MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopnex Structured version   Unicode version

Theorem mopnex 19936
Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnex.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopnex  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Distinct variable groups:    D, d    J, d    X, d

Proof of Theorem mopnex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10983 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 eqid 2433 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )
32stdbdmet 19933 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
41, 3mpan2 664 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
5 rpxr 10986 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  1  e.  RR*
7 0lt1 9850 . . 3  |-  0  <  1
8 mopnex.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
92, 8stdbdmopn 19935 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
106, 7, 9mp3an23 1299 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
11 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( MetOpen `  d
)  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
1211eqeq2d 2444 . . 3  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d )  <->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) ) )
1312rspcev 3062 . 2  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  J  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
144, 10, 13syl2anc 654 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   ifcif 3779   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   0cc0 9270   1c1 9271   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407   RR+crp 10979   *Metcxmt 17645   Metcme 17646   MetOpencmopn 17650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-bases 18347
This theorem is referenced by:  methaus  19937
  Copyright terms: Public domain W3C validator