MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem5 Structured version   Unicode version

Theorem mp2pm2mplem5 19493
Description: Lemma 5 for mp2pm2mp 19494. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mp2pm2mp.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mp2pm2mp.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mp2pm2mp.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mp2pm2mp.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mp2pm2mp.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mp2pm2mp.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mp2pm2mplem2.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mp2pm2mplem5.m  |-  .*  =  ( .s `  Q )
mp2pm2mplem5.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
mp2pm2mplem5.x  |-  X  =  (var1 `  A )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( I `  O
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
Distinct variable groups:    E, p    L, p    i, N, j, p    i, O, j, p, k    P, p    R, p    Y, p    .x. , p    k, L    P, i, j, k    R, k    .x. , k    i, E, j    i, L, j   
k, N    R, i,
j    i, Y, j    .x. , i,
j    A, i, j, k   
k, E    k, Y    .* , k
Allowed substitution hints:    A( p)    Q( i, j, k, p)    .^ ( i,
j, k, p)    I(
i, j, k, p)    .* ( i, j, p)    X( i, j, k, p)

Proof of Theorem mp2pm2mplem5
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 10760 . . 3  |-  NN0  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  NN0  e.  _V )
3 mp2pm2mp.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
43matring 19127 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
5 mp2pm2mp.q . . . . 5  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
65ply1lmod 18503 . . . 4  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
74, 6syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
873adant3 1015 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  Q  e.  LMod )
943adant3 1015 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  A  e.  Ring )
105ply1sca 18504 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
12 mp2pm2mp.l . 2  |-  L  =  ( Base `  Q
)
13 simpl2 999 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
14 mp2pm2mplem2.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
15 mp2pm2mp.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
16 mp2pm2mp.e . . . . 5  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
17 mp2pm2mp.y . . . . 5  |-  Y  =  (var1 `  R )
18 mp2pm2mp.i . . . . 5  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
19 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( N Mat 
P )  =  ( N Mat  P )
20 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( Base `  ( N Mat  P ) )  =  ( Base `  ( N Mat  P ) )
213, 5, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mply1topmatcl 19488 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) ) )
2221adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) ) )
23 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
24 eqid 2400 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
2514, 19, 20, 3, 24decpmatcl 19450 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  O )  e.  ( Base `  ( N Mat  P ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( I `  O ) decompPMat  k )  e.  ( Base `  A
) )
2613, 22, 23, 25syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  k )  e.  (
Base `  A )
)
27 mp2pm2mplem5.x . . . 4  |-  X  =  (var1 `  A )
28 eqid 2400 . . . 4  |-  (mulGrp `  Q )  =  (mulGrp `  Q )
29 mp2pm2mplem5.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
305, 27, 28, 29, 12ply1moncl 18522 . . 3  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  L )
319, 30sylan 469 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  L )
32 eqid 2400 . 2  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
33 eqid 2400 . 2  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
34 mp2pm2mplem5.m . 2  |-  .*  =  ( .s `  Q )
35 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  l  ->  (
(coe1 `  p ) `  k )  =  ( (coe1 `  p ) `  l ) )
3635oveqd 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
i ( (coe1 `  p
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  p
) `  l )
j ) )
37 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  l  ->  (
k E Y )  =  ( l E Y ) )
3836, 37oveq12d 6250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  l  ->  (
( i ( (coe1 `  p ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l
) j )  .x.  ( l E Y ) ) )
3938cbvmptv 4484 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) )  =  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p
) `  l )
j )  .x.  (
l E Y ) ) )
4039oveq2i 6243 . . . . . . . . 9  |-  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) )
4241mpt2eq3ia 6297 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) )
4342mpteq2i 4475 . . . . . 6  |-  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) ) )
4418, 43eqtri 2429 . . . . 5  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( l  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  l ) j ) 
.x.  ( l E Y ) ) ) ) ) )
453, 5, 12, 15, 16, 17, 44, 14mp2pm2mplem4 19492 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  k ) )
4645mpteq2dva 4478 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( I `  O ) decompPMat  k ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k ) ) )
475, 12, 33mptcoe1fsupp 18465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k
) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
484, 47stoic3 1628 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( (coe1 `  O ) `  k
) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
4946, 48eqbrtrd 4412 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( I `  O ) decompPMat  k ) ) finSupp  ( 0g `  A ) )
502, 8, 11, 12, 26, 31, 32, 33, 34, 49mptscmfsupp0 17786 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( I `  O
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) ) finSupp  ( 0g `  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    |-> cmpt2 6234   Fincfn 7472   finSupp cfsupp 7781   NN0cn0 10754   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945  .gcmg 16270  mulGrpcmgp 17351   Ringcrg 17408   LModclmod 17722  var1cv1 18425  Poly1cpl1 18426  coe1cco1 18427   Mat cmat 19091   decompPMat cdecpmat 19445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-hom 14823  df-cco 14824  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-prds 14952  df-pws 14954  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-subrg 17637  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-psr 18215  df-mvr 18216  df-mpl 18217  df-opsr 18219  df-psr1 18429  df-vr1 18430  df-ply1 18431  df-coe1 18432  df-dsmm 18951  df-frlm 18966  df-mamu 19068  df-mat 19092  df-decpmat 19446
This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  19494
  Copyright terms: Public domain W3C validator