MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Unicode version

Theorem mopntopon 20705
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 20704 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 20696 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 19267 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 20686 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5870 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2557 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2555 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ran crn 5000   ` cfv 5588   topGenctg 14693   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207  TopOnctopon 19190   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  mopntop  20706  mopnuni  20707  mopnm  20710  mopnss  20712  isxms2  20714  methaus  20786  prdsxmslem2  20795  metcnp3  20806  metcn  20809  metcnpi3  20812  txmetcn  20814  cnfldms  21046  cnfldtopn  21052  metdseq0  21121  metdscn2  21124  iitopon  21146  lebnumlem2  21225  lmmbr  21460  cfilfcls  21476  cmetcaulem  21490  iscmet3lem2  21494  lmle  21503  caublcls  21510  metcnp4  21511  metcn4  21512  cmetss  21516  relcmpcmet  21518  bcth2  21532  nvlmcl  25305  vmcn  25313  dipcn  25337  blocni  25424  ipasslem7  25455  ubthlem1  25490  ubthlem2  25491  minvecolem4b  25498  minvecolem4  25500  axhcompl-zf  25619  hlimadd  25814  hlim0  25857  occllem  25925  hmopidmchi  26774  fmcncfil  27577  ismtyhmeolem  29931  heiborlem9  29946  bfplem2  29950
  Copyright terms: Public domain W3C validator