MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Unicode version

Theorem mpfconst 18312
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfconst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
mpfconst  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2382 . . . 4  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2382 . . . 4  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
3 eqid 2382 . . . 4  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2382 . . . 4  |-  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
6 mpfconst.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 mpfconst.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
8 mpfconst.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
9 mpfconst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 18304 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
11 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 18303 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
136, 7, 8, 12syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 17488 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5639 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgring 17545 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
208, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
21 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
222mplring 18227 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
232mpllmod 18226 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
LMod )
24 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 18099 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : (
Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
266, 20, 25syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
274subrgss 17543 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
283, 4ressbas2 14692 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
298, 27, 283syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
30 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ss  R )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  _V )
322, 6, 31mplsca 18220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
3332fveq2d 5778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3429, 33eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
359, 34eleqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3626, 35ffvelrnd 5934 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
37 fnfvelrn 5930 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 X )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3818, 36, 37syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3910, 38eqeltrrd 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )
)
40 mpfconst.q . 2  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
4139, 40syl6eleqr 2481 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   {csn 3944    X. cxp 4911   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Basecbs 14634   ↾s cress 14635  Scalarcsca 14705    ^s cpws 14854   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312   RingHom crh 17474  SubRingcsubrg 17538  algSccascl 18073   mPoly cmpl 18115   evalSub ces 18282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-srg 17271  df-ring 17313  df-cring 17314  df-rnghom 17477  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-assa 18074  df-asp 18075  df-ascl 18076  df-psr 18118  df-mvr 18119  df-mpl 18120  df-evls 18284
This theorem is referenced by:  mzpmfp  30845
  Copyright terms: Public domain W3C validator