MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Unicode version

Theorem mpfconst 19912
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfconst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
mpfconst  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2404 . . . 4  |-  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
6 mpfconst.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 mpfconst.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
8 mpfconst.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
9 mpfconst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 19896 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
11 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 19895 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
136, 7, 8, 12syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 15782 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgrng 15826 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
208, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
21 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
222mplrng 16470 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
232mpllmod 16469 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
LMod )
24 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 16351 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : (
Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
266, 20, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
274subrgss 15824 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
283, 4ressbas2 13475 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
298, 27, 283syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
30 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ss  R )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  _V )
322, 6, 31mplsca 16463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
3332fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3429, 33eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
359, 34eleqtrd 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3626, 35ffvelrnd 5830 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
37 fnfvelrn 5826 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 X )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3818, 36, 37syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3910, 38eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )
)
40 mpfconst.q . 2  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
4139, 40syl6eleqr 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Basecbs 13424   ↾s cress 13425  Scalarcsca 13487    ^s cpws 13625   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  algSccascl 16326   mPoly cmpl 16363   evalSub ces 16364
This theorem is referenced by:  mzpmfp  26694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator