		eleq2 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. w <-> y e. ( X supp .0. ) ) )
77	76	ifbid 3909	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( X supp .0. ) -> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) )
78	77	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
79	75, 78	eqeq12d 2426	. . . . . . . 8 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
80	73, 79	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) <-> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
81	80	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( w = ( X supp .0. ) -> ( ( ph -> ( w C_ D -> ( P gsumg ( k e. w |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. w , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
82		mplcoe1.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. W )
83		mplcoe1.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
84		ringgrp 17525	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Grp )
86	1, 4, 17, 44, 82, 85	mpl0 18425	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) )
87		fconstmpt 4869	. . . . . . . 8 |- ( D X. { .0. } ) = ( y e. D |-> .0. )
88	86, 87	syl6eq 2461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) )
89	88	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) C_ D -> ( 0g ` P ) = ( y e. D |-> .0. ) ) )
90		ssun1 3608	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ ( x u. { z } )
91		sstr2 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ ( x u. { z } ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D ) )
92	90, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. { z } ) C_ D -> x C_ D )
93	92	imim1i 59	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
94		oveq1 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
95		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
96	1	mplring 18436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
97	82, 83, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. Ring )
98		ringcmn 17551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. CMnd )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. CMnd )
101		simprll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x e. Fin )
102		simprr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( x u. { z } ) C_ D )
103	102	unssad 3622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> x C_ D )
104	103	sselda 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> k e. D )
105	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> I e. W )
106	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
107	1	mpllmod 18435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( I e. W /\ R e. Ring ) -> P e. LMod )
108	105, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> P e. LMod )
109	6	ffvelrnda 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` R ) )
110	1, 82, 83	mplsca 18429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R = (Scalar ` P ) )
111	110	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R = (Scalar ` P ) )
112	111	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
113	109, 112	eleqtrd 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
114		mplcoe1.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .1. = ( 1r ` R )
115		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> k e. D )
116	1, 3, 17, 114, 4, 105, 106, 115	mplmon 18447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B )
117		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
118		mplcoe1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .x. = ( .s ` P )
119		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
120	3, 117, 118, 119	lmodvscl 17851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` k ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
121	108, 113, 116, 120	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
122	121	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. D ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
123	104, 122	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ k e. x ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) e. B )
124		vex 3064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. _V )
126		simprlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> -. z e. x )
127	82, 83, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. LMod )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> P e. LMod )
129	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
130	102	unssbd 3623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> { z } C_ D )
131	124	snss 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. D <-> { z } C_ D )
132	130, 131	sylibr 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> z e. D )
133	129, 132	ffvelrnd 6012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
134	110	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
135	134	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
136	133, 135	eleqtrd 2494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
137	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> I e. W )
138	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Ring )
139	1, 3, 17, 114, 4, 137, 138, 132	mplmon 18447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B )
140	3, 117, 118, 119	lmodvscl 17851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. LMod /\ ( X ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
141	128, 136, 139, 140	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) e. B )
142		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( X ` k ) = ( X ` z ) )
143		equequ2 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = z -> ( y = k <-> y = z ) )
144	143	ifbid 3909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> if ( y = k , .1. , .0. ) = if ( y = z , .1. , .0. ) )
145	144	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
146	142, 145	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
147	3, 95, 100, 101, 123, 125, 126, 141, 146	gsumunsn 17309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
148		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
149	129	ffvelrnda 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
150	2, 17	ring0cl 17542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
151	83, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
152	151	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
153	149, 152	ifcld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) )
154		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
155	153, 154	fmptd 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
156		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
157	156, 15	elmap 7487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) : D --> ( Base ` R ) )
158	155, 157	sylibr 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
159	33, 2, 4, 34, 137	psrbas 18352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
160	158, 159	eleqtrrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
161	15	mptex 6126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V
162		funmpt 5607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
163	161, 162, 19	3pm3.2i 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V )
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) )
165		eldifn 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( D \ x ) -> -. y e. x )
166	165	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> -. y e. x )
167	166	iffalsed 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. ( D \ x ) ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
168	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> D e. _V )
169	167, 168	suppss2 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x )
170		suppssfifsupp 7880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( x e. Fin /\ ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ x ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
171	164, 101, 169, 170	syl12anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. )
172	1, 33, 34, 17, 3	mplelbas 18409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B <-> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) /\ ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) finSupp .0. ) )
173	160, 171, 172	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) e. B )
174	1, 3, 148, 95, 173, 141	mpladd 18426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
175		ovex 6308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) e. _V )
177		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) )
178		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
179	1, 118, 2, 3, 178, 4, 133, 139	mplvsca 18431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
180	133	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
181	2, 114	ringidcl 17541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
182	181, 150	ifcld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. Ring -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
183	83, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
184	183	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
185		fconstmpt 4869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( D X. { ( X ` z ) } ) = ( y e. D |-> ( X ` z ) ) )
187		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) )
188	168, 180, 184, 186, 187	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( D X. { ( X ` z ) } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
189	179, 188	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) )
190	168, 153, 176, 177, 189	offval2 6540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) oF ( +g ` R ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
191	138, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> R e. Grp )
192	2, 148, 17	grplid 16406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Grp /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
193	191, 133, 192	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
194	193	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` z ) )
195		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. { z } )
196		elsn 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { z } <-> y = z )
197	195, 196	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y = z )
198	197	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( X ` y ) = ( X ` z ) )
199	194, 198	eqtr4d 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) = ( X ` y ) )
200	126	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. z e. x )
201	197, 200	eqneltrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> -. y e. x )
202	201	iffalsed 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) = .0. )
203	197	iftrued 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .1. )
204	203	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) )
205	2, 178, 114	ringridm 17545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
206	138, 133, 205	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
207	206	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` z ) )
208	204, 207	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( X ` z ) )
209	202, 208	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( X ` z ) ) )
210		elun2 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { z } -> y e. ( x u. { z } ) )
211	210	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> y e. ( x u. { z } ) )
212	211	iftrued 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = ( X ` y ) )
213	199, 209, 212	3eqtr4d 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
214	85	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> R e. Grp )
215	2, 148, 17	grprid 16407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Grp /\ if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
216	214, 153, 215	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
217	216	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
218		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y e. { z } )
219	218, 196	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> -. y = z )
220	219	iffalsed 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y = z , .1. , .0. ) = .0. )
221	220	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
222	2, 178, 17	ringrz 17558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
223	138, 133, 222	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
224	223	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
225	221, 224	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) = .0. )
226	225	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) .0. ) )
227		biorf 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. x <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) ) )
228		elun 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. x \/ y e. { z } ) )
229		orcom 387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x \/ y e. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
230	228, 229	bitri 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( x u. { z } ) <-> ( y e. { z } \/ y e. x ) )
231	227, 230	syl6rbbr 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. y e. { z } -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
232	231	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( y e. ( x u. { z } ) <-> y e. x ) )
233	232	ifbid 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) = if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) )
234	217, 226, 233	3eqtr4d 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) /\ -. y e. { z } ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
235	213, 234	pm2.61dan 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) /\ y e. D ) -> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) = if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) )
236	235	mpteq2dva 4483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> ( if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ( +g ` R ) ( ( X ` z ) ( .r ` R ) if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
237	174, 190, 236	3eqtrrd 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) )
238	147, 237	eqeq12d 2426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) <-> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) = ( ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ( +g ` P ) ( ( X ` z ) .x. ( y e. D |-> if ( y = z , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
239	94, 238	syl5ibr 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) /\ ( x u. { z } ) C_ D ) ) -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
240	239	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
241	240	a2d 28	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
242	93, 241	syl5 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. z e. x ) ) -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
243	242	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
244	243	a2d 28	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ -. z e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ D -> ( P gsumg ( k e. x |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. x , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { z } ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( x u. { z } ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( x u. { z } ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) ) )
245	54, 63, 72, 81, 89, 244	findcard2s 7797	. . . . 5 |- ( ( X supp .0. ) e. Fin -> ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) ) )
246	38, 245	mpcom 36	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X supp .0. ) C_ D -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) ) )
247	32, 246	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y e. ( X supp .0. ) , ( X ` y ) , .0. ) ) )
248	28, 247	eqtr4d 2448	. 2 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
249	32	resmptd 5147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) = ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) )
250	249	oveq2d 6296	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
251		eqid 2404	. . . . 5 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
252	121, 251	fmptd 6035	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) : D --> B )
253	6, 13, 16, 20	suppssr 6936	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( X ` k ) = .0. )
254	253	oveq1d 6295	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
255		eldifi 3567	. . . . . . 7 |- ( k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) -> k e. D )
256	111	fveq2d 5855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
257	17, 256	syl5eq 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
258	257	oveq1d 6295	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
259		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
260	3, 117, 118, 259, 44	lmod0vs 17867	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. LMod /\ ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
261	108, 116, 260	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
262	258, 261	eqtrd 2445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
263	255, 262	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( .0. .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
264	254, 263	eqtrd 2445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( D \ ( X supp .0. ) ) ) -> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) = ( 0g ` P ) )
265	264, 16	suppss2 6939	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) )
266	15	mptex 6126	. . . . . . 7 |- ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V
267		funmpt 5607	. . . . . . 7 |- Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) )
268		fvex 5861	. . . . . . 7 |- ( 0g ` P ) e. _V
269	266, 267, 268	3pm3.2i 1177	. . . . . 6 |- ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V )
270	269	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) )
271		suppssfifsupp 7880	. . . . 5 |- ( ( ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( X supp .0. ) e. Fin /\ ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( X supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
272	270, 38, 265, 271	syl12anc 1230	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
273	3, 44, 99, 16, 252, 265, 272	gsumres 17247	. . 3 |- ( ph -> ( P gsumg ( ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) |` ( X supp .0. ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
274	250, 273	eqtr3d 2447	. 2 |- ( ph -> ( P gsumg ( k e. ( X supp .0. ) |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )
275	248, 274	eqtrd 2445	1 |- ( ph -> X = ( P gsumg ( k e. D |-> ( ( X ` k ) .x. ( y e. D |-> if ( y = k , .1. , .0. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 186   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   u. cun 3414   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   {csn 3974   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   X. cxp 4823   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   |` cres 4827   "cima 4828   Fun wfun 5565   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   oFcof 6521   supp csupp 6904   ^m cmap 7459   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865   NNcn 10578   NN0cn0 10838   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   .rcmulr 14912  Scalarcsca 14914   .scvsca 14915   0gc0g 15056   gsum_g cgsu 15057   Grpcgrp 16379  CMndccmn 17124   1rcur 17475   Ringcrg 17520   LModclmod 17834   mPwSer cmps 18322   mPoly cmpl 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-tset 14930  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-psr 18327  df-mpl 18329

This theorem is referenced by:  mplbas2  18456  mplbas2OLD  18457  mplcoe4  18490  ply1coe  18659  ply1coeOLD  18660