MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mosubopt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mosubopt 4712
Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
mosubopt  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt
StepHypRef Expression
1 nfa1 1989 . . 3  |-  F/ y A. y A. z E* x ph
2 nfe1 1928 . . . 4  |-  F/ y E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
32nfmo 2326 . . 3  |-  F/ y E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
4 nfa1 1989 . . . . 5  |-  F/ z A. z E* x ph
5 nfe1 1928 . . . . . . 7  |-  F/ z E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph )
65nfex 2041 . . . . . 6  |-  F/ z E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
76nfmo 2326 . . . . 5  |-  F/ z E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
8 copsexg 4700 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
98mobidv 2330 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* x ph 
<->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
109biimpcd 232 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1110sps 1953 . . . . 5  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
124, 7, 11exlimd 2007 . . . 4  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1312sps 1953 . . 3  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
141, 3, 13exlimd 2007 . 2  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
15 simpl 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  A  =  <. y ,  z >. )
16152eximi 1718 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >. )
1716exlimiv 1786 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.
)
1817con3i 142 . . 3  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  -.  E. x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
19 exmo 2334 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  \/  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2019ori 381 . . 3  |-  ( -. 
E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2118, 20syl 17 . 2  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2214, 21pm2.61d1 164 1  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454   E.wex 1673   E*wmo 2310   <.cop 3985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986
This theorem is referenced by:  mosubop  4713  funoprabg  6421
  Copyright terms: Public domain W3C validator