Theorem mpfind 18052

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfind.cb	|- B = ( Base ` S )
mpfind.cp	|- .+ = ( +g ` S )
mpfind.ct	|- .x. = ( .r ` S )
mpfind.cq	|- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
mpfind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
mpfind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
mpfind.wa	|- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
mpfind.wb	|- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
mpfind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
mpfind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
mpfind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
mpfind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
mpfind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
mpfind.co	|- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
mpfind.pr	|- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
mpfind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
mpfind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   ch, x   et, x   ph, f, g   ps, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   ze, x   x, A   B, f, g, x   f, I, g, x   .+ , f, g, x   Q, f, g   R, f, g   S, f, g   .x. , f, g, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( f, g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x)   S( x)

Proof of Theorem mpfind

Dummy variables i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
2		mpfind.cq	. . . . 5 |- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
3	1, 2	syl6eleq 2565	. . . 4 |- ( ph -> A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
4	2	mpfrcl 18034	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
5	1, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
6		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( I evalSub S ) ` R )
7		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( I mPoly ( S ↾s R ) ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
8		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( S ↾s R ) = ( S ↾s R )
9		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( S ^s ( B ^m I ) ) = ( S ^s ( B ^m I ) )
10		mpfind.cb	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` S )
11	6, 7, 8, 9, 10	evlsrhm 18037	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
13		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
14		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
15	13, 14	rhmf 17224	. . . . . . 7 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
16	12, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
17		ffn 5736	. . . . . 6 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
19		fvelrnb 5920	. . . . 5 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
21	3, 20	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A )
22		ffun 5738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
23	16, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
25		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` ( S ↾s R ) )
26		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( I mVar ( S ↾s R ) ) = ( I mVar ( S ↾s R ) )
27		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
28		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
29		eqid 2467	. . . . . . 7 |- (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
30	5	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. _V )
31	5	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. CRing )
32	5	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
33	8	subrgcrng 17281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. CRing )
35		crngring 17058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ↾s R ) e. CRing -> ( S ↾s R ) e. Ring )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. Ring )
37	7	mplring 17961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. Ring ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
38	30, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
40		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
41		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
42	18, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
46		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
47		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
48	18, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
50	46, 49	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
52	13, 27	ringacl 17075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
53	39, 45, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
54		rhmghm 17223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
55	12, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
58	13, 27, 57	ghmlin 16121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
59	56, 45, 51, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
60	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> S e. CRing )
61		ovex 6319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ^m I ) e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( B ^m I ) e. _V )
63	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
64	63, 45	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
65	63, 51	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
66		mpfind.cp	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` S )
67	9, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57	pwsplusgval 14757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
68	59, 67	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
69		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ph )
70	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
71		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
72	70, 45, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
73	72, 2	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q )
74	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
75		fvimacnvi 6001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
76	74, 40, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
77	73, 76	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
78		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
79	70, 51, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
80	79, 2	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q )
81		fvimacnvi 6001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
82	74, 46, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
83	80, 82	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
84		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. _V
85		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. _V
86		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q ) )
87		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
88		mpfind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
89	87, 88	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
90		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
91	89, 90	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ta <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
92	86, 91	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ( f e. Q /\ ta ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
93		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q ) )
94		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- g e. _V
95		mpfind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
96	94, 95	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
97		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
98	96, 97	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( et <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
99	93, 98	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( ( g e. Q /\ et ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
100	92, 99	bi2anan9 871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) <-> ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) )
101	100	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) ) )
102		ovex 6319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
103		mpfind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
104	102, 103	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
105		oveq12 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
106	105	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
107	104, 106	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ze <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
108	101, 107	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
109		mpfind.ad	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
110	84, 85, 108, 109	vtocl2 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
111	69, 77, 83, 110	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
112	68, 111	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
113		elpreima 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
114	18, 113	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
116	53, 112, 115	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
117	116	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
118	13, 28	ringcl 17061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
119	39, 45, 51, 118	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
120		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
121		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
122	120, 121	rhmmhm 17220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
123	12, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
125	120, 13	mgpbas 16996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
126	120, 28	mgpplusg 16994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
127		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
128	121, 127	mgpplusg 16994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
129	125, 126, 128	mhmlin 15826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
130	124, 45, 51, 129	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
131		mpfind.ct	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = ( .r ` S )
132	9, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127	pwsmulrval 14758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
133	130, 132	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
134		ovex 6319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
135		mpfind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
136	134, 135	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
137		oveq12 6303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
138	137	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
139	136, 138	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( si <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
140	101, 139	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
141		mpfind.mu	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
142	84, 85, 140, 141	vtocl2 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
143	69, 77, 83, 142	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
144	133, 143	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
145		elpreima 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
146	18, 145	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
147	146	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
148	119, 144, 147	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
149	148	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
150	7	mplassa 17963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. CRing ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
151	30, 34, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
152		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
153	29, 152	asclrhm 17838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
154	151, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
155		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
156	155, 13	rhmf 17224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
157	154, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
159	7, 30, 34	mplsca 17954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
160	159	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
161	160	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) <-> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) ) )
162	161	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
163	158, 162	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
164	30	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> I e. _V )
165	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> S e. CRing )
166	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> R e. (SubRing ` S ) )
167	10	subrgss 17278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
168	32, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R C_ B )
169	8, 10	ressbas2 14558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
170	168, 169	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
171	170	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. R <-> i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) )
172	171	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. R )
173	6, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172	evlssca 18038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
174		mpfind.co	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
175	174	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. f e. R ch )
176		snex 4693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { f } e. _V
177	61, 176	xpex 6598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. _V
178		mpfind.wa	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
179	177, 178	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
180		sneq 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = i -> { f } = { i } )
181	180	xpeq2d 5028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = i -> ( ( B ^m I ) X. { f } ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
182	181	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
183	179, 182	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( ch <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
184	183	cbvralv 3093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. R ch <-> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
185	175, 184	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
186	185	r19.21bi 2836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. R ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
187	172, 186	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
188	173, 187	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
189		elpreima 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
190	18, 189	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
191	190	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
192	163, 188, 191	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
193	192	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
194	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> I e. _V )
195	36	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S ↾s R ) e. Ring )
196		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
197	7, 26, 13, 194, 195, 196	mvrcl 17958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
198	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> S e. CRing )
199	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> R e. (SubRing ` S ) )
200	6, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196	evlsvar 18039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
201		mpfind.pr	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
202	61	mptex 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. _V
203		mpfind.wb	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
204	202, 203	elab 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> th )
205	201, 204	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
206	205	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
207		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( g ` f ) = ( g ` i ) )
208	207	mpteq2dv 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
209	208	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = i -> ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } ) )
210	209	cbvralv 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
211	206, 210	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
212	211	r19.21bi 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
213	200, 212	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
214		elpreima 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
215	18, 214	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
216	215	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
217	197, 213, 216	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
218	217	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
219		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
220	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> I e. _V )
221	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
222	25, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221	mplind 18014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
223		fvimacnvi 6001	. . . . . 6 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
224	24, 222, 223	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
225		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } <-> A e. { x | ps } ) )
226	224, 225	syl5ibcom 220	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
227	226	rexlimdva 2959	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
228	21, 227	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
229		mpfind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
230	229	elabg 3256	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
231	1, 230	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
232	228, 231	mpbid 210	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   {csn 4032   |-> cmpt 4510   X. cxp 5002   `'ccnv 5003   ran crn 5005   "cima 5007   Fun wfun 5587   Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   oFcof 6532   ^m cmap 7430   Basecbs 14502   ↾_s cress 14503   +g cplusg 14567   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   ^_s cpws 14714   MndHom cmhm 15817   GrpHom cghm 16113  mulGrpcmgp 16990   Ringcrg 17047   CRingccrg 17048   RingHom crh 17210  SubRingcsubrg 17273  AssAlgcasa 17805  algSccascl 17807   mVar cmvr 17848   mPoly cmpl 17849   evalSub ces 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-srg 17007  df-ring 17049  df-cring 17050  df-rnghom 17213  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-assa 17808  df-asp 17809  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-evls 18018

This theorem is referenced by:  pf1ind  18238  mzpmfp  30575  mzpmfpOLD  30576