MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mosubopt Structured version   Unicode version

Theorem mosubopt 4689
Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
mosubopt  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt
StepHypRef Expression
1 nfa1 1833 . . 3  |-  F/ y A. y A. z E* x ph
2 nfe1 1780 . . . 4  |-  F/ y E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
32nfmo 2280 . . 3  |-  F/ y E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
4 nfa1 1833 . . . . 5  |-  F/ z A. z E* x ph
5 nfe1 1780 . . . . . . 7  |-  F/ z E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph )
65nfex 1883 . . . . . 6  |-  F/ z E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
76nfmo 2280 . . . . 5  |-  F/ z E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
8 copsexg 4676 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
98mobidv 2284 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* x ph 
<->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
109biimpcd 224 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1110sps 1802 . . . . 5  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
124, 7, 11exlimd 1849 . . . 4  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1312sps 1802 . . 3  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
141, 3, 13exlimd 1849 . 2  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
15 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  A  =  <. y ,  z >. )
16152eximi 1627 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >. )
1716exlimiv 1689 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.
)
1817con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  -.  E. x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
19 exmo 2289 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  \/  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2019ori 375 . . 3  |-  ( -. 
E. x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2118, 20syl 16 . 2  |-  ( -. 
E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2214, 21pm2.61d1 159 1  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587   E*wmo 2261   <.cop 3983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-rab 2804  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984
This theorem is referenced by:  mosubop  4690  funoprabg  6291
  Copyright terms: Public domain W3C validator