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Theorem mp2pm2mplem4 31250
Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 31252. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmattomply1.p |- P = (Poly1 ` R )
pmattomply1.c |- C = ( N Mat P )
pmattomply1.b |- B = ( Base ` C )
pmattomply1.f |- F = ( m e. B , k e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i m j ) ) ` k ) ) )
pmattomply1.m |- .* = ( .s ` Q )
pmattomply1.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
pmattomply1.x |- X = (var1 ` A )
pmattomply1.a |- A = ( N Mat R )
pmattomply1.q |- Q = (Poly1 ` A )
pmattomply1.l |- L = ( Base ` Q )
pmattomply1.t |- T = ( m e. B |-> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( m F k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
mp2pm2mp.m |- .x. = ( .s ` P )
mp2pm2mp.e |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
mp2pm2mp.y |- Y = (var1 ` R )
mp2pm2mp.i |- I = ( p e. L |-> ( i e. N , j e. N |-> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` p ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( I ` O ) F K ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
Distinct variable groups:   B, k, m, i, j   i, N, j, k   R, i, j, k   m, F   Q, m   m, X   .* , m   .^ , m   A, i, j, k   C, i, j, k, m   i, F, j, k   k, L   m, N   P, k   .* , k   R, m   Q, k   .^ , k   E, p   L, p   N, p   i, O, j, k, p   P, p   R, p   Y, p   .x. , p   i, L, j   P, i, j   .x. , k   i, E, j   i, K, j   i, Y, j   .x. , i, j   k, E   k, K, m   m, L   k, Y   m, O
Allowed substitution hints:   A( m, p)   B( p)   C( p)   P( m)   Q( i, j, p)   T( i, j, k, m, p)   .x. ( m)   E( m)   .^ ( i, j, p)   F( p)   I( i, j, k, m, p)   .* ( i, j, p)   K( p)   X( i, j, k, p)   Y( m)
Proof of Theorem mp2pm2mplem4
Dummy variables b l x s a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmattomply1.p . . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2 pmattomply1.c . . 3 |- C = ( N Mat P )
3 pmattomply1.b . . 3 |- B = ( Base ` C )
4 pmattomply1.f . . 3 |- F = ( m e. B , k e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i m j ) ) ` k ) ) )
5 pmattomply1.m . . 3 |- .* = ( .s ` Q )
6 pmattomply1.e . . 3 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
7 pmattomply1.x . . 3 |- X = (var1 ` A )
8 pmattomply1.a . . 3 |- A = ( N Mat R )
9 pmattomply1.q . . 3 |- Q = (Poly1 ` A )
10 pmattomply1.l . . 3 |- L = ( Base ` Q )
11 pmattomply1.t . . 3 |- T = ( m e. B |-> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( m F k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
12 mp2pm2mp.m . . 3 |- .x. = ( .s ` P )
13 mp2pm2mp.e . . 3 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
14 mp2pm2mp.y . . 3 |- Y = (var1 ` R )
15 mp2pm2mp.i . . 3 |- I = ( p e. L |-> ( i e. N , j e. N |-> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` p ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15mp2pm2mplem3 31249 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( I ` O ) F K ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) )
17 eqid 2450 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
18 eqid 2450 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
191ply1rng 17796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
20193ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. Ring )
21 rngcmn 16767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. CMnd )
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> P e. CMnd )
24233ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> P e. CMnd )
25 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> R e. Ring )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> R e. Ring )
27263ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> R e. Ring )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
30 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> i e. N )
31 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> j e. N )
32 simpl3 993 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> O e. L )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> O e. L )
34333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
35 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (coe1 ` O ) = (coe1 ` O )
36 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
3735, 10, 9, 36coe1fvalcl 30958 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. L /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
3834, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
39 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
408, 39matecl 18421 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. N /\ j e. N /\ ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
4130, 31, 38, 40syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
42 id 22 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
431, 17, 14, 13, 42, 39, 12smon1ply1 30969 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ k e. NN0 /\ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
4428, 29, 41, 43syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
4544ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. NN0 ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
46 simp1lr 1052 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> s e. NN0 )
47 oveq 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) = ( i ( 0g ` A ) j ) )
4847oveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) )
49 3simpa 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
5049ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
51 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
528, 51mat0op 18415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( a e. N , b e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
5350, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` A ) = ( a e. N , b e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
54 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a = i /\ b = j ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) )
55 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
56 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
57 fvex 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0g ` R ) e. _V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
5953, 54, 55, 56, 58ovmpt2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( 0g ` A ) j ) = ( 0g ` R ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( i ( 0g ` A ) j ) = ( 0g ` R ) )
6160oveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. ( x E Y ) ) )
6225ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> R e. Ring )
631ply1sca 17801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> R = (Scalar ` P ) )
6564fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) ) )
6665oveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( 0g ` R ) .x. ( x E Y ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) )
671ply1lmod 17800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
68673ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> P e. LMod )
6968ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> P e. LMod )
70 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
7170rngmgp 16743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
7220, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
7372ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
7514, 1, 17vr1cl 17764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. Ring -> Y e. ( Base ` P ) )
76753ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> Y e. ( Base ` P ) )
7776ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> Y e. ( Base ` P ) )
7870, 17mgpbas 16688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
7978, 13mulgnn0cl 15731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ x e. NN0 /\ Y e. ( Base ` P ) ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
8073, 74, 77, 79syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( x E Y ) e. ( Base ` P ) )
81 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
82 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0g ` (Scalar ` P ) ) = ( 0g ` (Scalar ` P ) )
8317, 81, 12, 82, 18lmod0vs 17073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. LMod /\ ( x E Y ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
8469, 80, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` P ) ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
8561, 66, 843eqtrd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) /\ s < x ) -> ( ( i ( 0g ` A ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
8748, 86sylan9eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) /\ s < x ) /\ ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) )
8887exp31 604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( s < x -> ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
8988a2d 26 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
9089ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
9190impancom 440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
92913impib 1186 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
93 breq2 4380 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( s < k <-> s < x ) )
94 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` x ) )
9594oveqd 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) )
96 oveq1 6183 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( k E Y ) = ( x E Y ) )
9795, 96oveq12d 6194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) )
9897eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) <-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
9993, 98imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> ( ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) ) )
10099cbvralv 3029 . . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN0 ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) <-> A. x e. NN0 ( s < x -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` x ) j ) .x. ( x E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
10192, 100sylibr 212 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. NN0 ( s < k -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) = ( 0g ` P ) ) )
10217, 18, 24, 45, 46, 101gsummptnn0fzv 30934 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) = ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) )
103102fveq2d 5779 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) = (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) )
104103fveq1d 5777 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) )
105 simpllr 758 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> K e. NN0 )
1061053ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> K e. NN0 )
107 elfznn0 11568 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> k e. NN0 )
10844expcom 435 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) ) )
110109com12 31 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) ) )
111110ralrimiv 2880 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) e. ( Base ` P ) )
112 fzfid 11882 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( 0 ... s ) e. Fin )
1131, 17, 27, 106, 111, 112coe1fzgsumd 30966 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) )
114104, 113eqtrd 2490 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) )
115114mpt2eq3dva 6235 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) )
116253ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
117116adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> R e. Ring )
118 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> i e. N )
119 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> j e. N )
120323ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
121120, 107, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
122118, 119, 121, 40syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
123107adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> k e. NN0 )
12451, 39, 1, 14, 12, 70, 13coe1tm 17820 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) /\ k e. NN0 ) -> (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
125117, 122, 123, 124syl3anc 1219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) = ( l e. NN0 |-> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
126 eqeq1 2453 . . . . . . . . . . 11 |- ( l = K -> ( l = k <-> K = k ) )
127126ifbid 3895 . . . . . . . . . 10 |- ( l = K -> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
128127adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) /\ l = K ) -> if ( l = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
129 simpl1r 1040 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> K e. NN0 )
130 ovex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. _V
131130, 57ifex 3942 . . . . . . . . . 10 |- if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) e. _V
132131a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) e. _V )
133125, 128, 129, 132fvmptd 5864 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) = if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
134133mpteq2dva 4462 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) )
135134oveq2d 6192 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
136135mpt2eq3dva 6235 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
137136ad2antrr 725 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( (coe1 ` ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ` K ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
138 breq2 4380 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = K -> ( s < x <-> s < K ) )
139 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = K -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
140139eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = K -> ( ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) <-> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) )
141138, 140imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = K -> ( ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) <-> ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) ) )
142141rspcva 3153 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) )
1438, 51mat0op 18415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
144143eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
1451443adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
146145ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` A ) )
147 elfz2nn0 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( k e. ( 0 ... s ) <-> ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) )
148 nn0re 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
149148ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> k e. RR )
150 nn0re 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( s e. NN0 -> s e. RR )
151150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> s e. RR )
152 nn0re 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
153152adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> K e. RR )
154 lelttr 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( k e. RR /\ s e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> k < K ) )
155149, 151, 153, 154syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> k < K ) )
156 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> k < K )
157156olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( K < k \/ k < K ) )
158 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( K =/= k <-> -. K = k )
159148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> k e. RR )
160 lttri2 9544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( K e. RR /\ k e. RR ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
161152, 159, 160syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( K =/= k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
163158, 162syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> ( -. K = k <-> ( K < k \/ k < K ) ) )
164157, 163mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) /\ k < K ) -> -. K = k )
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( k < K -> -. K = k ) )
166155, 165syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( k <_ s /\ s < K ) -> -. K = k ) )
167166exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K e. NN0 -> ( k <_ s -> ( s < K -> -. K = k ) ) ) )
168167com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( s < K -> ( k <_ s -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
169168expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( k e. NN0 -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k <_ s -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
170169com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k e. NN0 -> ( k <_ s -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) ) )
171170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
1721713adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( k e. NN0 /\ s e. NN0 /\ k <_ s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
173147, 172sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. ( 0 ... s ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( K e. NN0 -> -. K = k ) ) )
174173com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) ) )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) -> ( ( s e. NN0 /\ s < K ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) ) )
176175imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
177176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
1781773ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) -> -. K = k ) )
179178imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> -. K = k )
180 iffalse 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. K = k -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
182181mpteq2dva 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) )
183182oveq2d 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) )
184 rngmnd 16746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
1851843ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> R e. Mnd )
186 ovex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 ... s ) e. _V
18751gsumz 15599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... s ) e. _V ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
188185, 186, 187sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
189188ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
1901893ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
191183, 190eqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
192191mpt2eq3dva 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
193 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) )
194146, 192, 1933eqtr4d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
195194ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ ( s e. NN0 /\ s < K ) ) -> ( ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
196195expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ s e. NN0 ) -> ( s < K -> ( ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) )
197196a2d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. NN0 /\ ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) ) /\ s e. NN0 ) -> ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) )
198197exp31 604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
199198com14 88 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s < K -> ( (coe1 ` O ) ` K ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
200142, 199syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
201200ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) ) )
202201com25 91 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) ) )
203202pm2.43i 47 . . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) ) )
204203impcom 430 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( s e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) ) ) )
205204imp31 432 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( s < K -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
206205com12 31 . . . . 5 |- ( s < K -> ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
207185ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> R e. Mnd )
208207adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> R e. Mnd )
2092083ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Mnd )
210186a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( 0 ... s ) e. _V )
211 lenlt 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. RR /\ s e. RR ) -> ( K <_ s <-> -. s < K ) )
212152, 150, 211syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K <_ s <-> -. s < K ) )
213 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K e. NN0 )
214 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> s e. NN0 )
215 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K <_ s )
216 elfz2nn0 11567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 0 ... s ) <-> ( K e. NN0 /\ s e. NN0 /\ K <_ s ) )
217213, 214, 215, 216syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) /\ K <_ s ) -> K e. ( 0 ... s ) )
218217ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( K <_ s -> K e. ( 0 ... s ) ) )
219212, 218sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
220219adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
221220adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( -. s < K -> K e. ( 0 ... s ) ) )
222221impcom 430 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> K e. ( 0 ... s ) )
2232223ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> K e. ( 0 ... s ) )
224 eqcom 2458 . . . . . . . . . . 11 |- ( K = k <-> k = K )
225 ifbi 3894 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K = k <-> k = K ) -> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
226224, 225ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) )
227226mpteq2i 4459 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( k = K , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) )
228 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> i e. N )
229 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> j e. N )
23033adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> O e. L )
2312303ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> O e. L )
232231, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` k ) e. ( Base ` A ) )
233228, 229, 232, 40syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. NN0 ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
234107, 233sylan2 474 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) /\ k e. ( 0 ... s ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
235234ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> A. k e. ( 0 ... s ) ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
23651, 209, 210, 223, 227, 235gsummpt1n0 16547 . . . . . . . 8 |- ( ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) )
237236mpt2eq3dva 6235 . . . . . . 7 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) )
238 csbov 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j )
239 csbfv 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` K )
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN0 -> [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
241240oveqd 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN0 -> ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
242238, 241syl5eq 2502 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. NN0 -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
243242ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) )
244243mpt2eq3dv 6237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) ) )
245 oveq12 6185 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
246245adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ ( i = a /\ j = b ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
247 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> a e. N )
248 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> b e. N )
249 ovex 6201 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) e. _V
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) e. _V )
251244, 246, 247, 248, 250ovmpt2d 6304 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
252251ralrimivva 2890 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) )
253 simpl1 991 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> N e. Fin )
254239oveqi 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i [_ K / k ]_ ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j )
255238, 254eqtri 2478 . . . . . . . . . . . . 13 |- [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) = ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j )
256 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
257 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
25835, 10, 9, 36coe1fvalcl 30958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( O e. L /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2592583ad2antl3 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2602593ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) )
2618, 39matecl 18421 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. N /\ j e. N /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) e. ( Base ` R ) )
262256, 257, 260, 261syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( (coe1 ` O ) ` K ) j ) e. ( Base ` R ) )
263255, 262syl5eqel 2540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) e. ( Base ` R ) )
2648, 39, 36, 253, 25, 263matbas2d 18419 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) e. ( Base ` A ) )
2658, 36eqmat 30989 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) e. ( Base ` A ) /\ ( (coe1 ` O ) ` K ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) ) )
266264, 259, 265syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) b ) = ( a ( (coe1 ` O ) ` K ) b ) ) )
267252, 266mpbird 232 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
268267ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
269268adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> [_ K / k ]_ ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
270237, 269eqtrd 2490 . . . . . 6 |- ( ( -. s < K /\ ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
271270ex 434 . . . . 5 |- ( -. s < K -> ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) ) )
272206, 271pm2.61i 164 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( R gsumg ( k e. ( 0 ... s ) |-> if ( K = k , ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) , ( 0g ` R ) ) ) ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
273115, 137, 2723eqtrd 2494 . . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) /\ s e. NN0 ) /\ A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( i ( (coe1 ` O ) ` k ) j ) .x. ( k E Y ) ) ) ) ) ` K ) ) = ( (coe1 ` O ) ` K ) )
274 eqid 2450 . . . . . 6 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
27535, 10, 9, 274coe1sfi 17761 . . . . 5 |- ( O e. L -> (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) )
27632, 275syl 16 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) )
27735, 10, 9, 36, 274coe1fsupp 30959 . . . . . 6 |- ( O e. L -> (coe1 ` O ) e. { x e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) | x finSupp ( 0g ` A ) } )
278 elrabi 3197 . . . . . 6 |- ( (coe1 ` O ) e. { x e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) | x finSupp ( 0g ` A ) } -> (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) )
27932, 277, 2783syl 20 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) )
280 fvex 5785 . . . . 5 |- ( 0g ` A ) e. _V
281 fsuppmapnn0ub 30920 . . . . 5 |- ( ( (coe1 ` O ) e. ( ( Base ` A ) ^m NN0 ) /\ ( 0g ` A ) e. _V ) -> ( (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
282279, 280, 281sylancl 662 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` O ) finSupp ( 0g ` A ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) ) )
283276, 282mpd 15 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e. L ) /\ K e. NN0 ) -> E. s e. NN0 A. x e. NN0 ( s < x -> ( (coe1 ` O ) ` x ) = ( 0g ` A ) ) )
284273, 283r19.29a 2944 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ O e.