MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopnex Structured version   Unicode version

Theorem mopnex 20892
Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnex.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopnex  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Distinct variable groups:    D, d    J, d    X, d

Proof of Theorem mopnex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11230 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 , 
( x D y ) ,  1 ) )
32stdbdmet 20889 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
41, 3mpan2 671 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
5 rpxr 11233 . . . 4  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
61, 5ax-mp 5 . . 3  |-  1  e.  RR*
7 0lt1 10078 . . 3  |-  0  <  1
8 mopnex.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
92, 8stdbdmopn 20891 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
106, 7, 9mp3an23 1315 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
11 fveq2 5853 . . . 4  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( MetOpen `  d
)  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )
1211eqeq2d 2455 . . 3  |-  ( d  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d )  <->  J  =  ( MetOpen `  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) ) )
1312rspcev 3194 . 2  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_ 
1 ,  ( x D y ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  J  =  ( MetOpen `  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  if ( ( x D y )  <_  1 ,  ( x D y ) ,  1 ) ) ) )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
144, 10, 13syl2anc 661 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   E.wrex 2792   ifcif 3923   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   0cc0 9492   1c1 9493   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   RR+crp 11226   *Metcxmt 18274   Metcme 18275   MetOpencmopn 18279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-icc 11542  df-topgen 14715  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-bases 19271
This theorem is referenced by:  methaus  20893
  Copyright terms: Public domain W3C validator