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Theorem mplbas2OLD 17982
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) Obsolete version of mplbas2 17981 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplbas2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplbas2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplbas2.a  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
mplbas2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplbas2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplbas2OLD  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem mplbas2OLD
Dummy variables  u  k  v  x  z 
y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplbas2.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplbas2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
41, 2, 3psrassa 17916 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
5 mplbas2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
85, 1, 6, 7mplbasss 17938 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( Base `  S ) )
10 mplbas2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( I mVar  R )
11 crngring 17058 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
123, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
131, 10, 7, 2, 12mvrf 17927 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  S ) )
14 ffn 5736 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> ( Base `  S )  ->  V  Fn  I )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
162adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1712adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
18 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
195, 10, 6, 16, 17, 18mvrcl 17958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  ( Base `  P
) )
2019ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  ( Base `  P ) )
21 ffnfv 6057 . . . . . 6  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  (
Base `  P )
) )
2215, 20, 21sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  P ) )
23 frn 5742 . . . . 5  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  ->  ran  V 
C_  ( Base `  P
) )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  P ) )
25 mplbas2.a . . . . 5  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
2625, 7aspss 17828 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )  /\  ran  V  C_  ( Base `  P ) )  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P ) ) )
274, 9, 24, 26syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P
) ) )
281, 5, 6, 2, 12mplsubrg 17949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  S
) )
291, 5, 6, 2, 12mpllss 17946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )
30 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
3125, 7, 30aspid 17826 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  /\  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )  -> 
( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
324, 28, 29, 31syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
3327, 32sseqtrd 3545 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) )
34 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
35 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
36 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
372adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  I  e.  W )
38 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
3912adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  Ring )
40 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( Base `  P )
)
415, 34, 35, 36, 37, 6, 38, 39, 40mplcoe1 17974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  =  ( P  gsumg  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) ) )
42 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
435mplring 17961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
442, 12, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
45 ringabl 17077 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Abel )
4746adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  P  e.  Abel )
48 ovex 6319 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4948rabex 4603 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
5124, 8syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  S ) )
5225, 7aspsubrg 17827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
534, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
545, 1, 6mplval2 17937 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  P
) )
5554subsubrg 17303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5753, 33, 56mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
58 subrgsubg 17283 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
615mpllmod 17960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
622, 12, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  P  e.  LMod )
6425, 7, 30asplss 17825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
) )
654, 51, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S ) )
661, 2, 12psrlmod 17901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
67 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  P )  =  (
LSubSp `  P )
6854, 30, 67lsslss 17455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
)  <->  ( ( A `
 ran  V )  e.  ( LSubSp `  S )  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) ) ) )
6966, 29, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (
LSubSp `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
7065, 33, 69mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
) )
72 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
735, 72, 6, 34, 40mplelf 17939 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
7473ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  R
) )
755, 37, 39mplsca 17954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7776fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7874, 77eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7937adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  I  e.  W )
80 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
81 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
823adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  CRing
)
8382adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  CRing )
84 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
855, 34, 35, 36, 79, 80, 81, 10, 83, 84mplcoe2 17979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( (mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) ) )
86 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
8780, 86rngidval 17004 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
885mplcrng 17962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
892, 3, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
9080crngmgp 17055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  CRing  ->  (mulGrp `  P
)  e. CMnd )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9357ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
9480subrgsubm 17290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P
) ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P ) ) )
96 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ph )
9734psrbag 17860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  W  ->  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9837, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9998biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
)
10099simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k : I --> NN0 )
101100ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( k `  z )  e.  NN0 )
10225, 7aspssid 17829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ran  V 
C_  ( A `  ran  V ) )
1034, 51, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V ) )
104103ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V
) )
10515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  V  Fn  I )
106 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  Fn  I  /\  z  e.  I )  ->  ( V `  z
)  e.  ran  V
)
107105, 106sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ran  V )
108104, 107sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ( A `  ran  V
) )
10980, 6mgpbas 16996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
110 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
11180, 110mgpplusg 16994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  (mulGrp `  P ) )
112110subrgmcl 17289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
)  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11357, 112syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11486subrg1cl 17285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( 1r `  P )  e.  ( A `  ran  V
) )
11557, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  e.  ( A `
 ran  V )
)
116109, 81, 111, 91, 33, 113, 87, 115mulgnn0subcl 16004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z
)  e.  ( A `
 ran  V )
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
11796, 101, 108, 116syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
118 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )
119117, 118fmptd 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) : I --> ( A `
 ran  V )
)
12099simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " NN )  e.  Fin )
121 nn0suppOLD 10860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k : I --> NN0  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN ) )
122 eqimss 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' k " NN )  ->  ( `' k
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
123100, 121, 1223syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
124100, 123suppssrOLD 6021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
k `  z )  =  0 )
125124oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
12679adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  I  e.  W )
12739adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  Ring )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  R  e.  Ring )
129 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( I  \ 
( `' k " NN ) )  ->  z  e.  I )
130129adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  z  e.  I )
1315, 10, 6, 126, 128, 130mvrcl 17958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )
132109, 87, 81mulg0 15996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  z )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
134125, 133eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
135134suppss2OLD 6524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )
136 ssfi 7750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' k " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) " ( _V 
\  { ( 1r
`  P ) } ) )  C_  ( `' k " NN ) )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
137120, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
" ( _V  \  { ( 1r `  P ) } ) )  e.  Fin )
13887, 92, 79, 95, 119, 137gsumsubmclOLD 16781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
(mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
13985, 138eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
140 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
141 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
142140, 38, 141, 67lssvscl 17449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  LMod  /\  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) ) )  -> 
( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
14363, 71, 78, 139, 142syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
144 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
145143, 144fmptd 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( A `  ran  V ) )
1465, 1, 7, 35, 6mplelbasOLD 17936 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  <->  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
)
147146simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
148147adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
149 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
15173, 150suppssrOLD 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  R ) )
15275fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
153152adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
154151, 153eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
155154oveq1d 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
156 eldifi 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
1575, 6, 35, 36, 34, 79, 127, 84mplmon 17972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)
158 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
1596, 140, 38, 158, 42lmod0vs 17393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
16063, 157, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
161156, 160sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
162155, 161eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
163162suppss2OLD 6524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' x " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
164 ssfi 7750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' x "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
165148, 163, 164syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( `' ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
16642, 47, 50, 60, 145, 165gsumsubgclOLD 16783 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )  e.  ( A `
 ran  V )
)
16741, 166eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( A `  ran  V
) )
168167ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  P )  ->  x  e.  ( A `
 ran  V )
) )
169168ssrdv 3515 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( A `  ran  V ) )
17033, 169eqssd 3526 1  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4510   `'ccnv 5003   ran crn 5005   "cima 5007    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   Fincfn 7526   0cc0 9502   NNcn 10546   NN0cn0 10805   Basecbs 14502   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708  SubMndcsubmnd 15818  .gcmg 15905  SubGrpcsubg 16044  CMndccmn 16648   Abelcabl 16649  mulGrpcmgp 16990   1rcur 17002   Ringcrg 17047   CRingccrg 17048  SubRingcsubrg 17273   LModclmod 17360   LSubSpclss 17426  AssAlgcasa 17805  AlgSpancasp 17806   mPwSer cmps 17847   mVar cmvr 17848   mPoly cmpl 17849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-tset 14586  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-srg 17007  df-ring 17049  df-cring 17050  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-assa 17808  df-asp 17809  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854
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