Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monotoddzzfi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem monotoddzzfi 35790
Description: A function which is odd and monotonic on  NN0 is monotonic on  ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzzfi.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
monotoddzzfi.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u x )  = 
-u ( F `  x ) )
monotoddzzfi.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
Assertion
Ref Expression
monotoddzzfi  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B )
) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, A, y    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem monotoddzzfi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
2 fveq2 5865 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( F `  a )  =  ( F `  A ) )
3 fveq2 5865 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  ( F `  a )  =  ( F `  B ) )
4 zssre 10944 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
5 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
65anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
7 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
87eleq1d 2513 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
96, 8imbi12d 322 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `  a
)  e.  RR ) ) )
10 monotoddzzfi.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
119, 10chvarv 2107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 a )  e.  RR )
12 elznn 10953 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  RR  /\  ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 ) ) )
1312simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )
)
14 elznn 10953 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ZZ  <->  ( b  e.  RR  /\  ( b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 ) ) )
1514simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
)
1613, 15anim12i 570 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
) )
1716adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
) )
18 simpll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ph )
19 nnnn0 10876 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
2019ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
a  e.  NN0 )
21 nnnn0 10876 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
2221ad2antll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
b  e.  NN0 )
23 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
24 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
25 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  x  =  a )
2625eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  e.  NN0  <->  a  e.  NN0 ) )
27 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  y  =  b )
2827eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( y  e.  NN0  <->  b  e.  NN0 ) )
2926, 283anbi23d 1342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
30 breq12 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  <  y  <->  a  <  b ) )
31 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
327, 31breqan12d 4418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y )  <->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) )
3330, 32imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)  <->  ( a  < 
b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) ) )
3429, 33imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) ) )
35 monotoddzzfi.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
3623, 24, 34, 35vtocl2 3102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  < 
b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) )
3718, 20, 22, 36syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
3837ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
3911adantrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
4039adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
41 0red 9644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  e.  RR )
42 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
x  e.  ZZ  <->  b  e.  ZZ ) )
4342anbi2d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  b  e.  ZZ ) ) )
44 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  ( F `  x )  =  ( F `  b ) )
4544eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  b )  e.  RR ) )
4643, 45imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `  b
)  e.  RR ) ) )
4746, 10chvarv 2107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `
 b )  e.  RR )
4847adantrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
4948adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
50 0red 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
51 znegcl 10972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ZZ  ->  -u a  e.  ZZ )
5251ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  -u a  e.  ZZ )
53 negex 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u a  e.  _V
54 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  -u a  e.  ZZ ) )
5554anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  -u a  e.  ZZ ) ) )
56 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  -u a ) )
5756eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  -u a )  e.  RR ) )
5855, 57imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  -u a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR ) ) )
5953, 58, 10vtocl 3100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -u a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR )
6052, 59syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u a
)  e.  RR )
6160ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR )
62 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
63 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  _V
64 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
6564anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  0  e.  ZZ ) ) )
66 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
6766eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  0 )  e.  RR ) )
6865, 67imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `  0
)  e.  RR ) ) )
6963, 68, 10vtocl 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `
 0 )  e.  RR )
7062, 69mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  RR )
7170recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
72 neg0 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 0  =  0
7372fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 -u 0 )  =  ( F `  0
)
74 negeq 9867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  0  ->  -u x  =  -u 0 )
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u 0 ) )
7666negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F ` 
0 ) )
7775, 76eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u 0
)  =  -u ( F `  0 )
) )
7865, 77imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u 0 )  =  -u ( F `  0 ) ) ) )
79 monotoddzzfi.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u x )  = 
-u ( F `  x ) )
8063, 78, 79vtocl 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u 0 )  = 
-u ( F ` 
0 ) )
8162, 80mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  -u 0
)  =  -u ( F `  0 )
)
8273, 81syl5eqr 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  -u ( F `  0 )
)
8371, 82eqnegad 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
8584ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F ` 
0 )  =  0 )
86 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u a  e.  NN  ->  0  <  -u a )
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <  -u a
)
88 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ph )
89 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  e.  NN0 )
91 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  -u a  e.  NN0 )
92 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  x  = 
0 )
9392eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
94 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  y  =  -u a )
9594eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( y  e.  NN0  <->  -u a  e.  NN0 ) )
9693, 953anbi23d 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  -u a  e.  NN0 ) ) )
97 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  <  y  <->  0  <  -u a
) )
9892fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  0 ) )
9994fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  -u a
) )
10098, 99breq12d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y
)  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u a ) ) )
10197, 100imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) )  <->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u a
) ) ) )
10296, 101imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  -u a  e.  NN0 )  ->  (
0  <  -u a  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u a ) ) ) ) )
10363, 53, 102, 35vtocl2 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  -u a  e.  NN0 )  ->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `
 0 )  < 
( F `  -u a
) ) )
10488, 90, 91, 103syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `
 0 )  < 
( F `  -u a
) ) )
10587, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u a ) )
10685, 105eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <  ( F `  -u a ) )
10750, 61, 106ltled 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  -u a ) )
108 0le0 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
10984ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  ( F ` 
0 )  =  0 )
110108, 109syl5breqr 4439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  0  <_  ( F `  0 )
)
111 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u a  =  0  ->  ( F `  -u a
)  =  ( F `
 0 ) )
112111breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u a  =  0  ->  ( 0  <_  ( F `  -u a )  <->  0  <_  ( F `  0 ) ) )
113112adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  -u a
)  <->  0  <_  ( F `  0 )
) )
114110, 113mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  0  <_  ( F `  -u a ) )
115 elnn0 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u a  e.  NN0  <->  ( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
116115biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u a  e.  NN0  ->  ( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
117116ad2antrl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
118107, 114, 117mpjaodan 795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( F `  -u a ) )
119 negeq 9867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  -u x  =  -u a )
120119fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u a ) )
1217negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  a ) )
122120, 121eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
) )
1236, 122imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  =  -u ( F `  a ) ) ) )
124123, 79chvarv 2107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u a )  = 
-u ( F `  a ) )
125124adantrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
126125adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
127118, 126breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <_  -u ( F `
 a ) )
12840le0neg1d 10185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  a )  <_  0  <->  0  <_  -u ( F `  a ) ) )
129127, 128mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  <_  0 )
13084adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
131 nngt0 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  0  <  b )
132131ad2antll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <  b )
133 simpll 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  ->  ph )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  e.  NN0 )
13521ad2antll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
b  e.  NN0 )
136 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  x  =  0 )
137136eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( x  e. 
NN0 
<->  0  e.  NN0 )
)
138 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  y  =  b )
139138eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( y  e. 
NN0 
<->  b  e.  NN0 )
)
140137, 1393anbi23d 1342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
141 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( x  < 
y  <->  0  <  b
) )
14266, 31breqan12d 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( F `
 x )  < 
( F `  y
)  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  b )
) )
143141, 142imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y
) )  <->  ( 0  <  b  ->  ( F `  0 )  <  ( F `  b
) ) ) )
144140, 143imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )  <->  ( ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( 0  <  b  ->  ( F `  0
)  <  ( F `  b ) ) ) ) )
14563, 24, 144, 35vtocl2 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( 0  < 
b  ->  ( F `  0 )  < 
( F `  b
) ) )
146133, 134, 135, 145syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( 0  <  b  ->  ( F `  0
)  <  ( F `  b ) ) )
147132, 146mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  b ) )
148130, 147eqbrtrrd 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <  ( F `  b ) )
14940, 41, 49, 129, 148lelttrd 9793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  <  ( F `  b ) )
150149a1d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
151150ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
152 simp3 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  a  <  b )
153 zre 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
154153adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  RR )
155154ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
156 1red 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
1  e.  RR )
157 nnre 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  RR )
158157ad2antrl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
159 0red 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  e.  RR )
160 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u b  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u b )
161160ad2antll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  <_  -u b )
162155le0neg1d 10185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( b  <_  0  <->  0  <_  -u b ) )
163161, 162mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  0 )
164 0le1 10137 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
165164a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  <_  1 )
166155, 159, 156, 163, 165letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  1 )
167 nnge1 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  1  <_  a )
168167ad2antrl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
1  <_  a )
169155, 156, 158, 166, 168letrd 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  a )
170155, 158lenltd 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( b  <_  a  <->  -.  a  <  b ) )
171169, 170mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  ->  -.  a  <  b )
1721713adant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  -.  a  <  b )
173152, 172pm2.21dd 178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b
) )
1741733exp 1207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
175 negex 9873 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u b  e.  _V
176 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  x  =  -u b )
177176eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  e.  NN0  <->  -u b  e.  NN0 ) )
178 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  y  =  -u a )
179178eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( y  e.  NN0  <->  -u a  e.  NN0 ) )
180177, 1793anbi23d 1342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  (
ph  /\  -u b  e. 
NN0  /\  -u a  e. 
NN0 ) ) )
181 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  <  y  <->  -u b  <  -u a
) )
182 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u b  ->  ( F `  x )  =  ( F `  -u b ) )
183 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u a  ->  ( F `  y )  =  ( F `  -u a ) )
184182, 183breqan12d 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y
)  <->  ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a ) ) )
185181, 184imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) )  <->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a ) ) ) )
186180, 185imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  -u b  e.  NN0  /\  -u a  e.  NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `
 -u b )  < 
( F `  -u a
) ) ) ) )
187175, 53, 186, 35vtocl2 3102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -u b  e. 
NN0  /\  -u a  e. 
NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
1881873com23 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -u a  e. 
NN0  /\  -u b  e. 
NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
1891883expb 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
190189adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
191 negeq 9867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  -u x  =  -u b )
192191fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u b ) )
19344negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  b ) )
194192, 193eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
) )
19543, 194imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u b )  =  -u ( F `  b ) ) ) )
196195, 79chvarv 2107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u b )  = 
-u ( F `  b ) )
197196adantrl 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
)
198197adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
)
199125adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
200198, 199breq12d 4415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a )  <->  -u ( F `  b
)  <  -u ( F `
 a ) ) )
201190, 200sylibd 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  -> 
-u ( F `  b )  <  -u ( F `  a )
) )
202 zre 10941 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
203202ad2antrl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  RR )
204203adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
205154ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
206204, 205ltnegd 10191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( a  <  b  <->  -u b  <  -u a
) )
20739adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
20848adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
209207, 208ltnegd 10191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( ( F `  a )  <  ( F `  b )  <->  -u ( F `  b
)  <  -u ( F `
 a ) ) )
210201, 206, 2093imtr4d 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
211210ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
21238, 151, 174, 211ccased 958 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
)  ->  ( a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) ) )
21317, 212mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
2141, 2, 3, 4, 11, 213ltord1 10140 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B ) ) )
2152143impb 1204 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676   -ucneg 9861   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938
This theorem is referenced by:  monotoddzz  35791
  Copyright terms: Public domain W3C validator