MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni2 Structured version   Unicode version

Theorem mopni2 20759
Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopni2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, J    x, P    x, X

Proof of Theorem mopni2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopni 20758 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. y  e.  ran  ( ball `  D
) ( P  e.  y  /\  y  C_  A ) )
31mopnss 20712 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J
)  ->  A  C_  X
)
43sselda 3504 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  X )
5 blssex 20693 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( P  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
) )
65adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D )
( P  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  A ) )
74, 6syldan 470 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  A  e.  J )  /\  P  e.  A )  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D )
( P  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  A ) )
873impa 1191 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  ( E. y  e.  ran  ( ball `  D ) ( P  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
) )
92, 8mpbid 210 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  J  /\  P  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  mopni3  20760  neibl  20767  met1stc  20787  met2ndci  20788  prdsxmslem2  20795  metcnp3  20806  xrsmopn  21080  iccntr  21089  icccmplem3  21092  reconnlem2  21095  opnreen  21099  metdseq0  21121  cnllycmp  21219  nmhmcn  21366  lmmbr  21460  cfilfcls  21476  iscmet3lem2  21494  bcthlem5  21530  opnmbllem  21773  ellimc3  22046  lhop  22180  dvcnvre  22183  xrlimcnp  23054  ubthlem1  25490  lgamucov  28248  cnllyscon  28358  opnmbllem0  29655  heiborlem8  29945
  Copyright terms: Public domain W3C validator