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Theorem mp2pm2mplem4 19602
Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 19604. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mp2pm2mp.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mp2pm2mp.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mp2pm2mp.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mp2pm2mp.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mp2pm2mp.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mp2pm2mp.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mp2pm2mplem2.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
Distinct variable groups:    E, p    L, p    i, N, j, p    i, O, j, p, k    P, p    R, p    Y, p    .x. , p    k, L    P, i, j, k    R, k    .x. , k    i, E, j    i, K, j   
i, L, j    k, N    R, i, j    i, Y, j    .x. , i, j    A, i, j, k    k, E    k, K    k, Y
Allowed substitution hints:    A( p)    Q( i, j, k, p)    I(
i, j, k, p)    K( p)

Proof of Theorem mp2pm2mplem4
Dummy variables  a 
b  s  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mp2pm2mp.q . . 3  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
3 mp2pm2mp.l . . 3  |-  L  =  ( Base `  Q
)
4 mp2pm2mp.m . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
5 mp2pm2mp.e . . 3  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
6 mp2pm2mp.y . . 3  |-  Y  =  (var1 `  R )
7 mp2pm2mp.i . . 3  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
8 mp2pm2mplem2.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mp2pm2mplem3 19601 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) ) )
10 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
11 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
128ply1ring 18609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
13123ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  Ring )
14 ringcmn 17549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e. CMnd )
1615ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  P  e. CMnd )
17163ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
18 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  R  e.  Ring )
20193ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
22 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
23 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
24 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
25 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
26 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  O  e.  L )
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  O  e.  L )
28273ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (coe1 `  O
)  =  (coe1 `  O
)
3029, 3, 2, 23coe1fvalcl 18571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O  e.  L  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
3128, 30sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
321, 22, 23, 24, 25, 31matecld 19220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
33 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
34 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
3522, 8, 6, 4, 34, 5, 10ply1tmcl 18633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
3621, 32, 33, 35syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
)
3736ralrimiva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
38 simp1lr 1061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  s  e.  NN0 )
39 oveq 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j )  =  ( i ( 0g `  A ) j ) )
4039oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( ( i ( 0g `  A ) j )  .x.  (
x E Y ) ) )
41 3simpa 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
4241ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
43 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
441, 43mat0op 19213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( 0g `  A )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( 0g `  R ) ) )
46 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( a  =  i  /\  b  =  j ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
47 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
48 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
49 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
5145, 46, 47, 48, 50ovmpt2d 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( 0g `  A
) j )  =  ( 0g `  R
) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( i
( 0g `  A
) j )  =  ( 0g `  R
) )
5352oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( 0g `  A ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( ( 0g `  R )  .x.  (
x E Y ) ) )
5418ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
558ply1sca 18614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
5756fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
5857oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g `  R )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( x E Y ) ) )
598ply1lmod 18613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
60593ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  LMod )
6160ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
62 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
638, 6, 34, 5, 10ply1moncl 18632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x E Y )  e.  ( Base `  P
) )
6454, 62, 63syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( x E Y )  e.  (
Base `  P )
)
65 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
66 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
6710, 65, 4, 66, 11lmod0vs 17865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
x E Y )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )
6861, 64, 67syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) )
6953, 58, 683eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( 0g `  A ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) )
7069adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  s  < 
x )  ->  (
( i ( 0g
`  A ) j )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )
7140, 70sylan9eqr 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  s  < 
x )  /\  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) )
7271exp31 602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( s  <  x  ->  ( (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
7372a2d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
7473ralimdva 2812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
7574impancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
( i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
76753impib 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) )
77 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
s  <  k  <->  s  <  x ) )
78 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  x ) )
7978oveqd 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  x )
j ) )
80 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k E Y )  =  ( x E Y ) )
8179, 80oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x
) j )  .x.  ( x E Y ) ) )
8281eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P
)  <->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
8377, 82imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( s  <  k  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  ( s  <  x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
8483cbvralv 3034 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
8576, 84sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) )
8610, 11, 17, 37, 38, 85gsummptnn0fzv 17335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )
8786fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
8887fveq1d 5851 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )
89 simpllr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
90893ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  K  e.  NN0 )
91 elfznn0 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  k  e.  NN0 )
9236expcom 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
) )
9493com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) ) )
9594ralrimiv 2816 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
96 fzfid 12124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
0 ... s )  e. 
Fin )
978, 10, 20, 90, 95, 96coe1fzgsumd 18664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )
9888, 97eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )
9998mpt2eq3dva 6342 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) ) )
100183ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
101100adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
102 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  i  e.  N )
103 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  j  e.  N )
104263ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
105104, 91, 30syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
1061, 22, 23, 102, 103, 105matecld 19220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
10791adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  k  e.  NN0 )
10843, 22, 8, 6, 4, 34, 5coe1tm 18634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) )  =  ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
109101, 106, 107, 108syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) )  =  ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
110 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  K  ->  (
l  =  k  <->  K  =  k ) )
111110ifbid 3907 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  K  ->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
112111adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  /\  l  =  K )  ->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
113 simpl1r 1049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  K  e.  NN0 )
114 ovex 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  _V
115114, 49ifex 3953 . . . . . . . . . 10  |-  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  _V
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  e. 
_V )
117109, 112, 113, 116fvmptd 5938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
118117mpteq2dva 4481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
119118oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
120119mpt2eq3dva 6342 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
121120ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
122 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  K  ->  (
s  <  x  <->  s  <  K ) )
123 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  K  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
124123eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  K  ->  (
( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  <-> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) ) )
125122, 124imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  K  ->  (
( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  <->  ( s  < 
K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) ) ) )
126125rspcva 3158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
s  <  K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) ) )
1271, 43mat0op 19213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
128127eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  A ) )
1291283adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  A ) )
130129ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  A ) )
131 elfz2nn0 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  <->  ( k  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  k  <_  s ) )
132 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
133132ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
134 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
135134ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  s  e.  RR )
136 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
137136adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
138 lelttr 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( k  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  k  <  K
) )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  k  <  K ) )
140 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  k  <  K )
141140olcd 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) )
142 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( K  =/=  k  <->  -.  K  =  k )
143132adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
144 lttri2 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( K  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) ) )
145136, 143, 144syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  < 
k  \/  k  < 
K ) ) )
146145adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  <  k  \/  k  < 
K ) ) )
147142, 146syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( -.  K  =  k  <->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) ) )
148141, 147mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  -.  K  =  k )
149148ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  < 
K  ->  -.  K  =  k ) )
150139, 149syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  -.  K  =  k )
)
151150exp4b 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  ( s  <  K  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
152151com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( s  <  K  ->  ( k  <_  s  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
153152expimpd 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  -> 
( k  <_  s  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
154153com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
155154imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <_  s )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
1561553adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  k  <_  s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
157131, 156sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
158157com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  K  =  k ) ) )
159158adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  s  <  K )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) ) )
160159imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) )
161160adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  K  =  k ) )
1621613ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) )
163162imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  -.  K  =  k )
164163iffalsed 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
165164mpteq2dva 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( 0g `  R ) ) )
166165oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
167 ringmnd 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1681673ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  R  e.  Mnd )
169 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
17043gsumz 16329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... s
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
171168, 169, 170sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
172171ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
1731723ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( 0g `  R ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
174166, 173eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
175174mpt2eq3dva 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  R ) ) )
176 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )
177130, 175, 1763eqtr4d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
178177ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  ->  ( (
(coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) )
179178expr 613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( s  <  K  ->  ( ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) )
180179a2d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  ->  ( s  < 
K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) )
181180exp31 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( ( s  <  K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) )
182181com14 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  <  K  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) )
183126, 182syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) )
184183ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) ) )
185184com25 91 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) ) )
186185pm2.43i 46 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) )
187186impcom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) )
188187imp31 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
s  <  K  ->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
189188com12 29 . . . . 5  |-  ( s  <  K  ->  (
( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
190168ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
191190adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
1921913ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
193169a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( 0 ... s
)  e.  _V )
194 lenlt 9694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( K  <_  s  <->  -.  s  <  K ) )
195136, 134, 194syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  s  <->  -.  s  <  K ) )
196 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  e.  NN0 )
197 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  s  e.  NN0 )
198 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  <_  s
)
199 elfz2nn0 11824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... s )  <->  ( K  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  K  <_  s ) )
200196, 197, 198, 199syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
201200ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  s  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
202195, 201sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  s  < 
K  ->  K  e.  ( 0 ... s
) ) )
203202adantll 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  ->  ( -.  s  <  K  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
204203adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  ( -.  s  <  K  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
205204impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
2062053ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
207 eqcom 2411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  k  <->  k  =  K )
208 ifbi 3906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  =  k  <->  k  =  K )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
209207, 208ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )
210209mpteq2i 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
211 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N
)
212 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N
)
21327adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  O  e.  L )
2142133ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
215214, 30sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  O
) `  k )  e.  ( Base `  A
) )
2161, 22, 23, 211, 212, 215matecld 19220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
21791, 216sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  (
0 ... s ) )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
218217ralrimiva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s ) ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  e.  ( Base `  R
) )
21943, 192, 193, 206, 210, 218gsummpt1n0 17313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )
220219mpt2eq3dva 6342 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ) )
221 csbov 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i [_ K  / 
k ]_ ( (coe1 `  O
) `  k )
j )
222 csbfv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ K  /  k ]_ (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  K )
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  [_ K  /  k ]_ (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
224223oveqd 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( i
[_ K  /  k ]_ ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j ) )
225221, 224syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  NN0  ->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  K )
j ) )
226225ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K
) j ) )
227226mpt2eq3dv 6344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j ) ) )
228 oveq12 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K
) j )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K
) b ) )
229228adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  /\  ( i  =  a  /\  j  =  b ) )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b ) )
230 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
a  e.  N )
231 simprr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
b  e.  N )
232 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b )  e.  _V
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a ( (coe1 `  O ) `  K
) b )  e. 
_V )
234227, 229, 230, 231, 233ovmpt2d 6411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b ) )
235234ralrimivva 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) )
236 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
237222oveqi 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i
[_ K  /  k ]_ ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j )
238221, 237eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  K )
j )
239 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
240 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
24129, 3, 2, 23coe1fvalcl 18571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  e.  L  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2422413ad2antl3 1161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2432423ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2441, 22, 23, 239, 240, 243matecld 19220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  K )
j )  e.  (
Base `  R )
)
245238, 244syl5eqel 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
2461, 22, 23, 236, 18, 245matbas2d 19217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  e.  ( Base `  A
) )
2471, 23eqmat 19218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) ) )
248246, 242, 247syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) ) )
249235, 248mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
250249ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
251250adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
252220, 251eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
253252ex 432 . . . . 5  |-  ( -.  s  <  K  -> 
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
254189, 253pm2.61i 164 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
25599, 121, 2543eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
256 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
25729, 3, 2, 256coe1sfi 18572 . . . . 5  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A ) )
25826, 257syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A ) )
25929, 3, 2, 256, 23coe1fsupp 18574 . . . . . 6  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O )  e.  {
x  e.  ( (
Base `  A )  ^m  NN0 )  |  x finSupp 
( 0g `  A
) } )
260 elrabi 3204 . . . . . 6  |-  ( (coe1 `  O )  e.  {
x  e.  ( (
Base `  A )  ^m  NN0 )  |  x finSupp 
( 0g `  A
) }  ->  (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 ) )
26126, 259, 2603syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 ) )
262 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
263 fsuppmapnn0ub 12145 . . . . 5  |-  ( ( (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 )  /\  ( 0g `  A )  e.  _V )  -> 
( (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
264261, 262, 263sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
265258, 264mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x
)  =  ( 0g
`  A ) ) )
266255, 265r19.29a 2949 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
2679, 266eqtrd 2443 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059   [_csb 3373   ifcif 3885   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   finSupp cfsupp 7863   RRcr 9521   0cc0 9522    < clt 9658    <_ cle 9659   NN0cn0 10836   ...cfz 11726   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Mndcmnd 16243  .gcmg 16380  CMndccmn 17122  mulGrpcmgp 17461   Ringcrg 17518   LModclmod 17832  var1cv1 18535  Poly1cpl1 18536  coe1cco1 18537   Mat cmat 19201   decompPMat cdecpmat 19555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-psr 18325  df-mvr 18326  df-mpl 18327  df-opsr 18329  df-psr1 18539  df-vr1 18540  df-ply1 18541  df-coe1 18542  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-mat 19202  df-decpmat 19556
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  19603  mp2pm2mp  19604
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