Theorem mopntop 20142

Description: The set of open sets of a metric space is a topology. (Contributed by NM, 28-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopntop	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )

Proof of Theorem mopntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntopon 20141	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 18658	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	2, 3	syl 16	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5521   *Metcxmt 17921   MetOpencmopn 17926   Topctop 18625  TopOnctopon 18626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633

This theorem is referenced by:  unimopn  20198  mopnin  20199  mopn0  20200  neibl  20203  blnei  20204  lpbl  20205  blcld  20207  met1stc  20223  met2ndci  20224  metrest  20226  prdsxmslem2  20231  metnrmlem2  20563  metnrm  20565  lebnumlem1  20660  metcld  20943  flimcfil  20951  cmetss  20952  cmpcmet  20955  bcthlem2  20963  bcthlem4  20965  bcthlem5  20966  bcth3  20969  ubthlem1  24418  minvecolem4b  24426  minvecolem4  24428  hhsscms  24827  heibor1lem  28851  heiborlem8  28860  heibor  28863