MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Unicode version

Theorem mopntopon 20019
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 20018 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 20010 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 18581 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 20000 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5700 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2519 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2517 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4096   ran crn 4846   ` cfv 5423   topGenctg 14381   *Metcxmt 17806   ballcbl 17808   MetOpencmopn 17811  TopOnctopon 18504   TopBasesctb 18507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511
This theorem is referenced by:  mopntop  20020  mopnuni  20021  mopnm  20024  mopnss  20026  isxms2  20028  methaus  20100  prdsxmslem2  20109  metcnp3  20120  metcn  20123  metcnpi3  20126  txmetcn  20128  cnfldms  20360  cnfldtopn  20366  metdseq0  20435  metdscn2  20438  iitopon  20460  lebnumlem2  20539  lmmbr  20774  cfilfcls  20790  cmetcaulem  20804  iscmet3lem2  20808  lmle  20817  caublcls  20824  metcnp4  20825  metcn4  20826  cmetss  20830  relcmpcmet  20832  bcth2  20846  nvlmcl  24091  vmcn  24099  dipcn  24123  blocni  24210  ipasslem7  24241  ubthlem1  24276  ubthlem2  24277  minvecolem4b  24284  minvecolem4  24286  axhcompl-zf  24405  hlimadd  24600  hlim0  24643  occllem  24711  hmopidmchi  25560  fmcncfil  26366  ismtyhmeolem  28708  heiborlem9  28723  bfplem2  28727
  Copyright terms: Public domain W3C validator