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Theorem monpropd 14790
Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same monomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
monpropd.3  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
monpropd.4  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
monpropd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
monpropd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
monpropd  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  D )
)

Proof of Theorem monpropd
Dummy variables  a 
b  c  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
2 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
3 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
4 monpropd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( Hom f  `  C )  =  ( Hom f  `  D ) )
7 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
c  e.  ( Base `  C ) )
8 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
a  e.  ( Base `  C ) )
91, 2, 3, 6, 7, 8homfeqval 14750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( c ( Hom  `  C ) a )  =  ( c ( Hom  `  D )
a ) )
10 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
11 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
124ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  ( Hom f  `  C
)  =  ( Hom f  `  D ) )
13 monpropd.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
1413ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  (compf `  C )  =  (compf `  D ) )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  c  e.  ( Base `  C )
)
16 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  a  e.  ( Base `  C )
)
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  b  e.  ( Base `  C )
)
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )
19 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )
201, 2, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19comfeqval 14761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )
)  /\  b  e.  ( Base `  C )
)  /\  f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C
) )  /\  g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) )  ->  ( f
( <. c ,  a
>. (comp `  C )
b ) g )  =  ( f (
<. c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) )
219, 20mpteq12dva 4472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  =  ( g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
2221cnveqd 5118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  ->  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) )  =  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) )
2322funeqd 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  /\  c  e.  ( Base `  C ) )  -> 
( Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) ) )
2423ralbidva 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C ) )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  /\  f  e.  ( a
( Hom  `  C ) b ) )  -> 
( A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) ) )
2524rabbidva 3063 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
26 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  a  e.  ( Base `  C
) )
27 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  b  e.  ( Base `  C
) )
281, 2, 3, 5, 26, 27homfeqval 14750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
a ( Hom  `  C
) b )  =  ( a ( Hom  `  D ) b ) )
294homfeqbas 14749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  C
)  =  ( Base `  D ) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )
3130raleqdv 3023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  ( A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) )  <->  A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) ) )
3228, 31rabeqbidv 3067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
3325, 32eqtrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  C
) )  /\  b  e.  ( Base `  C
) )  ->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C )
b )  |  A. c  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
34333impa 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  C )  /\  b  e.  ( Base `  C ) )  ->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) }  =  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )
3534mpt2eq3dva 6254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
36 mpt2eq12 6250 . . . 4  |-  ( ( ( Base `  C
)  =  ( Base `  D )  /\  ( Base `  C )  =  ( Base `  D
) )  ->  (
a  e.  ( Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C
)  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  ( Base `  D
) ,  b  e.  ( Base `  D
)  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } ) )
3729, 29, 36syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  D ) ,  b  e.  ( Base `  D )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
3835, 37eqtrd 2493 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
Base `  C ) ,  b  e.  ( Base `  C )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  C ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  C ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  C )
b ) g ) ) } )  =  ( a  e.  (
Base `  D ) ,  b  e.  ( Base `  D )  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D
) b )  | 
A. c  e.  (
Base `  D ) Fun  `' ( g  e.  ( c ( Hom  `  D ) a ) 
|->  ( f ( <.
c ,  a >.
(comp `  D )
b ) g ) ) } ) )
39 eqid 2452 . . 3  |-  (Mono `  C )  =  (Mono `  C )
40 monpropd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
411, 2, 10, 39, 40monfval 14785 . 2  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  ( a  e.  ( Base `  C
) ,  b  e.  ( Base `  C
)  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  C ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  C
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  C ) b ) g ) ) } ) )
42 eqid 2452 . . 3  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
43 eqid 2452 . . 3  |-  (Mono `  D )  =  (Mono `  D )
44 monpropd.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
4542, 3, 11, 43, 44monfval 14785 . 2  |-  ( ph  ->  (Mono `  D )  =  ( a  e.  ( Base `  D
) ,  b  e.  ( Base `  D
)  |->  { f  e.  ( a ( Hom  `  D ) b )  |  A. c  e.  ( Base `  D
) Fun  `' (
g  e.  ( c ( Hom  `  D
) a )  |->  ( f ( <. c ,  a >. (comp `  D ) b ) g ) ) } ) )
4638, 41, 453eqtr4d 2503 1  |-  ( ph  ->  (Mono `  C )  =  (Mono `  D )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   {crab 2800   <.cop 3986    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4942   Fun wfun 5515   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   Basecbs 14287   Hom chom 14363  compcco 14364   Catccat 14716   Hom f chomf 14718  compfccomf 14719  Monocmon 14781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-homf 14722  df-comf 14723  df-mon 14783
This theorem is referenced by:  oppcepi  14792
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