Theorem mosubopt 4718

Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mosubopt	|- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa1 1956	. . 3 |- F/ y A. y A. z E* x ph
2		nfe1 1894	. . . 4 |- F/ y E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
3	2	nfmo 2286	. . 3 |- F/ y E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
4		nfa1 1956	. . . . 5 |- F/ z A. z E* x ph
5		nfe1 1894	. . . . . . 7 |- F/ z E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
6	5	nfex 2008	. . . . . 6 |- F/ z E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
7	6	nfmo 2286	. . . . 5 |- F/ z E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
8		copsexg 4706	. . . . . . . 8 |- ( A = <. y , z >. -> ( ph <-> E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
9	8	mobidv 2290	. . . . . . 7 |- ( A = <. y , z >. -> ( E* x ph <-> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
10	9	biimpcd 227	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
11	10	sps 1920	. . . . 5 |- ( A. z E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
12	4, 7, 11	exlimd 1974	. . . 4 |- ( A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
13	12	sps 1920	. . 3 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
14	1, 3, 13	exlimd 1974	. 2 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
15		simpl 458	. . . . . 6 |- ( ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> A = <. y , z >. )
16	15	2eximi 1702	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
17	16	exlimiv 1770	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
18	17	con3i 140	. . 3 |- ( -. E. y E. z A = <. y , z >. -> -. E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
19		exmo 2294	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) \/ E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
20	19	ori 376	. . 3 |- ( -. E. x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
21	18, 20	syl 17	. 2 |- ( -. E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
22	14, 21	pm2.61d1 162	1 |- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   E*wmo 2270   <.cop 4004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-rab 2780  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005

This theorem is referenced by:  mosubop  4719  funoprabg  6410