MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas2 Structured version   Unicode version

Theorem mplbas2 17483
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplbas2.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mplbas2.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mplbas2.a  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
mplbas2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplbas2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
mplbas2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables  u  k  v  x  z 
y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mplbas2.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 mplbas2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
41, 2, 3psrassa 17420 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
5 mplbas2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
85, 1, 6, 7mplbasss 17442 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( Base `  S ) )
10 mplbas2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( I mVar  R )
11 crngrng 16591 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
123, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
131, 10, 7, 2, 12mvrf 17431 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  S ) )
14 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( V : I --> ( Base `  S )  ->  V  Fn  I )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
162adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
1712adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
18 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
195, 10, 6, 16, 17, 18mvrcl 17462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( V `  x )  e.  ( Base `  P
) )
2019ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( V `  x
)  e.  ( Base `  P ) )
21 ffnfv 5856 . . . . . 6  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  <->  ( V  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( V `  x )  e.  (
Base `  P )
) )
2215, 20, 21sylanbrc 657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  P ) )
23 frn 5553 . . . . 5  |-  ( V : I --> ( Base `  P )  ->  ran  V 
C_  ( Base `  P
) )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  P ) )
25 mplbas2.a . . . . 5  |-  A  =  (AlgSpan `  S )
2625, 7aspss 17325 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  S )  /\  ran  V  C_  ( Base `  P ) )  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P ) ) )
274, 9, 24, 26syl3anc 1211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( A `  ( Base `  P
) ) )
281, 5, 6, 2, 12mplsubrg 17453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  S
) )
291, 5, 6, 2, 12mpllss 17450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )
30 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  S )  =  (
LSubSp `  S )
3125, 7, 30aspid 17323 . . . 4  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  /\  ( Base `  P
)  e.  ( LSubSp `  S ) )  -> 
( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
324, 28, 29, 31syl3anc 1211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A `  ( Base `  P ) )  =  ( Base `  P
) )
3327, 32sseqtrd 3380 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) )
34 eqid 2433 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
35 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
36 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
372adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  I  e.  W )
38 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
3912adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  e.  Ring )
40 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( Base `  P )
)
415, 34, 35, 36, 37, 6, 38, 39, 40mplcoe1 17478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  =  ( P  gsumg  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) ) )
42 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
435mplrng 17465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
442, 12, 43syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
45 rngabl 16610 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Abel )
4746adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  P  e.  Abel )
48 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4948rabex 4431 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
5124, 8syl6ss 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( Base `  S ) )
5225, 7aspsubrg 17324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
534, 51, 52syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
) )
545, 1, 6mplval2 17441 . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  P
) )
5554subsubrg 16815 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  S )  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
5753, 33, 56mpbir2and 906 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
58 subrgsubg 16795 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
5957, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P ) )
6059adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubGrp `  P )
)
615mpllmod 17464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
622, 12, 61syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
6362ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  P  e.  LMod )
6425, 7, 30asplss 17322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
) )
654, 51, 64syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S ) )
661, 2, 12psrlmod 17406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
67 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  P )  =  (
LSubSp `  P )
6854, 30, 67lsslss 16964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  S )
)  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
)  <->  ( ( A `
 ran  V )  e.  ( LSubSp `  S )  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P ) ) ) )
6966, 29, 68syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ran  V )  e.  (
LSubSp `  P )  <->  ( ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  S
)  /\  ( A `  ran  V )  C_  ( Base `  P )
) ) )
7065, 33, 69mpbir2and 906 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )
7170ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P
) )
72 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
735, 72, 6, 34, 40mplelf 17443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
7473ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  R
) )
755, 37, 39mplsca 17458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7675adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7776fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7874, 77eleqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
x `  k )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
792ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  I  e.  W )
80 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
81 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
823ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  CRing )
83 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )
845, 34, 35, 36, 79, 80, 81, 10, 82, 83mplcoe2 17481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( (mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) ) )
85 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
8680, 85rngidval 16583 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  (mulGrp `  P ) )
875mplcrng 17466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  W  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  CRing )
882, 3, 87syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CRing )
8980crngmgp 16589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  CRing  ->  (mulGrp `  P
)  e. CMnd )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9190ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (mulGrp `  P )  e. CMnd )
9257ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
) )
9380subrgsubm 16802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P
) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( A `  ran  V )  e.  (SubMnd `  (mulGrp `  P ) ) )
95 simplll 750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ph )
9634psrbag 17365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  W  ->  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9737, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  <->  ( k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
) )
9897biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
k : I --> NN0  /\  ( `' k " NN )  e.  Fin )
)
9998simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  k : I --> NN0 )
10099ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( k `  z )  e.  NN0 )
10125, 7aspssid 17326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e. AssAlg  /\  ran  V  C_  ( Base `  S
) )  ->  ran  V 
C_  ( A `  ran  V ) )
1024, 51, 101syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V ) )
103102ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ran  V  C_  ( A `  ran  V
) )
10415ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  V  Fn  I )
105 fnfvelrn 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  Fn  I  /\  z  e.  I )  ->  ( V `  z
)  e.  ran  V
)
106104, 105sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ran  V )
107103, 106sseldd 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( V `  z )  e.  ( A `  ran  V
) )
10880, 6mgpbas 16571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
109 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
11080, 109mgpplusg 16569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  P )  =  ( +g  `  (mulGrp `  P ) )
111109subrgmcl 16801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A `  ran  V )  e.  (SubRing `  P
)  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11257, 111syl3an1 1244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A `  ran  V
)  /\  v  e.  ( A `  ran  V
) )  ->  (
u ( .r `  P ) v )  e.  ( A `  ran  V ) )
11385subrg1cl 16797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A `  ran  V
)  e.  (SubRing `  P
)  ->  ( 1r `  P )  e.  ( A `  ran  V
) )
11457, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  P
)  e.  ( A `
 ran  V )
)
115108, 81, 110, 90, 33, 112, 86, 114mulgnn0subcl 15620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k `  z )  e.  NN0  /\  ( V `  z
)  e.  ( A `
 ran  V )
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
11695, 100, 107, 115syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  I
)  ->  ( (
k `  z )
(.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
117 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )
118116, 117fmptd 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) : I --> ( A `
 ran  V )
)
119 mptexg 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  W  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  e.  _V )
1202, 119syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P ) ) ( V `  z ) ) )  e.  _V )
121120ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )  e.  _V )
122 funmpt 5442 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  Fun  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P ) ) ( V `  z ) ) ) )
124 fvex 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  P )  e. 
_V
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( 1r `  P )  e. 
_V )
12698simprd 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( `' k " NN )  e.  Fin )
127 elrabi 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  ->  k  e.  ( NN0  ^m  I ) )
128 elmapi 7222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  k : I --> NN0 )
129128adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I
) )  ->  k : I --> NN0 )
1302ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I
) )  ->  I  e.  W )
131 frnnn0supp 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k : I --> NN0 )  ->  ( k supp  0 )  =  ( `' k
" NN ) )
132130, 129, 131syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I
) )  ->  (
k supp  0 )  =  ( `' k " NN ) )
133 eqimss 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k supp  0 )  =  ( `' k " NN )  ->  ( k supp  0 )  C_  ( `' k " NN ) )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I
) )  ->  (
k supp  0 )  C_  ( `' k " NN ) )
135 c0ex 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I
) )  ->  0  e.  _V )
137129, 134, 130, 136suppssr 6709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  ( NN0  ^m  I ) )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k
" NN ) ) )  ->  ( k `  z )  =  0 )
138127, 137sylanl2 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
k `  z )  =  0 )
139138oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )
1402ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  I  e.  W )
14112ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  R  e.  Ring )
142 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( I  \ 
( `' k " NN ) )  ->  z  e.  I )
143142adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  z  e.  I )
1445, 10, 6, 140, 141, 143mvrcl 17462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  ( V `  z )  e.  ( Base `  P
) )
145108, 86, 81mulg0 15612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  z )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
146144, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
0 (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
147139, 146eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P ) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  /\  z  e.  ( I  \  ( `' k " NN ) ) )  ->  (
( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) )  =  ( 1r `  P ) )
148147, 79suppss2 6712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P ) ) ( V `  z ) ) ) supp  ( 1r
`  P ) ) 
C_  ( `' k
" NN ) )
149 suppssfifsupp 7623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P ) ) ( V `  z ) ) )  /\  ( 1r `  P )  e. 
_V )  /\  (
( `' k " NN )  e.  Fin  /\  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z ) (.g `  (mulGrp `  P )
) ( V `  z ) ) ) supp  ( 1r `  P
) )  C_  ( `' k " NN ) ) )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z ) (.g `  (mulGrp `  P ) ) ( V `  z ) ) ) finSupp  ( 1r
`  P ) )
150121, 123, 125, 126, 148, 149syl32anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) finSupp  ( 1r `  P ) )
15186, 91, 79, 94, 118, 150gsumsubmcl 16384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
(mulGrp `  P )  gsumg  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
) (.g `  (mulGrp `  P
) ) ( V `
 z ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
15284, 151eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) )
153 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
154 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
155153, 38, 154, 67lssvscl 16958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  LMod  /\  ( A `  ran  V )  e.  ( LSubSp `  P ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( A `  ran  V
) ) )  -> 
( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
15663, 71, 78, 152, 155syl22anc 1212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  e.  ( A `  ran  V ) )
157 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
158156, 157fmptd 5855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( A `  ran  V ) )
15948mptrabex 5936 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  e.  _V
160 funmpt 5442 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
161 fvex 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
162159, 160, 1613pm3.2i 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )
163162a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( k  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  ( ( x `  k ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
1645, 1, 7, 35, 6mplelbas 17438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  <->  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  R ) ) )
165164simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  P
)  ->  x finSupp  ( 0g
`  R ) )
166165adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x finSupp  ( 0g
`  R ) )
167166fsuppimpd 7615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( x supp  ( 0g `  R ) )  e.  Fin )
168 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x supp  ( 0g `  R
) )  C_  (
x supp  ( 0g `  R ) )
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( x supp  ( 0g `  R ) )  C_  ( x supp  ( 0g `  R ) ) )
170 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
17273, 169, 50, 171suppssr 6709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  R ) )
17375fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
174173adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
175172, 174eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  (
x `  k )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
176175oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
177 eldifi 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) )  ->  k  e.  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
17812ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  R  e.  Ring )
1795, 6, 35, 36, 34, 79, 178, 83mplmon 17476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)
180 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
1816, 153, 38, 180, 42lmod0vs 16905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  (
Base `  P )
)  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) ) ( .s
`  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
18263, 179, 181syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
183177, 182sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  k ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  ( 0g `  P ) )
184176, 183eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  P
) )  /\  k  e.  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  \ 
( x supp  ( 0g
`  R ) ) ) )  ->  (
( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g `  P
) )
185184, 50suppss2 6712 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  (
x supp  ( 0g `  R ) ) )
186 suppssfifsupp 7623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( x supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin  /\  ( ( k  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( x supp  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  (
k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
187163, 167, 185, 186syl12anc 1209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( ( x `  k ) ( .s `  P
) ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
18842, 47, 50, 60, 158, 187gsumsubgcl 16386 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  ( ( x `  k
) ( .s `  P ) ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  k ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )  e.  ( A `
 ran  V )
)
18941, 188eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  P )
)  ->  x  e.  ( A `  ran  V
) )
190189ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  P )  ->  x  e.  ( A `
 ran  V )
) )
191190ssrdv 3350 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  P
)  C_  ( A `  ran  V ) )
19233, 191eqssd 3361 1  |-  ( ph  ->  ( A `  ran  V )  =  ( Base `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   ran crn 4828   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   0cc0 9270   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .rcmulr 14222  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362  .gcmg 15397  SubMndcsubmnd 15446  SubGrpcsubg 15655  CMndccmn 16257   Abelcabel 16258  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577   CRingccrg 16578   1rcur 16579  SubRingcsubrg 16785   LModclmod 16872   LSubSpclss 16935  AssAlgcasa 17303  AlgSpancasp 17304   mPwSer cmps 17340   mVar cmvr 17341   mPoly cmpl 17342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-assa 17306  df-asp 17307  df-psr 17351  df-mvr 17352  df-mpl 17353
This theorem is referenced by:  mplind  17516  evlseu  21368
  Copyright terms: Public domain W3C validator