Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mp2pm2mplem5 Structured version   Unicode version

Theorem mp2pm2mplem5 31317
Description: Lemma 5 for mp2pm2mp 31318. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mp2pm2mp.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mp2pm2mp.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mp2pm2mp.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mp2pm2mp.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mp2pm2mp.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mp2pm2mp.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mp2pm2mplem2.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mp2pm2mplem5.m  |-  .*  =  ( .s `  Q )
mp2pm2mplem5.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
mp2pm2mplem5.x  |-  X  =  (var1 `  A )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( I `  O
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
Distinct variable groups:    E, p    L, p    i, N, j, p    i, O, j, p, k    P, p    R, p    Y, p    .x. , p    k, L    P, i, j, k    R, k    .x. , k    i, E, j    i, L, j   
k, N    R, i,
j    i, Y, j    .x. , i,
j    A, i, j, k   
k, E    k, Y    .* , k
Allowed substitution hints:    A( p)    Q( i, j, k, p)    .^ ( i,
j, k, p)    I(
i, j, k, p)    .* ( i, j, p)    X( i, j, k, p)

Proof of Theorem mp2pm2mplem5
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 10699 . . 3  |-  NN0  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  NN0  e.  _V )
3 mp2pm2mp.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
43matrng 18459 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
5 mp2pm2mp.q . . . . 5  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
65ply1lmod 17833 . . . 4  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
873adant3 1008 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  Q  e.  LMod )
943adant3 1008 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  A  e.  Ring )
105ply1sca 17834 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
12 mp2pm2mp.l . 2  |-  L  =  ( Base `  Q
)
13 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
14 mp2pm2mp.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  P )
15 mp2pm2mp.e . . . . . 6  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
16 mp2pm2mp.y . . . . . 6  |-  Y  =  (var1 `  R )
17 mp2pm2mp.i . . . . . 6  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
183, 5, 12, 14, 15, 16, 17mp2pm2mplem1 31313 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) )
19 mp2pm2mplem2.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
20 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( N Mat 
P )  =  ( N Mat  P )
21 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  P ) )  =  ( Base `  ( N Mat  P ) )
223, 5, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21mp2pm2mplem2 31314 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  e.  (
Base `  ( N Mat  P ) ) )
2318, 22eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) ) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) ) )
25 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
26 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
2719, 20, 21, 3, 26decpmatcl 31274 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( I `  O ) decompPMat  k )  e.  ( Base `  A
) )
2813, 24, 25, 27syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
29 mp2pm2mplem5.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  A )
30 mp2pm2mplem5.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
315, 12, 29, 30, 9mon1ply1 31013 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  L )
32 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
33 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
34 mp2pm2mplem5.m . 2  |-  .*  =  ( .s `  Q )
35 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
(coe1 `  p ) `  k )  =  ( (coe1 `  p ) `  l ) )
3635oveqd 6220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
i ( (coe1 `  p
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  p
) `  l )
j ) )
37 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
k E Y )  =  ( l E Y ) )
3836, 37oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
( i ( (coe1 `  p ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l
) j )  .x.  ( l E Y ) ) )
3938cbvmptv 4494 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )  =  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p
) `  l )
j )  .x.  (
l E Y ) ) )
4039oveq2i 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) )
4241mpt2eq3ia 6263 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) )
4342mpteq2i 4486 . . . . . 6  |-  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) ) )
4417, 43eqtri 2483 . . . . 5  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) ) )
453, 5, 12, 14, 15, 16, 44, 19mp2pm2mplem4 31316 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  k ) )
4645mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( I `  O ) decompPMat  k ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k ) ) )
475, 12, 33mptcoe1fsupp 31006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k
) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
484, 47thema3 1584 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k
) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
4946, 48eqbrtrd 4423 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( I `  O ) decompPMat  k ) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
502, 8, 11, 12, 28, 31, 32, 33, 34, 49mptscmfsupp0 17137 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( I `  O
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   NN0cn0 10693   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501  .gcmg 15536  mulGrpcmgp 16716   Ringcrg 16771   LModclmod 17074  var1cv1 17759  Poly1cpl1 17760  coe1cco1 17761   Mat cmat 18408   decompPMat cdecpmat 31269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-psr 17549  df-mvr 17550  df-mpl 17551  df-opsr 17553  df-psr1 17763  df-vr1 17764  df-ply1 17765  df-coe1 17766  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mamu 18409  df-mat 18410  df-decpmat 31270
This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  31318
  Copyright terms: Public domain W3C validator