MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Unicode version

Theorem mpfconst 17735
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mpfconst.q  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
mpfconst.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mpfconst.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
mpfconst.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
mpfconst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
mpfconst  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . . 4  |-  ( ( I evalSub  S ) `  R
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
2 eqid 2452 . . . 4  |-  ( I mPoly 
( Ss  R ) )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
3 eqid 2452 . . . 4  |-  ( Ss  R )  =  ( Ss  R )
4 mpfconst.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2452 . . . 4  |-  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
6 mpfconst.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 mpfconst.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
8 mpfconst.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
9 mpfconst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 17727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
11 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 17726 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
136, 7, 8, 12syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) ) )
14 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )  =  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )
15 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  =  ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )
1614, 15rhmf 16934 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R )  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) ) )
17 ffn 5662 . . . . 5  |-  ( ( ( I evalSub  S ) `
 R ) : ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) --> ( Base `  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  ->  ( (
I evalSub  S ) `  R
)  Fn  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
1813, 16, 173syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
193subrgrng 16986 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( Ss  R
)  e.  Ring )
208, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  Ring )
21 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
222mplrng 17650 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
Ring )
232mpllmod 17649 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  ( I mPoly  ( Ss  R ) )  e. 
LMod )
24 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 17526 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( Ss  R )  e.  Ring )  ->  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : (
Base `  (Scalar `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> (
Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
266, 20, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) : ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) --> ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
274subrgss 16984 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
283, 4ressbas2 14343 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
298, 27, 283syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  ( Ss  R ) ) )
30 ovex 6220 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ss  R )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  e.  _V )
322, 6, 31mplsca 17643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Ss  R )  =  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
3332fveq2d 5798 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Ss  R ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3429, 33eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
359, 34eleqtrd 2542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
3626, 35ffvelrnd 5948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X
)  e.  ( Base `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
37 fnfvelrn 5944 . . . 4  |-  ( ( ( ( I evalSub  S
) `  R )  Fn  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) )  /\  (
(algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `
 X )  e.  ( Base `  (
I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  -> 
( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3818, 36, 37syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  R
) `  ( (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) `  X ) )  e. 
ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
) )
3910, 38eqeltrrd 2541 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  ran  ( ( I evalSub  S
) `  R )
)
40 mpfconst.q . 2  |-  Q  =  ran  ( ( I evalSub  S ) `  R
)
4139, 40syl6eleqr 2551 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } )  e.  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   {csn 3980    X. cxp 4941   ran crn 4944    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   Basecbs 14287   ↾s cress 14288  Scalarcsca 14355    ^s cpws 14499   Ringcrg 16763   CRingccrg 16764   RingHom crh 16922  SubRingcsubrg 16979  algSccascl 17501   mPoly cmpl 17538   evalSub ces 17705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-prds 14500  df-pws 14502  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-srg 16725  df-rng 16765  df-cring 16766  df-rnghom 16924  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-assa 17502  df-asp 17503  df-ascl 17504  df-psr 17541  df-mvr 17542  df-mpl 17543  df-evls 17707
This theorem is referenced by:  mzpmfp  29226  mzpmfpOLD  29227
  Copyright terms: Public domain W3C validator