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Theorem mp2pm2mplem4 19437
Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 19439. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mp2pm2mp.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
mp2pm2mp.l  |-  L  =  ( Base `  Q
)
mp2pm2mp.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
mp2pm2mp.e  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
mp2pm2mp.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
mp2pm2mp.i  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
mp2pm2mplem2.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
Distinct variable groups:    E, p    L, p    i, N, j, p    i, O, j, p, k    P, p    R, p    Y, p    .x. , p    k, L    P, i, j, k    R, k    .x. , k    i, E, j    i, K, j   
i, L, j    k, N    R, i, j    i, Y, j    .x. , i, j    A, i, j, k    k, E    k, K    k, Y
Allowed substitution hints:    A( p)    Q( i, j, k, p)    I(
i, j, k, p)    K( p)

Proof of Theorem mp2pm2mplem4
Dummy variables  a 
b  s  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 mp2pm2mp.q . . 3  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
3 mp2pm2mp.l . . 3  |-  L  =  ( Base `  Q
)
4 mp2pm2mp.m . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  P )
5 mp2pm2mp.e . . 3  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
6 mp2pm2mp.y . . 3  |-  Y  =  (var1 `  R )
7 mp2pm2mp.i . . 3  |-  I  =  ( p  e.  L  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  p ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
8 mp2pm2mplem2.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mp2pm2mplem3 19436 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) ) )
10 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
11 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
128ply1ring 18416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
13123ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  Ring )
14 ringcmn 17356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e. CMnd )
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  P  e. CMnd )
17163ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. CMnd )
18 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  R  e.  Ring )
20193ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
24 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N )
25 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N )
26 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  O  e.  L )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  O  e.  L )
28273ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (coe1 `  O
)  =  (coe1 `  O
)
3029, 3, 2, 23coe1fvalcl 18378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( O  e.  L  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
3128, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
321, 22, 23, 24, 25, 31matecld 19055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
34 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
3522, 8, 6, 4, 34, 5, 10ply1tmcl 18440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
3621, 32, 33, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
)
3736ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  NN0  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
38 simp1lr 1060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  s  e.  NN0 )
39 oveq 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j )  =  ( i ( 0g `  A ) j ) )
4039oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( ( i ( 0g `  A ) j )  .x.  (
x E Y ) ) )
41 3simpa 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
4241ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
441, 43mat0op 19048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( 0g `  A )  =  ( a  e.  N , 
b  e.  N  |->  ( 0g `  R ) ) )
46 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  ( a  =  i  /\  b  =  j ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
47 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
48 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  j  e.  N )
49 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
5145, 46, 47, 48, 50ovmpt2d 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( 0g `  A
) j )  =  ( 0g `  R
) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( i
( 0g `  A
) j )  =  ( 0g `  R
) )
5352oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( 0g `  A ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( ( 0g `  R )  .x.  (
x E Y ) ) )
5418ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
558ply1sca 18421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
5756fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g `  R )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( x E Y ) ) )
598ply1lmod 18420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
60593ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  P  e.  LMod )
6160ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
638, 6, 34, 5, 10ply1moncl 18439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
x E Y )  e.  ( Base `  P
) )
6454, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( x E Y )  e.  (
Base `  P )
)
65 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
6710, 65, 4, 66, 11lmod0vs 17672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
x E Y )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )
6861, 64, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  P
) )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) )
6953, 58, 683eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
i ( 0g `  A ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  s  < 
x )  ->  (
( i ( 0g
`  A ) j )  .x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )
7140, 70sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  /\  s  < 
x )  /\  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) )
7271exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( s  <  x  ->  ( (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) ) )
7372a2d 26 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
7473ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
7574impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
( i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
76753impib 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) )
77 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
s  <  k  <->  s  <  x ) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  x ) )
7978oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  x )
j ) )
80 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k E Y )  =  ( x E Y ) )
8179, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x
) j )  .x.  ( x E Y ) ) )
8281eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P
)  <->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
8377, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( s  <  k  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P
) )  <->  ( s  <  x  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  x )
j )  .x.  (
x E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) ) )
8483cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  =  ( 0g `  P ) )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  x ) j ) 
.x.  ( x E Y ) )  =  ( 0g `  P
) ) )
8576, 84sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) )  =  ( 0g
`  P ) ) )
8610, 11, 17, 37, 38, 85gsummptnn0fzv 17142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) )  =  ( P 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )
8786fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) ) ) )
8887fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )
89 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
90893ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  K  e.  NN0 )
91 elfznn0 11797 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  k  e.  NN0 )
9236expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  .x.  ( k E Y ) )  e.  (
Base `  P )
) )
9493com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... s )  -> 
( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) ) )
9594ralrimiv 2869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) )  e.  ( Base `  P
) )
96 fzfid 12086 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
0 ... s )  e. 
Fin )
978, 10, 20, 90, 95, 96coe1fzgsumd 18471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )
9888, 97eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )
9998mpt2eq3dva 6360 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) ) )
100183ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
102 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  i  e.  N )
103 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  j  e.  N )
104263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
105104, 91, 30syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  O ) `  k )  e.  (
Base `  A )
)
1061, 22, 23, 102, 103, 105matecld 19055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
10791adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  k  e.  NN0 )
10843, 22, 8, 6, 4, 34, 5coe1tm 18441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) )  =  ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
109101, 106, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) )  =  ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
110 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  K  ->  (
l  =  k  <->  K  =  k ) )
111110ifbid 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  K  ->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
112111adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  /\  l  =  K )  ->  if ( l  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
113 simpl1r 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  K  e.  NN0 )
114 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  _V
115114, 49ifex 4013 . . . . . . . . . 10  |-  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  _V
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  e. 
_V )
117109, 112, 113, 116fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K )  =  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
118117mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
119118oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
120119mpt2eq3dva 6360 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
121120ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) 
.x.  ( k E Y ) ) ) `
 K ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
122 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  K  ->  (
s  <  x  <->  s  <  K ) )
123 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  K  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
124123eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  K  ->  (
( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A )  <-> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) ) )
125122, 124imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  K  ->  (
( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  <->  ( s  < 
K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) ) ) )
126125rspcva 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
s  <  K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) ) )
1271, 43mat0op 19048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
128127eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  A ) )
1291283adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  A ) )
130129ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  A ) )
131 elfz2nn0 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  <->  ( k  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  k  <_  s ) )
132 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
133132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
134 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
135134ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  s  e.  RR )
136 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  RR )
138 lelttr 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( k  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  k  <  K
) )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  k  <  K ) )
140 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  k  <  K )
141140olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) )
142 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( K  =/=  k  <->  -.  K  =  k )
143132adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
144 lttri2 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( K  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) ) )
145136, 143, 144syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  < 
k  \/  k  < 
K ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( K  =/=  k  <->  ( K  <  k  \/  k  < 
K ) ) )
147142, 146syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  ( -.  K  =  k  <->  ( K  <  k  \/  k  <  K ) ) )
148141, 147mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e. 
NN0 )  /\  k  <  K )  ->  -.  K  =  k )
149148ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  < 
K  ->  -.  K  =  k ) )
150139, 149syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  K )  ->  -.  K  =  k )
)
151150exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  ( s  <  K  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
152151com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( s  <  K  ->  ( k  <_  s  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
153152expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  -> 
( k  <_  s  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
154153com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) ) )
155154imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <_  s )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e.  NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
1561553adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  k  <_  s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
157131, 156sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  ->  ( K  e. 
NN0  ->  -.  K  =  k ) ) )
158157com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  K )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  K  =  k ) ) )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  s  <  K )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) ) )
160159imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) )
161160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  K  =  k ) )
1621613ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  K  =  k ) )
163162imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  -.  K  =  k )
164163iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
165164mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( 0g `  R ) ) )
166165oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) ) )
167 ringmnd 17334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1681673ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  R  e.  Mnd )
169 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
17043gsumz 16132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... s
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
171168, 169, 170sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
172171ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
1731723ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( 0g `  R ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
174166, 173eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
175174mpt2eq3dva 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( 0g `  R ) ) )
176 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )
177130, 175, 1763eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  O  e.  L
) )  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  /\  ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
178177ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  K ) )  ->  ( (
(coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) )
179178expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( s  <  K  ->  ( ( (coe1 `  O
) `  K )  =  ( 0g `  A )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) )
180179a2d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L ) )  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( ( s  < 
K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K
)  =  ( 0g
`  A ) )  ->  ( s  < 
K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) )
181180exp31 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( ( s  <  K  ->  ( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) )
182181com14 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  <  K  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) )
183126, 182syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) )
184183ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( s  <  K  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) ) ) ) ) )
185184com25 91 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) ) )
186185pm2.43i 47 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) ) )
187186impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) )  ->  ( s  <  K  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K
) ) ) ) )
188187imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
s  <  K  ->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
189188com12 31 . . . . 5  |-  ( s  <  K  ->  (
( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
190168ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
191190adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  R  e.  Mnd )
1921913ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
193169a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( 0 ... s
)  e.  _V )
194 lenlt 9680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( K  <_  s  <->  -.  s  <  K ) )
195136, 134, 194syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  s  <->  -.  s  <  K ) )
196 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  e.  NN0 )
197 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  s  e.  NN0 )
198 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  <_  s
)
199 elfz2nn0 11795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... s )  <->  ( K  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  K  <_  s ) )
200196, 197, 198, 199syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  K  <_  s )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
201200ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  s  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
202195, 201sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( -.  s  < 
K  ->  K  e.  ( 0 ... s
) ) )
203202adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  ->  ( -.  s  <  K  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
204203adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  ( -.  s  <  K  ->  K  e.  ( 0 ... s ) ) )
205204impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
2062053ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  K  e.  ( 0 ... s ) )
207 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  k  <->  k  =  K )
208 ifbi 3965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  =  k  <->  k  =  K )  ->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
209207, 208ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) )
210209mpteq2i 4540 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( k  =  K ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
211 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  i  e.  N
)
212 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  j  e.  N
)
21327adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  ->  O  e.  L )
2142133ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  O  e.  L )
215214, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  O
) `  k )  e.  ( Base `  A
) )
2161, 22, 23, 211, 212, 215matecld 19055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
21791, 216sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  k  e.  (
0 ... s ) )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  e.  ( Base `  R
) )
218217ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s ) ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  e.  ( Base `  R
) )
21943, 192, 193, 206, 210, 218gsummpt1n0 17119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  s  < 
K  /\  ( (
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e. 
NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )
220219mpt2eq3dva 6360 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ) )
221 csbov 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i [_ K  / 
k ]_ ( (coe1 `  O
) `  k )
j )
222 csbfv 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ K  /  k ]_ (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  K )
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  ->  [_ K  /  k ]_ (
(coe1 `  O ) `  k )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
224223oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( i
[_ K  /  k ]_ ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j ) )
225221, 224syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  NN0  ->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  K )
j ) )
226225ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  ->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K
) j ) )
227226mpt2eq3dv 6362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j ) ) )
228 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  a  /\  j  =  b )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K
) j )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K
) b ) )
229228adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
a  e.  N  /\  b  e.  N )
)  /\  ( i  =  a  /\  j  =  b ) )  ->  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b ) )
230 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
a  e.  N )
231 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
b  e.  N )
232 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b )  e.  _V
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a ( (coe1 `  O ) `  K
) b )  e. 
_V )
234227, 229, 230, 231, 233ovmpt2d 6429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O ) `  K ) b ) )
235234ralrimivva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  ( a
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) )
236 simpl1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Fin )
237222oveqi 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i
[_ K  /  k ]_ ( (coe1 `  O ) `  k ) j )  =  ( i ( (coe1 `  O ) `  K ) j )
238221, 237eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  =  ( i ( (coe1 `  O
) `  K )
j )
239 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
240 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
24129, 3, 2, 23coe1fvalcl 18378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( O  e.  L  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2422413ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2432423ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  O ) `  K )  e.  (
Base `  A )
)
2441, 22, 23, 239, 240, 243matecld 19055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( (coe1 `  O
) `  K )
j )  e.  (
Base `  R )
)
245238, 244syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L
)  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  e.  (
Base `  R )
)
2461, 22, 23, 236, 18, 245matbas2d 19052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  e.  ( Base `  A
) )
2471, 23eqmat 19053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( (coe1 `  O ) `  K
)  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) ) )
248246, 242, 247syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )  <->  A. a  e.  N  A. b  e.  N  (
a ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) ) b )  =  ( a ( (coe1 `  O
) `  K )
b ) ) )
249235, 248mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
250249ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  [_ K  /  k ]_ (
i ( (coe1 `  O
) `  k )
j ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
251250adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |-> 
[_ K  /  k ]_ ( i ( (coe1 `  O ) `  k
) j ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
252220, 251eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( -.  s  <  K  /\  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
253252ex 434 . . . . 5  |-  ( -.  s  <  K  -> 
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) ) )
254189, 253pm2.61i 164 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( K  =  k ,  ( i ( (coe1 `  O ) `  k ) j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
25599, 121, 2543eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
(coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
256 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
25729, 3, 2, 256coe1sfi 18379 . . . . 5  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A ) )
25826, 257syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A ) )
25929, 3, 2, 256, 23coe1fsupp 18381 . . . . . 6  |-  ( O  e.  L  ->  (coe1 `  O )  e.  {
x  e.  ( (
Base `  A )  ^m  NN0 )  |  x finSupp 
( 0g `  A
) } )
260 elrabi 3254 . . . . . 6  |-  ( (coe1 `  O )  e.  {
x  e.  ( (
Base `  A )  ^m  NN0 )  |  x finSupp 
( 0g `  A
) }  ->  (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 ) )
26126, 259, 2603syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 ) )
262 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( 0g
`  A )  e. 
_V
263 fsuppmapnn0ub 12104 . . . . 5  |-  ( ( (coe1 `  O )  e.  ( ( Base `  A
)  ^m  NN0 )  /\  ( 0g `  A )  e.  _V )  -> 
( (coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
264261, 262, 263sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  O ) finSupp  ( 0g `  A )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x )  =  ( 0g `  A ) ) ) )
265258, 264mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  ( (coe1 `  O ) `  x
)  =  ( 0g
`  A ) ) )
266255, 265r19.29a 2999 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( i ( (coe1 `  O
) `  k )
j )  .x.  (
k E Y ) ) ) ) ) `
 K ) )  =  ( (coe1 `  O
) `  K )
)
2679, 266eqtrd 2498 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  O  e.  L )  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( I `  O
) decompPMat  K )  =  ( (coe1 `  O ) `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   [_csb 3430   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  .gcmg 16183  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268   Ringcrg 17325   LModclmod 17639  var1cv1 18342  Poly1cpl1 18343  coe1cco1 18344   Mat cmat 19036   decompPMat cdecpmat 19390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-vr1 18347  df-ply1 18348  df-coe1 18349  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mat 19037  df-decpmat 19391
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