MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Unicode version

Theorem mopntopon 21378
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 21377 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 21369 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 19911 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 21359 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5876 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2510 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2508 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   U.cuni 4213   ran crn 4846   ` cfv 5592   topGenctg 15288   *Metcxmt 18883   ballcbl 18885   MetOpencmopn 18888  TopOnctopon 19842   TopBasesctb 19844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847
This theorem is referenced by:  mopntop  21379  mopnuni  21380  mopnm  21383  mopnss  21385  isxms2  21387  methaus  21459  prdsxmslem2  21468  metcnp3  21479  metcn  21482  metcnpi3  21485  txmetcn  21487  cnfldms  21720  cnfldtopn  21726  metdseq0  21795  metdscn2  21798  iitopon  21820  lebnumlem2  21899  lmmbr  22134  cfilfcls  22150  cmetcaulem  22164  iscmet3lem2  22168  lmle  22177  caublcls  22184  metcnp4  22185  metcn4  22186  cmetss  22190  relcmpcmet  22192  bcth2  22204  nvlmcl  26198  vmcn  26206  dipcn  26230  blocni  26317  ipasslem7  26348  ubthlem1  26383  ubthlem2  26384  minvecolem4b  26391  minvecolem4  26393  axhcompl-zf  26512  hlimadd  26707  hlim0  26749  occllem  26817  hmopidmchi  27665  fmcncfil  28602  ismtyhmeolem  31869  heiborlem9  31884  bfplem2  31888
  Copyright terms: Public domain W3C validator