Theorem mpfind 17625

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfind.cb	|- B = ( Base ` S )
mpfind.cp	|- .+ = ( +g ` S )
mpfind.ct	|- .x. = ( .r ` S )
mpfind.cq	|- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
mpfind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
mpfind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
mpfind.wa	|- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
mpfind.wb	|- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
mpfind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
mpfind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
mpfind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
mpfind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
mpfind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
mpfind.co	|- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
mpfind.pr	|- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
mpfind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
mpfind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   ch, x   et, x   ph, f, g   ps, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   ze, x   x, A   B, f, g, x   f, I, g, x   .+ , f, g, x   Q, f, g   R, f, g   S, f, g   .x. , f, g, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( f, g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x)   S( x)

Proof of Theorem mpfind

Dummy variables i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
2		mpfind.cq	. . . . 5 |- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
3	1, 2	syl6eleq 2533	. . . 4 |- ( ph -> A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
4	2	mpfrcl 17607	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
5	1, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
6		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( I evalSub S ) ` R )
7		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( I mPoly ( S ↾s R ) ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
8		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( S ↾s R ) = ( S ↾s R )
9		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( S ^s ( B ^m I ) ) = ( S ^s ( B ^m I ) )
10		mpfind.cb	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` S )
11	6, 7, 8, 9, 10	evlsrhm 17610	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
13		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
14		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
15	13, 14	rhmf 16819	. . . . . . 7 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
16	12, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
17		ffn 5562	. . . . . 6 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
19		fvelrnb 5742	. . . . 5 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
21	3, 20	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A )
22		ffun 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
23	16, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
25		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` ( S ↾s R ) )
26		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( I mVar ( S ↾s R ) ) = ( I mVar ( S ↾s R ) )
27		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
28		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
29		eqid 2443	. . . . . . 7 |- (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
30	5	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. _V )
31	5	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. CRing )
32	5	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
33	8	subrgcrng 16872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. CRing )
35		crngrng 16658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ↾s R ) e. CRing -> ( S ↾s R ) e. Ring )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. Ring )
37	7	mplrng 17534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. Ring ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
38	30, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
40		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
41		elpreima 5826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
42	18, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
46		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
47		elpreima 5826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
48	18, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
50	46, 49	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
52	13, 27	rngacl 16675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
53	39, 45, 51, 52	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
54		rhmghm 16818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
55	12, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
57		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
58	13, 27, 57	ghmlin 15755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
59	56, 45, 51, 58	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
60	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> S e. CRing )
61		ovex 6119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ^m I ) e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( B ^m I ) e. _V )
63	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
64	63, 45	ffvelrnd 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
65	63, 51	ffvelrnd 5847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
66		mpfind.cp	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` S )
67	9, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57	pwsplusgval 14431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
68	59, 67	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
69		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ph )
70	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
71		fnfvelrn 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
72	70, 45, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
73	72, 2	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q )
74	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
75		fvimacnvi 5820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
76	74, 40, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
77	73, 76	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
78		fnfvelrn 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
79	70, 51, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
80	79, 2	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q )
81		fvimacnvi 5820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
82	74, 46, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
83	80, 82	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
84		fvex 5704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. _V
85		fvex 5704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. _V
86		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q ) )
87		vex 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
88		mpfind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
89	87, 88	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
90		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
91	89, 90	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ta <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
92	86, 91	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ( f e. Q /\ ta ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
93		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q ) )
94		vex 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- g e. _V
95		mpfind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
96	94, 95	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
97		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
98	96, 97	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( et <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
99	93, 98	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( ( g e. Q /\ et ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
100	92, 99	bi2anan9 868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) <-> ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) )
101	100	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) ) )
102		ovex 6119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
103		mpfind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
104	102, 103	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
105		oveq12 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
106	105	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
107	104, 106	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ze <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
108	101, 107	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
109		mpfind.ad	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
110	84, 85, 108, 109	vtocl2 3028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
111	69, 77, 83, 110	syl12anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
112	68, 111	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
113		elpreima 5826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
114	18, 113	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
116	53, 112, 115	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
117	116	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
118	13, 28	rngcl 16661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
119	39, 45, 51, 118	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
120		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
121		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
122	120, 121	rhmmhm 16815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
123	12, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
125	120, 13	mgpbas 16600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
126	120, 28	mgpplusg 16598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
127		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
128	121, 127	mgpplusg 16598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
129	125, 126, 128	mhmlin 15474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
130	124, 45, 51, 129	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
131		mpfind.ct	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = ( .r ` S )
132	9, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127	pwsmulrval 14432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
133	130, 132	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
134		ovex 6119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
135		mpfind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
136	134, 135	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
137		oveq12 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
138	137	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
139	136, 138	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( si <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
140	101, 139	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
141		mpfind.mu	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
142	84, 85, 140, 141	vtocl2 3028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
143	69, 77, 83, 142	syl12anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
144	133, 143	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
145		elpreima 5826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
146	18, 145	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
147	146	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
148	119, 144, 147	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
149	148	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
150	7	mplassa 17536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. CRing ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
151	30, 34, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
152		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
153	29, 152	asclrhm 17415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
154	151, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
155		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
156	155, 13	rhmf 16819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
157	154, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
159	7, 30, 34	mplsca 17527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
160	159	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
161	160	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) <-> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) ) )
162	161	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
163	158, 162	ffvelrnd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
164	30	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> I e. _V )
165	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> S e. CRing )
166	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> R e. (SubRing ` S ) )
167	10	subrgss 16869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
168	32, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R C_ B )
169	8, 10	ressbas2 14232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
170	168, 169	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
171	170	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. R <-> i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) )
172	171	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. R )
173	6, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172	evlssca 17611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
174		mpfind.co	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
175	174	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. f e. R ch )
176		snex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { f } e. _V
177	61, 176	xpex 6511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. _V
178		mpfind.wa	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
179	177, 178	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
180		sneq 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = i -> { f } = { i } )
181	180	xpeq2d 4867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = i -> ( ( B ^m I ) X. { f } ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
182	181	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
183	179, 182	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( ch <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
184	183	cbvralv 2950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. R ch <-> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
185	175, 184	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
186	185	r19.21bi 2817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. R ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
187	172, 186	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
188	173, 187	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
189		elpreima 5826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
190	18, 189	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
191	190	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
192	163, 188, 191	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
193	192	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
194	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> I e. _V )
195	36	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S ↾s R ) e. Ring )
196		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
197	7, 26, 13, 194, 195, 196	mvrcl 17531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
198	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> S e. CRing )
199	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> R e. (SubRing ` S ) )
200	6, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196	evlsvar 17612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
201		mpfind.pr	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
202	61	mptex 5951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. _V
203		mpfind.wb	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
204	202, 203	elab 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> th )
205	201, 204	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
206	205	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
207		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( g ` f ) = ( g ` i ) )
208	207	mpteq2dv 4382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
209	208	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = i -> ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } ) )
210	209	cbvralv 2950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
211	206, 210	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
212	211	r19.21bi 2817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
213	200, 212	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
214		elpreima 5826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
215	18, 214	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
216	215	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
217	197, 213, 216	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
218	217	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
219		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
220	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> I e. _V )
221	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
222	25, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221	mplind 17587	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
223		fvimacnvi 5820	. . . . . 6 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
224	24, 222, 223	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
225		eleq1 2503	. . . . 5 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } <-> A e. { x | ps } ) )
226	224, 225	syl5ibcom 220	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
227	226	rexlimdva 2844	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
228	21, 227	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
229		mpfind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
230	229	elabg 3110	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
231	1, 230	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
232	228, 231	mpbid 210	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   C_ wss 3331   {csn 3880   e. cmpt 4353   X. cxp 4841   `'ccnv 4842   ran crn 4844   "cima 4846   Fun wfun 5415   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   oFcof 6321   ^m cmap 7217   Basecbs 14177   ↾_s cress 14178   +g cplusg 14241   .rcmulr 14242  Scalarcsca 14244   ^_s cpws 14388   MndHom cmhm 15465   GrpHom cghm 15747  mulGrpcmgp 16594   Ringcrg 16648   CRingccrg 16649   RingHom crh 16807  SubRingcsubrg 16864  AssAlgcasa 17384  algSccascl 17386   mVar cmvr 17422   mPoly cmpl 17423   evalSub ces 17589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-prds 14389  df-pws 14391  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-srg 16611  df-rng 16650  df-cring 16651  df-rnghom 16809  df-subrg 16866  df-lmod 16953  df-lss 17017  df-lsp 17056  df-assa 17387  df-asp 17388  df-ascl 17389  df-psr 17426  df-mvr 17427  df-mpl 17428  df-evls 17591

This theorem is referenced by:  pf1ind  17792  mzpmfp  29086  mzpmfpOLD  29087