Theorem monotoddzzfi 35861

Description: A function which is odd and monotonic on NN0 is monotonic on ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monotoddzzfi.1	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
monotoddzzfi.2	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
monotoddzzfi.3	|- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monotoddzzfi	|- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, A, y   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem monotoddzzfi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5879	. . 3 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
2		fveq2 5879	. . 3 |- ( a = A -> ( F ` a ) = ( F ` A ) )
3		fveq2 5879	. . 3 |- ( a = B -> ( F ` a ) = ( F ` B ) )
4		zssre 10968	. . 3 |- ZZ C_ RR
5		eleq1 2537	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. ZZ <-> a e. ZZ ) )
6	5	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ a e. ZZ ) ) )
7		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
8	7	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
9	6, 8	imbi12d 327	. . . 4 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
10		monotoddzzfi.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
11	9, 10	chvarv 2120	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR )
12		elznn 10977	. . . . . . 7 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) ) )
13	12	simprbi 471	. . . . . 6 |- ( a e. ZZ -> ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) )
14		elznn 10977	. . . . . . 7 |- ( b e. ZZ <-> ( b e. RR /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
15	14	simprbi 471	. . . . . 6 |- ( b e. ZZ -> ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) )
16	13, 15	anim12i 576	. . . . 5 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
17	16	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
18		simpll 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ph )
19		nnnn0 10900	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
20	19	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> a e. NN0 )
21		nnnn0 10900	. . . . . . . 8 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
22	21	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
23		vex 3034	. . . . . . . 8 |- a e. _V
24		vex 3034	. . . . . . . 8 |- b e. _V
25		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> x = a )
26	25	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> a e. NN0 ) )
27		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> y = b )
28	27	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
29	26, 28	3anbi23d 1368	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
30		breq12 4400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x < y <-> a < b ) )
31		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
32	7, 31	breqan12d 4411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
33	30, 32	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
34	29, 33	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) ) )
35		monotoddzzfi.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
36	23, 24, 34, 35	vtocl2 3088	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
37	18, 20, 22, 36	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
38	37	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
39	11	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
40	39	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
41		0red 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. RR )
42		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( x e. ZZ <-> b e. ZZ ) )
43	42	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ b e. ZZ ) ) )
44		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( F ` x ) = ( F ` b ) )
45	44	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` b ) e. RR ) )
46	43, 45	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR ) ) )
47	46, 10	chvarv 2120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR )
48	47	adantrl 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
49	48	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
50		0red 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. RR )
51		znegcl 10996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ZZ -> -u a e. ZZ )
52	51	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> -u a e. ZZ )
53		negex 9893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u a e. _V
54		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( x e. ZZ <-> -u a e. ZZ ) )
55	54	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ -u a e. ZZ ) ) )
56		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( F ` x ) = ( F ` -u a ) )
57	56	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` -u a ) e. RR ) )
58	55, 57	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR ) ) )
59	53, 58, 10	vtocl 3086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
60	52, 59	syldan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
61	60	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
62		0z 10972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
63		c0ex 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. _V
64		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x e. ZZ <-> 0 e. ZZ ) )
65	64	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ 0 e. ZZ ) ) )
66		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
67	66	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` 0 ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR ) ) )
69	63, 68, 10	vtocl 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR )
70	62, 69	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. RR )
71	70	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
72		neg0 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 0 = 0
73	72	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` -u 0 ) = ( F ` 0 )
74		negeq 9887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> -u x = -u 0 )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u 0 ) )
76	66	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` 0 ) )
77	75, 76	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) )
78	65, 77	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) ) )
79		monotoddzzfi.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
80	63, 78, 79	vtocl 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
81	62, 80	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
82	73, 81	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
83	71, 82	eqnegad 10351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
84	83	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
85	84	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
86		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u a e. NN -> 0 < -u a )
87	86	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < -u a )
88		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ph )
89		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. NN0 )
91		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> -u a e. NN0 )
92		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> x = 0 )
93	92	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
94		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> y = -u a )
95	94	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
96	93, 95	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
97		breq12 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> 0 < -u a ) )
98	92	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
99	94	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
100	98, 99	breq12d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
101	97, 100	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) )
102	96, 101	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
103	63, 53, 102, 35	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
104	88, 90, 91, 103	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
105	87, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) )
106	85, 105	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < ( F ` -u a ) )
107	50, 61, 106	ltled 9800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
108		0le0 10721	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
109	84	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
110	108, 109	syl5breqr 4432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` 0 ) )
111		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u a = 0 -> ( F ` -u a ) = ( F ` 0 ) )
112	111	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a = 0 -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
113	112	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
114	110, 113	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
115		elnn0 10895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a e. NN0 <-> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
116	115	biimpi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u a e. NN0 -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
117	116	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
118	107, 114, 117	mpjaodan 803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
119		negeq 9887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> -u x = -u a )
120	119	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u a ) )
121	7	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` a ) )
122	120, 121	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) )
123	6, 122	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) ) )
124	123, 79	chvarv 2120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
125	124	adantrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
126	125	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
127	118, 126	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ -u ( F ` a ) )
128	40	le0neg1d 10206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( F ` a ) ) )
129	127, 128	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 0 )
130	84	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
131		nngt0 10660	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> 0 < b )
132	131	ad2antll 743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < b )
133		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ph )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. NN0 )
135	21	ad2antll 743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
136		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> x = 0 )
137	136	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
138		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> y = b )
139	138	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
140	137, 139	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
141		breq12 4400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x < y <-> 0 < b ) )
142	66, 31	breqan12d 4411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
143	141, 142	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) )
144	140, 143	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) ) )
145	63, 24, 144, 35	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
146	133, 134, 135, 145	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
147	132, 146	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) )
148	130, 147	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < ( F ` b ) )
149	40, 41, 49, 129, 148	lelttrd 9810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
150	149	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
151	150	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
152		simp3 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> a < b )
153		zre 10965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
154	153	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. RR )
155	154	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
156		1red 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 e. RR )
157		nnre 10638	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> a e. RR )
158	157	ad2antrl 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
159		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 e. RR )
160		nn0ge0 10919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u b e. NN0 -> 0 <_ -u b )
161	160	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ -u b )
162	155	le0neg1d 10206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ 0 <-> 0 <_ -u b ) )
163	161, 162	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 0 )
164		0le1 10158	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ 1 )
166	155, 159, 156, 163, 165	letrd 9809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 1 )
167		nnge1 10657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> 1 <_ a )
168	167	ad2antrl 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 <_ a )
169	155, 156, 158, 166, 168	letrd 9809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ a )
170	155, 158	lenltd 9798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ a <-> -. a < b ) )
171	169, 170	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> -. a < b )
172	171	3adant3 1050	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> -. a < b )
173	152, 172	pm2.21dd 179	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
174	173	3exp 1230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
175		negex 9893	. . . . . . . . . . . 12 |- -u b e. _V
176		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> x = -u b )
177	176	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> -u b e. NN0 ) )
178		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> y = -u a )
179	178	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
180	177, 179	3anbi23d 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
181		breq12 4400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> -u b < -u a ) )
182		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u b -> ( F ` x ) = ( F ` -u b ) )
183		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = -u a -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
184	182, 183	breqan12d 4411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
185	181, 184	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) )
186	180, 185	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
187	175, 53, 186, 35	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
188	187	3com23 1237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
189	188	3expb 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
190	189	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
191		negeq 9887	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> -u x = -u b )
192	191	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u b ) )
193	44	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` b ) )
194	192, 193	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) )
195	43, 194	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) ) )
196	195, 79	chvarv 2120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
197	196	adantrl 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
198	197	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
199	125	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
200	198, 199	breq12d 4408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
201	190, 200	sylibd 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
202		zre 10965	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
203	202	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. RR )
204	203	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
205	154	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
206	204, 205	ltnegd 10212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b <-> -u b < -u a ) )
207	39	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
208	48	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
209	207, 208	ltnegd 10212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` a ) < ( F ` b ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
210	201, 206, 209	3imtr4d 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
211	210	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
212	38, 151, 174, 211	ccased 962	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
213	17, 212	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
214	1, 2, 3, 4, 11, 213	ltord1 10161	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )
215	214	3impb 1227	1 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   < clt 9693   <_ cle 9694   -ucneg 9881   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962

This theorem is referenced by:  monotoddzz  35862