Theorem mosubopt 4712

Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mosubopt	|- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa1 1989	. . 3 |- F/ y A. y A. z E* x ph
2		nfe1 1928	. . . 4 |- F/ y E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
3	2	nfmo 2326	. . 3 |- F/ y E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
4		nfa1 1989	. . . . 5 |- F/ z A. z E* x ph
5		nfe1 1928	. . . . . . 7 |- F/ z E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
6	5	nfex 2041	. . . . . 6 |- F/ z E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
7	6	nfmo 2326	. . . . 5 |- F/ z E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
8		copsexg 4700	. . . . . . . 8 |- ( A = <. y , z >. -> ( ph <-> E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
9	8	mobidv 2330	. . . . . . 7 |- ( A = <. y , z >. -> ( E* x ph <-> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
10	9	biimpcd 232	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
11	10	sps 1953	. . . . 5 |- ( A. z E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
12	4, 7, 11	exlimd 2007	. . . 4 |- ( A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
13	12	sps 1953	. . 3 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
14	1, 3, 13	exlimd 2007	. 2 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
15		simpl 463	. . . . . 6 |- ( ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> A = <. y , z >. )
16	15	2eximi 1718	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
17	16	exlimiv 1786	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
18	17	con3i 142	. . 3 |- ( -. E. y E. z A = <. y , z >. -> -. E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
19		exmo 2334	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) \/ E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
20	19	ori 381	. . 3 |- ( -. E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
21	18, 20	syl 17	. 2 |- ( -. E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
22	14, 21	pm2.61d1 164	1 |- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   A.wal 1452   = wceq 1454   E.wex 1673   E*wmo 2310   <.cop 3985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986

This theorem is referenced by:  mosubop  4713  funoprabg  6421