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Theorem mpfind 18052
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfind.cb  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  S )
mpfind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  S )
mpfind.cq  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
mpfind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
mpfind.wa  |-  ( x  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
mpfind.wb  |-  ( x  =  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
mpfind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
mpfind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
mpfind.we  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
mpfind.wf  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
mpfind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
mpfind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  R )  ->  ch )
mpfind.pr  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  th )
mpfind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
mpfind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    ch, x    et, x    ph, f, g    ps, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    ze, x    x, A    B, f, g, x   
f, I, g, x    .+ , f, g, x    Q, f, g    R, f, g    S, f, g    .x. , f,
g, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( f, g)    ze( f, g)    si( f, g)    rh( f,
g)    A( f, g)    Q( x)    R( x)    S( x)

Proof of Theorem mpfind
Dummy variables  i 
j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
2 mpfind.cq . . . . 5  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
31, 2syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  (
( I evalSub  S ) `  R ) )
42mpfrcl 18034 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
6 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
7 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
8 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
9 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
10 mpfind.cb . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
116, 7, 8, 9, 10evlsrhm 18037 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
14 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1513, 14rhmf 17224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
1612, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5736 . . . . . 6  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
19 fvelrnb 5920 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  ( A  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  <->  E. y  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  =  A ) )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )  <->  E. y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A ) )
213, 20mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  =  A )
22 ffun 5738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
2316, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
2423adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
25 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  ( Ss  R ) )
26 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( I mVar  ( Ss  R ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
28 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )
29 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
305simp1d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
315simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
325simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
338subrgcrng 17281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Ss  R
)  e.  CRing )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  CRing )
35 crngring 17058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ss  R )  e.  CRing  -> 
( Ss  R )  e.  Ring )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
377mplring 17961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
3830, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
41 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4218, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) )
4544simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  i  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
47 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4818, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
5046, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) )
5150simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  j  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5213, 27ringacl 17075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5339, 45, 51, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
54 rhmghm 17223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
5512, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
57 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
5813, 27, 57ghmlin 16121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  GrpHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )
( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j ) ) )
5956, 45, 51, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )
( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j ) ) )
6031adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  S  e.  CRing )
61 ovex 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( B  ^m  I )  e.  _V )
6316adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
) : ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> (
Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
6463, 45ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
6563, 51ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
66 mpfind.cp . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  S )
679, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57pwsplusgval 14757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i ) ( +g  `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
6859, 67eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) ) )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ph )
7018adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
71 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7270, 45, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7372, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q )
7423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  Fun  ( (
I evalSub  S ) `  R
) )
75 fvimacnvi 6001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )
7674, 40, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )
7773, 76jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } ) )
78 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
7970, 51, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
8079, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q )
81 fvimacnvi 6001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } )
8274, 46, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } )
8380, 82jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) )
84 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  _V
85 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j )  e.  _V
86 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( f  e.  Q  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  Q
) )
87 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
88 mpfind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
8987, 88elab 3255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
90 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( f  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) )
9189, 90syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( ta  <->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  i
)  e.  { x  |  ps } ) )
9286, 91anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  ->  ( ( f  e.  Q  /\  ta )  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
93 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( g  e.  Q  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q
) )
94 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  g  e. 
_V
95 mpfind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
9694, 95elab 3255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
97 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( g  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) )
9896, 97syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( et  <->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  j
)  e.  { x  |  ps } ) )
9993, 98anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  ->  ( ( g  e.  Q  /\  et )  <-> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
10092, 99bi2anan9 871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  <->  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) ) )
101100anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( ( ph  /\  ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  ( g  e.  Q  /\  et ) ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) ) ) )
102 ovex 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .+  g
)  e.  _V
103 mpfind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
104102, 103elab 3255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
105 oveq12 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( f  oF  .+  g )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
106105eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
107104, 106syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( ze  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
108101, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( ph  /\  (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )  <->  ( ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )  -> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
109 mpfind.ad . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
11084, 85, 108, 109vtocl2 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
11169, 77, 83, 110syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .+  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
11268, 111eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j ) )  e. 
{ x  |  ps } )
113 elpreima 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
11418, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `
 R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( +g  `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( i ( +g  `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
11653, 112, 115mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
117116adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( +g  `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
11813, 28ringcl 17061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e.  Ring  /\  i  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
11939, 45, 51, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
120 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
121 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )
122120, 121rhmmhm 17220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
12312, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ) )
125120, 13mgpbas 16996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
126120, 28mgpplusg 16994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( +g  `  (mulGrp `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
127 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
128121, 127mgpplusg 16994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( +g  `  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
129125, 126, 128mhmlin 15826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( (mulGrp `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) MndHom  (mulGrp `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  j  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
130124, 45, 51, 129syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
131 mpfind.ct . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  ( .r `  S )
1329, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127pwsmulrval 14758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i ) ( .r
`  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
133130, 132eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  =  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
134 ovex 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .x.  g
)  e.  _V
135 mpfind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
136134, 135elab 3255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
137 oveq12 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( f  oF  .x.  g )  =  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
) )
138137eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
139136, 138syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( si  <->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
140101, 139imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  /\  g  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  ->  ( (
( ph  /\  (
( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )  <->  ( ( ph  /\  ( ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  { x  |  ps } )  /\  (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  {
x  |  ps }
) ) )  -> 
( ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  j ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
141 mpfind.mu . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
14284, 85, 140, 141vtocl2 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  i )  e.  Q  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  i )  e.  {
x  |  ps }
)  /\  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  j )  e.  Q  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )  e.  { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
14369, 77, 83, 142syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  i )  oF  .x.  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  j )
)  e.  { x  |  ps } )
144133, 143eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } )
145 elpreima 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( i ( .r
`  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
14618, 145syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
147146adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( i ( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `
 R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
i ( .r `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) j )  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( i
( .r `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) j ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
148119, 144, 147mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
149148adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  ( i  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  /\  j  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) ) )  ->  ( i ( .r `  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) j )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
1507mplassa 17963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( Ss  R )  e.  CRing )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg
)
15130, 34, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg )
152 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15329, 152asclrhm 17838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. AssAlg  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  e.  ( (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) RingHom  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) ) )
154151, 153syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  e.  ( (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) RingHom  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
155 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
156155, 13rhmf 17224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  e.  ( (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) RingHom  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) )  ->  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : (
Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
157154, 156syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
158157adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1597, 30, 34mplsca 17954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
160159fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
161160eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  (
Base `  ( Ss  R
) )  <->  i  e.  ( Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) ) )
162161biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
i  e.  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
163158, 162ffvelrnd 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
16430adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  I  e.  _V )
16531adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  S  e.  CRing )
16632adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
16710subrgss 17278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
16832, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  C_  B )
1698, 10ressbas2 14558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
171170eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( i  e.  R  <->  i  e.  ( Base `  ( Ss  R ) ) ) )
172171biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
i  e.  R )
1736, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172evlssca 18038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i ) )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } ) )
174 mpfind.co . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  R )  ->  ch )
175174ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. f  e.  R  ch )
176 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { f }  e.  _V
17761, 176xpex 6598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { f } )  e.  _V
178 mpfind.wa . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
179177, 178elab 3255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  ^m  I
)  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
180 sneq 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  i  ->  { f }  =  { i } )
181180xpeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  i  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { f } )  =  ( ( B  ^m  I
)  X.  { i } ) )
182181eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  i  ->  (
( ( B  ^m  I )  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
183179, 182syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  i  ->  ( ch 
<->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
184183cbvralv 3093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  R  ch  <->  A. i  e.  R  ( ( B  ^m  I
)  X.  { i } )  e.  {
x  |  ps }
)
185175, 184sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. i  e.  R  ( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } )
186185r19.21bi 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  R )  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { i } )  e.  {
x  |  ps }
)
187172, 186syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( B  ^m  I )  X.  {
i } )  e. 
{ x  |  ps } )
188173, 187eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
189 elpreima 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
19018, 189syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
191190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 i )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
192163, 188, 191mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R
) ) )  -> 
( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) )
193192adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  i  e.  ( Base `  ( Ss  R ) ) )  ->  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
19430adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  I  e.  _V )
19536adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
196 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
1977, 26, 13, 194, 195, 196mvrcl 17958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
19831adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  CRing )
19932adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  R  e.  (SubRing `  S )
)
2006, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196evlsvar 18039 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  i
) ) )
201 mpfind.pr . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  th )
20261mptex 6141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 f ) )  e.  _V
203 mpfind.wb . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  f ) )  -> 
( ps  <->  th )
)
204202, 203elab 3255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps }  <->  th )
205201, 204sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  I )  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps } )
206205ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. f  e.  I 
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  {
x  |  ps }
)
207 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  i  ->  (
g `  f )  =  ( g `  i ) )
208207mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  i  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 i ) ) )
209208eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  i  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) )
210209cbvralv 3093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  I  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  f ) )  e.  { x  |  ps }  <->  A. i  e.  I  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
211206, 210sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I 
( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  i
) )  e.  {
x  |  ps }
)
212211r19.21bi 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  i ) )  e.  { x  |  ps } )
213200, 212eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e. 
{ x  |  ps } )
214 elpreima 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  ->  (
( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
21518, 214syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
216215adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } )  <->  ( (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (
I mVar  ( Ss  R ) ) `  i ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
217197, 213, 216mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  (
( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i
)  e.  ( `' ( ( I evalSub  S
) `  R ) " { x  |  ps } ) )
218217adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  /\  i  e.  I )  ->  ( ( I mVar  ( Ss  R ) ) `  i )  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
219 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
22030adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  I  e.  _V )
22134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( Ss  R
)  e.  CRing )
22225, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221mplind 18014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  y  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )
223 fvimacnvi 6001 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  /\  y  e.  ( `' ( ( I evalSub  S ) `  R
) " { x  |  ps } ) )  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  y )  e.  { x  |  ps } )
22424, 222, 223syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( (
( I evalSub  S ) `  R ) `  y
)  e.  { x  |  ps } )
225 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A  ->  ( ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  y )  e.  {
x  |  ps }  <->  A  e.  { x  |  ps } ) )
226224, 225syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  ->  ( (
( ( I evalSub  S
) `  R ) `  y )  =  A  ->  A  e.  {
x  |  ps }
) )
227226rexlimdva 2959 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) `  y )  =  A  ->  A  e.  {
x  |  ps }
) )
22821, 227mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
229 mpfind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
230229elabg 3256 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
2311, 230syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
232228, 231mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4032    |-> cmpt 4510    X. cxp 5002   `'ccnv 5003   ran crn 5005   "cima 5007   Fun wfun 5587    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    oFcof 6532    ^m cmap 7430   Basecbs 14502   ↾s cress 14503   +g cplusg 14567   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570    ^s cpws 14714   MndHom cmhm 15817    GrpHom cghm 16113  mulGrpcmgp 16990   Ringcrg 17047   CRingccrg 17048   RingHom crh 17210  SubRingcsubrg 17273  AssAlgcasa 17805  algSccascl 17807   mVar cmvr 17848   mPoly cmpl 17849   evalSub ces 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-srg 17007  df-ring 17049  df-cring 17050  df-rnghom 17213  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-assa 17808  df-asp 17809  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-evls 18018
This theorem is referenced by:  pf1ind  18238  mzpmfp  30575  mzpmfpOLD  30576
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