MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfproj Structured version   Unicode version

Theorem mpfproj 18520
Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfproj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
mpfproj  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Distinct variable groups:    B, f    f, I    f, J    R, f    S, f
Allowed substitution hints:    ph( f)    Q( f)    V( f)

Proof of Theorem mpfproj
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( I mVar  ( Ss  R ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 mpfconst.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 mpfconst.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
7 mpfconst.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
8 mpfproj.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 18512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( f `
 J ) ) )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
11 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 10, 3, 11, 4evlsrhm 18510 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
135, 6, 7, 12syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 17695 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgring 17752 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
207, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
2110, 2, 14, 5, 20, 8mvrcl 18431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
22 fnfvelrn 6006 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  J
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
2318, 21, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
24 mpfconst.q . . 3  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2523, 24syl6eleqr 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  J ) )  e.  Q )
269, 25eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( f `  J
) )  e.  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4453   ran crn 4824    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Basecbs 14841   ↾s cress 14842    ^s cpws 15061   Ringcrg 17518   CRingccrg 17519   RingHom crh 17681  SubRingcsubrg 17745   mVar cmvr 18321   mPoly cmpl 18322   evalSub ces 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-srg 17478  df-ring 17520  df-cring 17521  df-rnghom 17684  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-assa 18281  df-asp 18282  df-ascl 18283  df-psr 18325  df-mvr 18326  df-mpl 18327  df-evls 18491
This theorem is referenced by:  mzpmfp  35041
  Copyright terms: Public domain W3C validator