Theorem morsubc 15203

Description: The morphisms of a subcategory are a subset of those of the supercategory.

Hypotheses

Ref	Expression
morsubc.1	|- M1 = dom (dom` T)
morsubc.2	|- M2 = dom (dom` U)

Assertion

Ref	Expression
morsubc	|- (U e. ( SubCat ` T) -> M2 C_ M1)

Proof of Theorem morsubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		besubbeca 15196	. . . 4 |- (U e. ( SubCat ` T) -> T e. Cat )
2		eqid 1884	. . . . 5 |- (dom` T) = (dom` T)
3		eqid 1884	. . . . 5 |- (cod` T) = (cod` T)
4		eqid 1884	. . . . 5 |- (o` T) = (o` T)
5		eqid 1884	. . . . 5 |- (id` T) = (id` T)
6	2, 3, 4, 5	issubcata 15194	. . . 4 |- (T e. Cat -> (U e. ( SubCat ` T) <-> (U e. Cat /\ ((id` U) C_ (id` T) /\ ((dom` U) C_ (dom` T) /\ (cod` U) C_ (cod` T)) /\ (o` U) C_ (o` T)))))
7	1, 6	syl 12	. . 3 |- (U e. ( SubCat ` T) -> (U e. ( SubCat ` T) <-> (U e. Cat /\ ((id` U) C_ (id` T) /\ ((dom` U) C_ (dom` T) /\ (cod` U) C_ (cod` T)) /\ (o` U) C_ (o` T)))))
8		dmss 4156	. . . . . . 7 |- ((dom` U) C_ (dom` T) -> dom (dom` U) C_ dom (dom` T))
9		morsubc.2	. . . . . . 7 |- M2 = dom (dom` U)
10		morsubc.1	. . . . . . 7 |- M1 = dom (dom` T)
11	8, 9, 10	3sstr4g 2658	. . . . . 6 |- ((dom` U) C_ (dom` T) -> M2 C_ M1)
12	11	adantr 425	. . . . 5 |- (((dom` U) C_ (dom` T) /\ (cod` U) C_ (cod` T)) -> M2 C_ M1)
13	12	3ad2ant2 898	. . . 4 |- (((id` U) C_ (id` T) /\ ((dom` U) C_ (dom` T) /\ (cod` U) C_ (cod` T)) /\ (o` U) C_ (o` T)) -> M2 C_ M1)
14	13	adantl 424	. . 3 |- ((U e. Cat /\ ((id` U) C_ (id` T) /\ ((dom` U) C_ (dom` T) /\ (cod` U) C_ (cod` T)) /\ (o` U) C_ (o` T))) -> M2 C_ M1)
15	7, 14	syl6bi 231	. 2 |- (U e. ( SubCat ` T) -> (U e. ( SubCat ` T) -> M2 C_ M1))
16	15	pm2.43i 78	1 |- (U e. ( SubCat ` T) -> M2 C_ M1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  dom cdm 3986  ` cfv 3998  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Cat ccat 15099   SubCat csubc 15191

This theorem is referenced by:  idsubfun 15206  infemb 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-cat 15100  df-subc 15192

Copyright terms: Public domain