Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motgrp Structured version   Unicode version

Theorem motgrp 23906
 Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p
ismot.m
motgrp.1
motgrp.i Ismt Ismt Ismt
Assertion
Ref Expression
motgrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem motgrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6309 . . 3 Ismt
2 motgrp.i . . . 4 Ismt Ismt Ismt
32grpbase 14718 . . 3 Ismt Ismt
41, 3mp1i 12 . 2 Ismt
5 eqidd 2444 . 2
6 ismot.p . . . 4
7 ismot.m . . . 4
8 motgrp.1 . . . . 5
983ad2ant1 1018 . . . 4 Ismt Ismt
10 simp2 998 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
11 simp3 999 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
126, 7, 9, 2, 10, 11motplusg 23905 . . 3 Ismt Ismt
136, 7, 9, 10, 11motco 23903 . . 3 Ismt Ismt Ismt
1412, 13eqeltrd 2531 . 2 Ismt Ismt Ismt
15 coass 5516 . . 3
16123adant3r3 1208 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt
1716oveq1d 6296 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
188adantr 465 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt
19133adant3r3 1208 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt Ismt
20 simpr3 1005 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt Ismt
216, 7, 18, 2, 19, 20motplusg 23905 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
2217, 21eqtrd 2484 . . 3 Ismt Ismt Ismt
23 simpr2 1004 . . . . . 6 Ismt Ismt Ismt Ismt
246, 7, 18, 2, 23, 20motplusg 23905 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt
2524oveq2d 6297 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
26 simpr1 1003 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt Ismt
276, 7, 18, 23, 20motco 23903 . . . . 5 Ismt Ismt Ismt Ismt
286, 7, 18, 2, 26, 27motplusg 23905 . . . 4 Ismt Ismt Ismt
2925, 28eqtrd 2484 . . 3 Ismt Ismt Ismt
3015, 22, 293eqtr4a 2510 . 2 Ismt Ismt Ismt
316, 7, 8idmot 23900 . 2 Ismt
328adantr 465 . . . 4 Ismt
3331adantr 465 . . . 4 Ismt Ismt
34 simpr 461 . . . 4 Ismt Ismt
356, 7, 32, 2, 33, 34motplusg 23905 . . 3 Ismt
366, 7ismot 23898 . . . . . 6 Ismt
3736simprbda 623 . . . . 5 Ismt
388, 37sylan 471 . . . 4 Ismt
39 f1of 5806 . . . 4
40 fcoi2 5750 . . . 4
4138, 39, 403syl 20 . . 3 Ismt
4235, 41eqtrd 2484 . 2 Ismt
436, 7, 32, 34cnvmot 23904 . 2 Ismt Ismt
446, 7, 32, 2, 43, 34motplusg 23905 . . 3 Ismt
45 f1ococnv1 5834 . . . 4
4638, 45syl 16 . . 3 Ismt
4744, 46eqtrd 2484 . 2 Ismt
484, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47isgrpd 16053 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095  cpr 4016  cop 4020   cid 4780  ccnv 4988   cres 4991   ccom 4993  wf 5574  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cnx 14610  cbs 14613   cplusg 14678  cds 14687  cgrp 16031  Ismtcismt 23895 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-ismt 23896 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator