Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mp2pm2mplem3 19909
 Description: Lemma 3 for mp2pm2mp 19912. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a Mat
mp2pm2mp.q Poly1
mp2pm2mp.l
mp2pm2mp.m
mp2pm2mp.e .gmulGrp
mp2pm2mp.y var1
mp2pm2mp.i g coe1
mp2pm2mplem2.p Poly1
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem3 decompPMat coe1 g coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   ()

Proof of Theorem mp2pm2mplem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . . . 5 Mat
2 mp2pm2mp.q . . . . 5 Poly1
3 mp2pm2mp.l . . . . 5
4 mp2pm2mp.m . . . . 5
5 mp2pm2mp.e . . . . 5 .gmulGrp
6 mp2pm2mp.y . . . . 5 var1
7 mp2pm2mp.i . . . . 5 g coe1
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mp2pm2mplem1 19907 . . . 4 g coe1
98oveq1d 6323 . . 3 decompPMat g coe1 decompPMat
109adantr 472 . 2 decompPMat g coe1 decompPMat
11 mp2pm2mplem2.p . . . 4 Poly1
12 eqid 2471 . . . 4 Mat Mat
13 eqid 2471 . . . 4 Mat Mat
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13mp2pm2mplem2 19908 . . 3 g coe1 Mat
1512, 13decpmatval 19866 . . 3 g coe1 Mat g coe1 decompPMat coe1 g coe1
1614, 15sylan 479 . 2 g coe1 decompPMat coe1 g coe1
17 eqidd 2472 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
18 oveq12 6317 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
1918oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
2019mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
2120oveq2d 6324 . . . . . . . 8 g coe1 g coe1
2221adantl 473 . . . . . . 7 g coe1 g coe1
23 simp2 1031 . . . . . . 7
24 simp3 1032 . . . . . . 7
25 ovex 6336 . . . . . . . 8 g coe1
2625a1i 11 . . . . . . 7 g coe1
2717, 22, 23, 24, 26ovmpt2d 6443 . . . . . 6 g coe1 g coe1
2827fveq2d 5883 . . . . 5 coe1 g coe1 coe1 g coe1
2928fveq1d 5881 . . . 4 coe1 g coe1 coe1 g coe1
3029mpt2eq3dva 6374 . . 3 coe1 g coe1 coe1 g coe1
31 oveq1 6315 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
3231oveq1d 6323 . . . . . . . 8 coe1 coe1
3332mpteq2dv 4483 . . . . . . 7 coe1 coe1
3433oveq2d 6324 . . . . . 6 g coe1 g coe1
3534fveq2d 5883 . . . . 5 coe1 g coe1 coe1 g coe1
3635fveq1d 5881 . . . 4 coe1 g coe1 coe1 g coe1
37 simpl 464 . . . . . . . . . 10
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
3938oveq1d 6323 . . . . . . . 8 coe1 coe1
4039mpteq2dva 4482 . . . . . . 7 coe1 coe1
4140oveq2d 6324 . . . . . 6 g coe1 g coe1
4241fveq2d 5883 . . . . 5 coe1 g coe1 coe1 g coe1
4342fveq1d 5881 . . . 4 coe1 g coe1 coe1 g coe1
4436, 43cbvmpt2v 6390 . . 3 coe1 g coe1 coe1 g coe1
4530, 44syl6eq 2521 . 2 coe1 g coe1 coe1 g coe1
4610, 16, 453eqtrd 2509 1 decompPMat coe1 g coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cn0 10893  cbs 15199  cvsca 15272   g cgsu 15417  .gcmg 16750  mulGrpcmgp 17801  crg 17858  var1cv1 18846  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   Mat cmat 19509   decompPMat cdecpmat 19863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-decpmat 19864 This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem4  19910
 Copyright terms: Public domain W3C validator