Theorem mpfind 18695

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfind.cb	|- B = ( Base ` S )
mpfind.cp	|- .+ = ( +g ` S )
mpfind.ct	|- .x. = ( .r ` S )
mpfind.cq	|- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
mpfind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
mpfind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
mpfind.wa	|- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
mpfind.wb	|- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
mpfind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
mpfind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
mpfind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
mpfind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
mpfind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
mpfind.co	|- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
mpfind.pr	|- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
mpfind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
mpfind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   ch, x   et, x   ph, f, g   ps, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   ze, x   x, A   B, f, g, x   f, I, g, x   .+ , f, g, x   Q, f, g   R, f, g   S, f, g   .x. , f, g, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( f, g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x)   S( x)

Proof of Theorem mpfind

Dummy variables i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
2		mpfind.cq	. . . . 5 |- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
3	1, 2	syl6eleq 2510	. . . 4 |- ( ph -> A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
4	2	mpfrcl 18677	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
6		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( I evalSub S ) ` R )
7		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( I mPoly ( S ↾s R ) ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
8		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( S ↾s R ) = ( S ↾s R )
9		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( S ^s ( B ^m I ) ) = ( S ^s ( B ^m I ) )
10		mpfind.cb	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` S )
11	6, 7, 8, 9, 10	evlsrhm 18680	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
13		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
14		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
15	13, 14	rhmf 17890	. . . . . . 7 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
17		ffn 5682	. . . . . 6 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
19		fvelrnb 5865	. . . . 5 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
21	3, 20	mpbid 213	. . 3 |- ( ph -> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A )
22		ffun 5684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
23	16, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
24	23	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
25		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` ( S ↾s R ) )
26		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( I mVar ( S ↾s R ) ) = ( I mVar ( S ↾s R ) )
27		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
28		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
29		eqid 2422	. . . . . . 7 |- (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
30	5	simp1d 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. _V )
31	5	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. CRing )
32	5	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
33	8	subrgcrng 17948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
34	31, 32, 33	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. CRing )
35		crngring 17727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ↾s R ) e. CRing -> ( S ↾s R ) e. Ring )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. Ring )
37	7	mplring 18612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. Ring ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
38	30, 36, 37	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
39	38	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
40		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
41		elpreima 5954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
42	18, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
43	42	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
44	40, 43	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
45	44	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
46		simprr 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
47		elpreima 5954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
48	18, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
49	48	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
50	46, 49	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
51	50	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
52	13, 27	ringacl 17744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
53	39, 45, 51, 52	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
54		rhmghm 17889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
55	12, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
56	55	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
57		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
58	13, 27, 57	ghmlin 16824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
59	56, 45, 51, 58	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
60	31	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> S e. CRing )
61		ovex 6270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ^m I ) e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( B ^m I ) e. _V )
63	16	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
64	63, 45	ffvelrnd 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
65	63, 51	ffvelrnd 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
66		mpfind.cp	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` S )
67	9, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57	pwsplusgval 15324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
68	59, 67	eqtrd 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
69		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ph )
70	18	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
71		fnfvelrn 5971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
72	70, 45, 71	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
73	72, 2	syl6eleqr 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q )
74	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
75		fvimacnvi 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
76	74, 40, 75	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
77	73, 76	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
78		fnfvelrn 5971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
79	70, 51, 78	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
80	79, 2	syl6eleqr 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q )
81		fvimacnvi 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
82	74, 46, 81	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
83	80, 82	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
84		fvex 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. _V
85		fvex 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. _V
86		eleq1 2488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q ) )
87		vex 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
88		mpfind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
89	87, 88	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
90		eleq1 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
91	89, 90	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ta <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
92	86, 91	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ( f e. Q /\ ta ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
93		eleq1 2488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q ) )
94		vex 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- g e. _V
95		mpfind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
96	94, 95	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
97		eleq1 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
98	96, 97	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( et <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
99	93, 98	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( ( g e. Q /\ et ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
100	92, 99	bi2anan9 881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) <-> ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) )
101	100	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) ) )
102		ovex 6270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
103		mpfind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
104	102, 103	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
105		oveq12 6251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
106	105	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
107	104, 106	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ze <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
108	101, 107	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
109		mpfind.ad	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
110	84, 85, 108, 109	vtocl2 3070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
111	69, 77, 83, 110	syl12anc 1262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
112	68, 111	eqeltrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
113		elpreima 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
114	18, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
115	114	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
116	53, 112, 115	mpbir2and 930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
117	116	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
118	13, 28	ringcl 17730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
119	39, 45, 51, 118	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
120		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
121		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
122	120, 121	rhmmhm 17886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
123	12, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
124	123	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
125	120, 13	mgpbas 17665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
126	120, 28	mgpplusg 17663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
127		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
128	121, 127	mgpplusg 17663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
129	125, 126, 128	mhmlin 16525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
130	124, 45, 51, 129	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
131		mpfind.ct	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = ( .r ` S )
132	9, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127	pwsmulrval 15325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
133	130, 132	eqtrd 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
134		ovex 6270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
135		mpfind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
136	134, 135	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
137		oveq12 6251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
138	137	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
139	136, 138	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( si <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
140	101, 139	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
141		mpfind.mu	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
142	84, 85, 140, 141	vtocl2 3070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
143	69, 77, 83, 142	syl12anc 1262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
144	133, 143	eqeltrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
145		elpreima 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
146	18, 145	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
147	146	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
148	119, 144, 147	mpbir2and 930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
149	148	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
150	7	mplassa 18614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. CRing ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
151	30, 34, 150	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
152		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
153	29, 152	asclrhm 18502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
154	151, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
155		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
156	155, 13	rhmf 17890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
157	154, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
158	157	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
159	7, 30, 34	mplsca 18605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
160	159	fveq2d 5822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
161	160	eleq2d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) <-> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) ) )
162	161	biimpa 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
163	158, 162	ffvelrnd 5975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
164	30	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> I e. _V )
165	31	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> S e. CRing )
166	32	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> R e. (SubRing ` S ) )
167	10	subrgss 17945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
168	32, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R C_ B )
169	8, 10	ressbas2 15116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
170	168, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
171	170	eleq2d 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. R <-> i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) )
172	171	biimpar 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. R )
173	6, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172	evlssca 18681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
174		mpfind.co	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
175	174	ralrimiva 2773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. f e. R ch )
176		snex 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { f } e. _V
177	61, 176	xpex 6546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. _V
178		mpfind.wa	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
179	177, 178	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
180		sneq 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = i -> { f } = { i } )
181	180	xpeq2d 4813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = i -> ( ( B ^m I ) X. { f } ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
182	181	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
183	179, 182	syl5bbr 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( ch <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
184	183	cbvralv 2990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. R ch <-> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
185	175, 184	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
186	185	r19.21bi 2728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. R ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
187	172, 186	syldan 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
188	173, 187	eqeltrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
189		elpreima 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
190	18, 189	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
191	190	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
192	163, 188, 191	mpbir2and 930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
193	192	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
194	30	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> I e. _V )
195	36	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S ↾s R ) e. Ring )
196		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
197	7, 26, 13, 194, 195, 196	mvrcl 18609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
198	31	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> S e. CRing )
199	32	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> R e. (SubRing ` S ) )
200	6, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196	evlsvar 18682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
201		mpfind.pr	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
202	61	mptex 6088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. _V
203		mpfind.wb	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
204	202, 203	elab 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> th )
205	201, 204	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
206	205	ralrimiva 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
207		fveq2 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( g ` f ) = ( g ` i ) )
208	207	mpteq2dv 4447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
209	208	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = i -> ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } ) )
210	209	cbvralv 2990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
211	206, 210	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
212	211	r19.21bi 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
213	200, 212	eqeltrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
214		elpreima 5954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
215	18, 214	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
216	215	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
217	197, 213, 216	mpbir2and 930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
218	217	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
219		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
220	30	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> I e. _V )
221	34	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
222	25, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221	mplind 18661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
223		fvimacnvi 5948	. . . . . 6 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
224	24, 222, 223	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
225		eleq1 2488	. . . . 5 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } <-> A e. { x | ps } ) )
226	224, 225	syl5ibcom 223	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
227	226	rexlimdva 2850	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
228	21, 227	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
229		mpfind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
230	229	elabg 3154	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
231	1, 230	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
232	228, 231	mpbid 213	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   {cab 2408   A.wral 2708   E.wrex 2709   _Vcvv 3016   C_ wss 3372   {csn 3934   |-> cmpt 4418   X. cxp 4787   `'ccnv 4788   ran crn 4790   "cima 4792   Fun wfun 5531   Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   oFcof 6480   ^m cmap 7420   Basecbs 15057   ↾_s cress 15058   +g cplusg 15126   .rcmulr 15127  Scalarcsca 15129   ^_s cpws 15281   MndHom cmhm 16516   GrpHom cghm 16816  mulGrpcmgp 17659   Ringcrg 17716   CRingccrg 17717   RingHom crh 17876  SubRingcsubrg 17940  AssAlgcasa 18469  algSccascl 18471   mVar cmvr 18512   mPoly cmpl 18513   evalSub ces 18663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-ofr 6483  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-sup 7902  df-oi 7971  df-card 8318  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-hash 12459  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-hom 15150  df-cco 15151  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-prds 15282  df-pws 15284  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-ghm 16817  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-srg 17676  df-ring 17718  df-cring 17719  df-rnghom 17879  df-subrg 17942  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-lsp 18131  df-assa 18472  df-asp 18473  df-ascl 18474  df-psr 18516  df-mvr 18517  df-mpl 18518  df-evls 18665

This theorem is referenced by:  pf1ind  18879  mzpmfp  35495