MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Unicode version

Theorem mpfpf1 18514
Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1f.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mpfpf1.q  |-  E  =  ran  ( 1o eval  R
)
Assertion
Ref Expression
mpfpf1  |-  ( F  e.  E  ->  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  e.  Q )
Distinct variable groups:    y, B    y, E    y, F    y, R
Allowed substitution hint:    Q( y)

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5  |-  E  =  ran  ( 1o eval  R
)
2 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
3 pf1f.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3evlval 18320 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
54rneqi 5239 . . . . 5  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `
 B )
61, 5eqtri 2486 . . . 4  |-  E  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `  B
)
76mpfrcl 18314 . . 3  |-  ( F  e.  E  ->  ( 1o  e.  _V  /\  R  e.  CRing  /\  B  e.  (SubRing `  R ) ) )
87simp2d 1009 . 2  |-  ( F  e.  E  ->  R  e.  CRing )
9 id 22 . . . 4  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  E )
109, 1syl6eleq 2555 . . 3  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ran  ( 1o eval  R
) )
11 1on 7155 . . . . 5  |-  1o  e.  On
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
13 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )  =  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) )
142, 3, 12, 13evlrhm 18321 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
1511, 8, 14sylancr 663 . . . 4  |-  ( F  e.  E  ->  ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R ) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
16 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
17 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
18 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
1916, 17, 18ply1bas 18361 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
20 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )
2119, 20rhmf 17502 . . . 4  |-  ( ( 1o eval  R )  e.  ( ( 1o mPoly  R
) RingHom  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  ( 1o eval  R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> ( Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) ) )
22 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( 1o eval  R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  ( B  ^m  1o ) ) )  ->  ( 1o eval  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
23 fvelrnb 5920 . . . 4  |-  ( ( 1o eval  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  -> 
( F  e.  ran  ( 1o eval  R )  <->  E. x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) ( ( 1o eval  R
) `  x )  =  F ) )
2415, 21, 22, 234syl 21 . . 3  |-  ( F  e.  E  ->  ( F  e.  ran  ( 1o eval  R )  <->  E. x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) ( ( 1o eval  R ) `
 x )  =  F ) )
2510, 24mpbid 210 . 2  |-  ( F  e.  E  ->  E. x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) ( ( 1o eval  R ) `
 x )  =  F )
26 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 18492 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R
) `  x )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  x )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
28 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
2926, 16, 28, 3evl1rhm 18495 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) ) )
30 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
3118, 30rhmf 17502 . . . . . . . 8  |-  ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  -> 
(eval1 `
 R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  B ) ) )
32 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( (eval1 `  R ) : (
Base `  (Poly1 `  R
) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) )  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
3329, 31, 323syl 20 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
34 fnfvelrn 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( (eval1 `  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R ) `  x
)  e.  ran  (eval1 `  R ) )
3533, 34sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R
) `  x )  e.  ran  (eval1 `  R ) )
36 pf1rcl.q . . . . . 6  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
3735, 36syl6eleqr 2556 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R
) `  x )  e.  Q )
3827, 37eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( ( ( 1o eval  R ) `  x )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  Q )
39 coeq1 5170 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o eval  R ) `
 x )  =  F  ->  ( (
( 1o eval  R ) `  x )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )
4039eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( ( ( 1o eval  R ) `
 x )  =  F  ->  ( (
( ( 1o eval  R
) `  x )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )  e.  Q  <->  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )  e.  Q ) )
4138, 40syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( ( ( 1o eval  R ) `  x )  =  F  ->  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )  e.  Q ) )
4241rexlimdva 2949 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( E. x  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) ( ( 1o eval  R
) `  x )  =  F  ->  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  e.  Q
) )
438, 25, 42sylc 60 1  |-  ( F  e.  E  ->  ( F  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   {csn 4032    |-> cmpt 4515   Oncon0 4887    X. cxp 5006   ran crn 5009    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    ^m cmap 7438   Basecbs 14644    ^s cpws 14864   CRingccrg 17326   RingHom crh 17488  SubRingcsubrg 17552   mPoly cmpl 18129   evalSub ces 18296   eval cevl 18297  PwSer1cps1 18341  Poly1cpl1 18343  eval1ce1 18478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-srg 17285  df-ring 17327  df-cring 17328  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-assa 18088  df-asp 18089  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-evls 18298  df-evl 18299  df-psr1 18346  df-ply1 18348  df-evl1 18480
This theorem is referenced by:  pf1ind  18518
  Copyright terms: Public domain W3C validator