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Theorem mpfind 18695
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfind.cb  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  S )
mpfind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  S )
mpfind.cq  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
mpfind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
mpfind.wa  |-  ( x  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
mpfind.wb  |-  ( x  =  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
mpfind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mpfind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
mpfind.we  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
mpfind.wf  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
mpfind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
mpfind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  R )  ->  ch )
mpfind.pr  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  th )
mpfind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
mpfind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    ch, x    et, x    ph, f, g    ps, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    ze, x    x, A    B, f, g, x   
f, I, g, x    .+ , f, g, x    Q, f, g    R, f, g    S, f, g    .x. , f,
g, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( f, g)    ze( f, g)    si( f, g)    rh( f,
g)    A( f, g)    Q( x)    R( x)    S( x)

Proof of Theorem mpfind
Dummy variables  i 
j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
2 mpfind.cq . . . . 5  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
31, 2syl6eleq 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
42mpfrcl 18677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
51, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
6 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
7 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
8 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
9 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
10 mpfind.cb . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
116, 7, 8, 9, 10evlsrhm 18680 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
125, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
13 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
14 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1513, 14rhmf 17890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
1612, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5682 . . . . . 6  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
19 fvelrnb 5865 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  ( A  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  <->  E. y  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  =  A ) )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  <->  E. y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A ) )
213, 20mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  =  A )
22 ffun 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
2316, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
2423adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
25 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  ( Ss  R ) )
26 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( I mVar  ( Ss  R ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
27 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
28 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )
29 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
305simp1d 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
315simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
325simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
338subrgcrng 17948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Ss  R
)  e.  CRing )
3431, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  CRing )
35 crngring 17727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ss  R )  e.  CRing  -> 
( Ss  R )  e.  Ring )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
377mplring 18612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
3830, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring )
3938adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
40 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
41 elpreima 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4218, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4342adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4440, 43mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) )
4544simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  i  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
46 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
47 elpreima 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4818, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
5046, 49mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) )
5150simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  j  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5213, 27ringacl 17744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5339, 45, 51, 52syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
54 rhmghm 17889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
5512, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
57 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
5813, 27, 57ghmlin 16824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )
( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j ) ) )
5956, 45, 51, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )
( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j ) ) )
6031adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  S  e.  CRing )
61 ovex 6270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( B  ^m  I )  e.  _V )
6316adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
) : ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> (
Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
6463, 45ffvelrnd 5975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
6563, 51ffvelrnd 5975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
66 mpfind.cp . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  S )
679, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57pwsplusgval 15324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i ) ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
6859, 67eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) ) )
69 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ph )
7018adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
71 fnfvelrn 5971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7270, 45, 71syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7372, 2syl6eleqr 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q )
7423adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  Fun  ( (
I evalSub  S ) `  R
) )
75 fvimacnvi 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )
7674, 40, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )
7773, 76jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } ) )
78 fnfvelrn 5971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7970, 51, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
8079, 2syl6eleqr 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q )
81 fvimacnvi 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } )
8274, 46, 81syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } )
8380, 82jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) )
84 fvex 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  _V
85 fvex 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j )  e.  _V
86 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( f  e.  Q  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  Q
) )
87 vex 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
88 mpfind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
8987, 88elab 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
90 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( f  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) )
9189, 90syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( ta  <->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  i
)  e.  { x  |  ps } ) )
9286, 91anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( ( f  e.  Q  /\  ta )  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
93 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( g  e.  Q  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q
) )
94 vex 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  g  e. 
_V
95 mpfind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
9694, 95elab 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
97 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( g  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) )
9896, 97syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( et  <->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  j
)  e.  { x  |  ps } ) )
9993, 98anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( ( g  e.  Q  /\  et )  <-> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
10092, 99bi2anan9 881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  <->  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) ) )
101100anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( ( ph  /\  ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  ( g  e.  Q  /\  et ) ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) ) ) )
102 ovex 6270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .+  g
)  e.  _V
103 mpfind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
104102, 103elab 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
105 oveq12 6251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( f  oF  .+  g )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
106105eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
107104, 106syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( ze  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
108101, 107imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( ph  /\  (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )  <->  ( ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )  -> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
109 mpfind.ad . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
11084, 85, 108, 109vtocl2 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
11169, 77, 83, 110syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
11268, 111eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  e. 
{ x  |  ps } )
113 elpreima 5954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
11418, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
115114adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `
 R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
11653, 112, 115mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
117116adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
11813, 28ringcl 17730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
11939, 45, 51, 118syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
120 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
121 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )
122120, 121rhmmhm 17886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
12312, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
124123adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
125120, 13mgpbas 17665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
126120, 28mgpplusg 17663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( +g  `  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
127 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
128121, 127mgpplusg 17663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( +g  `  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
129125, 126, 128mhmlin 16525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
130124, 45, 51, 129syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
131 mpfind.ct . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  ( .r `  S )
1329, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127pwsmulrval 15325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
133130, 132eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
134 ovex 6270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .x.  g
)  e.  _V
135 mpfind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
136134, 135elab 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
137 oveq12 6251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( f  oF  .x.  g )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
138137eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
139136, 138syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( si  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
140101, 139imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( ph  /\  (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )  <->  ( ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )  -> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
141 mpfind.mu . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
14284, 85, 140, 141vtocl2 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
14369, 77, 83, 142syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
144133, 143eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } )
145 elpreima 5954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( i ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
14618, 145syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
147146adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( i ( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `
 R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
148119, 144, 147mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
149148adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
1507mplassa 18614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( Ss  R )  e.  CRing )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg
)
15130, 34, 150syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg )
152 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15329, 152asclrhm 18502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  e.  ( (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) RingHom  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) )
154151, 153syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  e.  ( (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) RingHom  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
155 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
156155, 13rhmf 17890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  e.  ( (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) RingHom  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) )  ->  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : (
Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
157154, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
158157adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1597, 30, 34mplsca 18605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
160159fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
161160eleq2d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  (
Base `  ( Ss  R
) )  <->  i  e.  ( Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) ) )
162161biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
i  e.  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
163158, 162ffvelrnd 5975 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
16430adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  I  e.  _V )
16531adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  S  e.  CRing )
16632adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
16710subrgss 17945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
16832, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  C_  B )
1698, 10ressbas2 15116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
171170eleq2d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( i  e.  R  <->  i  e.  ( Base `  ( Ss  R ) ) ) )
172171biimpar 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
i  e.  R )
1736, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172evlssca 18681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i ) )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } ) )
174 mpfind.co . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  R )  ->  ch )
175174ralrimiva 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. f  e.  R  ch )
176 snex 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { f }  e.  _V
17761, 176xpex 6546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { f } )  e.  _V
178 mpfind.wa . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
179177, 178elab 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  ^m  I
)  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
180 sneq 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  i  ->  { f }  =  { i } )
181180xpeq2d 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  i  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { f } )  =  ( ( B  ^m  I
)  X.  { i } ) )
182181eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  i  ->  (
( ( B  ^m  I )  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
183179, 182syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  i  ->  ( ch 
<->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
184183cbvralv 2990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  R  ch  <->  A. i  e.  R  ( ( B  ^m  I
)  X.  { i } )  e.  {
x  |  ps }
)
185175, 184sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. i  e.  R  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } )
186185r19.21bi 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  R )  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { i } )  e.  {
x  |  ps }
)
187172, 186syldan 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } )
188173, 187eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
189 elpreima 5954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
19018, 189syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
191190adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
192163, 188, 191mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) )
193192adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R ) ) )  ->  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
19430adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  I  e.  _V )
19536adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
196 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
1977, 26, 13, 194, 195, 196mvrcl 18609 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
19831adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  CRing )
19932adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  R  e.  (SubRing `  S )
)
2006, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196evlsvar 18682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  i
) ) )
201 mpfind.pr . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  th )
20261mptex 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
203 mpfind.wb . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
204202, 203elab 3153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps }  <->  th )
205201, 204sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps } )
206205ralrimiva 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. f  e.  I 
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  {
x  |  ps }
)
207 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  i  ->  (
g `  f )  =  ( g `  i ) )
208207mpteq2dv 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  i  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 i ) ) )
209208eleq1d 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  i  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) )
210209cbvralv 2990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  I  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps }  <->  A. i  e.  I  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
211206, 210sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I 
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
)
212211r19.21bi 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  i ) )  e.  { x  |  ps } )
213200, 212eqeltrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
214 elpreima 5954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
21518, 214syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
216215adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
217197, 213, 216mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) )
218217adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  i  e.  I )  ->  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
219 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
22030adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  I  e.  _V )
22134adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( Ss  R
)  e.  CRing )
22225, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221mplind 18661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  y  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
223 fvimacnvi 5948 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  y  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  e.  { x  |  ps } )
22424, 222, 223syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  y
)  e.  { x  |  ps } )
225 eleq1 2488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  y )  e.  {
x  |  ps }  <->  A  e.  { x  |  ps } ) )
226224, 225syl5ibcom 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A  ->  A  e.  {
x  |  ps }
) )
227226rexlimdva 2850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  y )  =  A  ->  A  e.  {
x  |  ps }
) )
22821, 227mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
229 mpfind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
230229elabg 3154 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
2311, 230syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
232228, 231mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2408   A.wral 2708   E.wrex 2709   _Vcvv 3016    C_ wss 3372   {csn 3934    |-> cmpt 4418    X. cxp 4787   `'ccnv 4788   ran crn 4790   "cima 4792   Fun wfun 5531    Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242    oFcof 6480    ^m cmap 7420   Basecbs 15057   ↾s cress 15058   +g cplusg 15126   .rcmulr 15127  Scalarcsca 15129    ^s cpws 15281   MndHom cmhm 16516    GrpHom cghm 16816  mulGrpcmgp 17659   Ringcrg 17716   CRingccrg 17717   RingHom crh 17876  SubRingcsubrg 17940  AssAlgcasa 18469  algSccascl 18471   mVar cmvr 18512   mPoly cmpl 18513   evalSub ces 18663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-ofr 6483  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-sup 7902  df-oi 7971  df-card 8318  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-hash 12459  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-hom 15150  df-cco 15151  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-prds 15282  df-pws 15284  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-ghm 16817  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-srg 17676  df-ring 17718  df-cring 17719  df-rnghom 17879  df-subrg 17942  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-lsp 18131  df-assa 18472  df-asp 18473  df-ascl 18474  df-psr 18516  df-mvr 18517  df-mpl 18518  df-evls 18665
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