Theorem mpfind 18331

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfind.cb	|- B = ( Base ` S )
mpfind.cp	|- .+ = ( +g ` S )
mpfind.ct	|- .x. = ( .r ` S )
mpfind.cq	|- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
mpfind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
mpfind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
mpfind.wa	|- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
mpfind.wb	|- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
mpfind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
mpfind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
mpfind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
mpfind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
mpfind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
mpfind.co	|- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
mpfind.pr	|- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
mpfind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
mpfind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   ch, x   et, x   ph, f, g   ps, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   ze, x   x, A   B, f, g, x   f, I, g, x   .+ , f, g, x   Q, f, g   R, f, g   S, f, g   .x. , f, g, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( f, g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x)   S( x)

Proof of Theorem mpfind

Dummy variables i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
2		mpfind.cq	. . . . 5 |- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
3	1, 2	syl6eleq 2555	. . . 4 |- ( ph -> A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
4	2	mpfrcl 18313	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
5	1, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
6		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( I evalSub S ) ` R )
7		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( I mPoly ( S ↾s R ) ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
8		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( S ↾s R ) = ( S ↾s R )
9		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( S ^s ( B ^m I ) ) = ( S ^s ( B ^m I ) )
10		mpfind.cb	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` S )
11	6, 7, 8, 9, 10	evlsrhm 18316	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
13		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
14		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
15	13, 14	rhmf 17501	. . . . . . 7 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
16	12, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
17		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
19		fvelrnb 5920	. . . . 5 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
20	18, 19	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) <-> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A ) )
21	3, 20	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A )
22		ffun 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
23	16, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
25		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` ( S ↾s R ) )
26		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( I mVar ( S ↾s R ) ) = ( I mVar ( S ↾s R ) )
27		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
28		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
29		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
30	5	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. _V )
31	5	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. CRing )
32	5	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
33	8	subrgcrng 17559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
34	31, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. CRing )
35		crngring 17335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ↾s R ) e. CRing -> ( S ↾s R ) e. Ring )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ↾s R ) e. Ring )
37	7	mplring 18240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. Ring ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
38	30, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring )
40		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
41		elpreima 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
42	18, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
45	44	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
46		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
47		elpreima 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
48	18, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
50	46, 49	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
52	13, 27	ringacl 17352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
53	39, 45, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
54		rhmghm 17500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
55	12, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
58	13, 27, 57	ghmlin 16398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) GrpHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
59	56, 45, 51, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
60	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> S e. CRing )
61		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B ^m I ) e. _V
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( B ^m I ) e. _V )
63	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
64	63, 45	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
65	63, 51	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ( Base ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
66		mpfind.cp	. . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` S )
67	9, 14, 60, 62, 64, 65, 66, 57	pwsplusgval 14906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( +g ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
68	59, 67	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
69		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ph )
70	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
71		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
72	70, 45, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
73	72, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q )
74	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) )
75		fvimacnvi 6002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
76	74, 40, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } )
77	73, 76	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
78		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
79	70, 51, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. ran ( ( I evalSub S ) ` R ) )
80	79, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q )
81		fvimacnvi 6002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
82	74, 46, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } )
83	80, 82	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
84		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. _V
85		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. _V
86		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q ) )
87		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
88		mpfind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
89	87, 88	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
90		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
91	89, 90	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ta <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) )
92	86, 91	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) -> ( ( f e. Q /\ ta ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) ) )
93		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. Q <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q ) )
94		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- g e. _V
95		mpfind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
96	94, 95	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
97		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
98	96, 97	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( et <-> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) )
99	93, 98	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) -> ( ( g e. Q /\ et ) <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) )
100	92, 99	bi2anan9 873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) <-> ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) )
101	100	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) ) )
102		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
103		mpfind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
104	102, 103	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
105		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
106	105	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
107	104, 106	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ze <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
108	101, 107	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
109		mpfind.ad	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
110	84, 85, 108, 109	vtocl2 3162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
111	69, 77, 83, 110	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .+ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
112	68, 111	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
113		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
114	18, 113	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
116	53, 112, 115	mpbir2and 922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
117	116	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( +g ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
118	13, 28	ringcl 17338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. Ring /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
119	39, 45, 51, 118	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
120		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
121		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
122	120, 121	rhmmhm 17497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( B ^m I ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
123	12, 122	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) )
125	120, 13	mgpbas 17273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( Base ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
126	120, 28	mgpplusg 17271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
127		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) )
128	121, 127	mgpplusg 17271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) = ( +g ` (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) )
129	125, 126, 128	mhmlin 16099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) e. ( (mulGrp ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) MndHom (mulGrp ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ j e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
130	124, 45, 51, 129	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
131		mpfind.ct	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = ( .r ` S )
132	9, 14, 60, 62, 64, 65, 131, 127	pwsmulrval 14907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) ( .r ` ( S ^s ( B ^m I ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
133	130, 132	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
134		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
135		mpfind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
136	134, 135	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
137		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) )
138	137	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
139	136, 138	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( si <-> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) )
140	101, 139	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) /\ g = ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si ) <-> ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } ) ) )
141		mpfind.mu	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
142	84, 85, 140, 141	vtocl2 3162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) e. { x | ps } ) /\ ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. Q /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
143	69, 77, 83, 142	syl12anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` i ) oF .x. ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` j ) ) e. { x | ps } )
144	133, 143	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } )
145		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
146	18, 145	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
147	146	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) ) e. { x | ps } ) ) )
148	119, 144, 147	mpbir2and 922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
149	148	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ ( i e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) /\ j e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) ) -> ( i ( .r ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) j ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
150	7	mplassa 18242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. _V /\ ( S ↾s R ) e. CRing ) -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
151	30, 34, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg )
152		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
153	29, 152	asclrhm 18117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) e. AssAlg -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
154	151, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
155		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
156	155, 13	rhmf 17501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) e. ( (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) RingHom ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
157	154, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) : ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) --> ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
159	7, 30, 34	mplsca 18233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ↾s R ) = (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
160	159	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Base ` ( S ↾s R ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
161	160	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) <-> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) ) )
162	161	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. ( Base ` (Scalar ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
163	158, 162	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
164	30	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> I e. _V )
165	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> S e. CRing )
166	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> R e. (SubRing ` S ) )
167	10	subrgss 17556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
168	32, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R C_ B )
169	8, 10	ressbas2 14701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
170	168, 169	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R = ( Base ` ( S ↾s R ) ) )
171	170	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. R <-> i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) )
172	171	biimpar 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> i e. R )
173	6, 7, 8, 10, 29, 164, 165, 166, 172	evlssca 18317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
174		mpfind.co	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. R ) -> ch )
175	174	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. f e. R ch )
176		snex 4697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { f } e. _V
177	61, 176	xpex 6603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. _V
178		mpfind.wa	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( ( B ^m I ) X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
179	177, 178	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
180		sneq 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = i -> { f } = { i } )
181	180	xpeq2d 5032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = i -> ( ( B ^m I ) X. { f } ) = ( ( B ^m I ) X. { i } ) )
182	181	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( ( ( B ^m I ) X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
183	179, 182	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( ch <-> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } ) )
184	183	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. R ch <-> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
185	175, 184	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. i e. R ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
186	185	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. R ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
187	172, 186	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( B ^m I ) X. { i } ) e. { x | ps } )
188	173, 187	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
189		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
190	18, 189	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
191	190	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
192	163, 188, 191	mpbir2and 922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
193	192	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. ( Base ` ( S ↾s R ) ) ) -> ( (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
194	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> I e. _V )
195	36	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S ↾s R ) e. Ring )
196		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
197	7, 26, 13, 194, 195, 196	mvrcl 18237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
198	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> S e. CRing )
199	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> R e. (SubRing ` S ) )
200	6, 26, 8, 10, 194, 198, 199, 196	evlsvar 18318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
201		mpfind.pr	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> th )
202	61	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. _V
203		mpfind.wb	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) -> ( ps <-> th ) )
204	202, 203	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> th )
205	201, 204	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
206	205	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } )
207		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = i -> ( g ` f ) = ( g ` i ) )
208	207	mpteq2dv 4544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = i -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) = ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) )
209	208	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = i -> ( ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } ) )
210	209	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` f ) ) e. { x | ps } <-> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
211	206, 210	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. I ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
212	211	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` i ) ) e. { x | ps } )
213	200, 212	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } )
214		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I evalSub S ) ` R ) Fn ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
215	18, 214	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
216	215	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) <-> ( ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) /\ ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) ) e. { x | ps } ) ) )
217	197, 213, 216	mpbir2and 922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
218	217	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) /\ i e. I ) -> ( ( I mVar ( S ↾s R ) ) ` i ) e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
219		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
220	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> I e. _V )
221	34	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( S ↾s R ) e. CRing )
222	25, 26, 7, 27, 28, 29, 13, 117, 149, 193, 218, 219, 220, 221	mplind 18293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) )
223		fvimacnvi 6002	. . . . . 6 |- ( ( Fun ( ( I evalSub S ) ` R ) /\ y e. ( `' ( ( I evalSub S ) ` R ) " { x | ps } ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
224	24, 222, 223	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } )
225		eleq1 2529	. . . . 5 |- ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) e. { x | ps } <-> A e. { x | ps } ) )
226	224, 225	syl5ibcom 220	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) -> ( ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
227	226	rexlimdva 2949	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( Base ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ( ( ( I evalSub S ) ` R ) ` y ) = A -> A e. { x | ps } ) )
228	21, 227	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
229		mpfind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
230	229	elabg 3247	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
231	1, 230	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
232	228, 231	mpbid 210	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   {csn 4032   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   oFcof 6537   ^m cmap 7438   Basecbs 14643   ↾_s cress 14644   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712  Scalarcsca 14714   ^_s cpws 14863   MndHom cmhm 16090   GrpHom cghm 16390  mulGrpcmgp 17267   Ringcrg 17324   CRingccrg 17325   RingHom crh 17487  SubRingcsubrg 17551  AssAlgcasa 18084  algSccascl 18086   mVar cmvr 18127   mPoly cmpl 18128   evalSub ces 18295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-srg 17284  df-ring 17326  df-cring 17327  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-assa 18087  df-asp 18088  df-ascl 18089  df-psr 18131  df-mvr 18132  df-mpl 18133  df-evls 18297

This theorem is referenced by:  pf1ind  18517  mzpmfp  30841  mzpmfpOLD  30842