MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpff Structured version   Unicode version

Theorem mpff 17595
Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfaddcl.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpff.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
mpff  |-  ( F  e.  Q  ->  F : ( B  ^m  I ) --> B )

Proof of Theorem mpff
StepHypRef Expression
1 mpff.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
21eqcomi 2445 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  B
32oveq1i 6100 . . 3  |-  ( (
Base `  S )  ^m  I )  =  ( B  ^m  I )
43oveq2i 6101 . 2  |-  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
5 eqid 2441 . 2  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
6 mpfaddcl.q . . . 4  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
76mpfrcl 17580 . . 3  |-  ( F  e.  Q  ->  (
I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
) )
87simp2d 996 . 2  |-  ( F  e.  Q  ->  S  e.  CRing )
9 ovex 6115 . . 3  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
109a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  Q  ->  ( B  ^m  I )  e. 
_V )
116mpfsubrg 17594 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) )
125subrgss 16846 . . . 4  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
137, 11, 123syl 20 . . 3  |-  ( F  e.  Q  ->  Q  C_  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
14 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  Q  ->  F  e.  Q )
1513, 14sseldd 3354 . 2  |-  ( F  e.  Q  ->  F  e.  ( Base `  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
164, 1, 5, 8, 10, 15pwselbas 14423 1  |-  ( F  e.  Q  ->  F : ( B  ^m  I ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Basecbs 14170    ^s cpws 14381   CRingccrg 16636  SubRingcsubrg 16841   evalSub ces 17562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-assa 17362  df-asp 17363  df-ascl 17364  df-psr 17401  df-mvr 17402  df-mpl 17403  df-evls 17564
This theorem is referenced by:  pf1ind  17758
  Copyright terms: Public domain W3C validator