Theorem mopntop 20678

Description: The set of open sets of a metric space is a topology. (Contributed by NM, 28-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
mopntop	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )

Proof of Theorem mopntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntopon 20677	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		topontop 19194	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	2, 3	syl 16	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   ` cfv 5586   *Metcxmt 18174   MetOpencmopn 18179   Topctop 19161  TopOnctopon 19162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169

This theorem is referenced by:  unimopn  20734  mopnin  20735  mopn0  20736  neibl  20739  blnei  20740  lpbl  20741  blcld  20743  met1stc  20759  met2ndci  20760  metrest  20762  prdsxmslem2  20767  metnrmlem2  21099  metnrm  21101  lebnumlem1  21196  metcld  21479  flimcfil  21487  cmetss  21488  cmpcmet  21491  bcthlem2  21499  bcthlem4  21501  bcthlem5  21502  bcth3  21505  ubthlem1  25462  minvecolem4b  25470  minvecolem4  25472  hhsscms  25871  heibor1lem  29908  heiborlem8  29917  heibor  29920