Theorem monotoddzzfi 31117

Description: A function which is odd and monotonic on NN0 is monotonic on ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monotoddzzfi.1	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
monotoddzzfi.2	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
monotoddzzfi.3	|- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monotoddzzfi	|- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, A, y   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem monotoddzzfi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5848	. . 3 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
2		fveq2 5848	. . 3 |- ( a = A -> ( F ` a ) = ( F ` A ) )
3		fveq2 5848	. . 3 |- ( a = B -> ( F ` a ) = ( F ` B ) )
4		zssre 10867	. . 3 |- ZZ C_ RR
5		eleq1 2526	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. ZZ <-> a e. ZZ ) )
6	5	anbi2d 701	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ a e. ZZ ) ) )
7		fveq2 5848	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
8	7	eleq1d 2523	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
9	6, 8	imbi12d 318	. . . 4 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
10		monotoddzzfi.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
11	9, 10	chvarv 2019	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR )
12		elznn 10876	. . . . . . 7 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) ) )
13	12	simprbi 462	. . . . . 6 |- ( a e. ZZ -> ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) )
14		elznn 10876	. . . . . . 7 |- ( b e. ZZ <-> ( b e. RR /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
15	14	simprbi 462	. . . . . 6 |- ( b e. ZZ -> ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) )
16	13, 15	anim12i 564	. . . . 5 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
17	16	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
18		simpll 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ph )
19		nnnn0 10798	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
20	19	ad2antrl 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> a e. NN0 )
21		nnnn0 10798	. . . . . . . 8 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
22	21	ad2antll 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
23		vex 3109	. . . . . . . 8 |- a e. _V
24		vex 3109	. . . . . . . 8 |- b e. _V
25		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> x = a )
26	25	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> a e. NN0 ) )
27		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> y = b )
28	27	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
29	26, 28	3anbi23d 1300	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
30		breq12 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x < y <-> a < b ) )
31		fveq2 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
32	7, 31	breqan12d 4454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
33	30, 32	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
34	29, 33	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) ) )
35		monotoddzzfi.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
36	23, 24, 34, 35	vtocl2 3159	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
37	18, 20, 22, 36	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
38	37	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
39	11	adantrr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
40	39	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
41		0red 9586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. RR )
42		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( x e. ZZ <-> b e. ZZ ) )
43	42	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ b e. ZZ ) ) )
44		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( F ` x ) = ( F ` b ) )
45	44	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` b ) e. RR ) )
46	43, 45	imbi12d 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR ) ) )
47	46, 10	chvarv 2019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR )
48	47	adantrl 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
49	48	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
50		0red 9586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. RR )
51		znegcl 10895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ZZ -> -u a e. ZZ )
52	51	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> -u a e. ZZ )
53		negex 9809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u a e. _V
54		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( x e. ZZ <-> -u a e. ZZ ) )
55	54	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ -u a e. ZZ ) ) )
56		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( F ` x ) = ( F ` -u a ) )
57	56	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` -u a ) e. RR ) )
58	55, 57	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR ) ) )
59	53, 58, 10	vtocl 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
60	52, 59	syldan 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
61	60	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
62		0z 10871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
63		c0ex 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. _V
64		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x e. ZZ <-> 0 e. ZZ ) )
65	64	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ 0 e. ZZ ) ) )
66		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
67	66	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` 0 ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR ) ) )
69	63, 68, 10	vtocl 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR )
70	62, 69	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. RR )
71	70	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
72		neg0 9856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 0 = 0
73	72	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` -u 0 ) = ( F ` 0 )
74		negeq 9803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> -u x = -u 0 )
75	74	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u 0 ) )
76	66	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` 0 ) )
77	75, 76	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) )
78	65, 77	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) ) )
79		monotoddzzfi.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
80	63, 78, 79	vtocl 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
81	62, 80	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
82	73, 81	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
83	71, 82	eqnegad 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
84	83	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
85	84	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
86		nngt0 10560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u a e. NN -> 0 < -u a )
87	86	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < -u a )
88		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ph )
89		0nn0 10806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. NN0 )
91		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> -u a e. NN0 )
92		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> x = 0 )
93	92	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
94		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> y = -u a )
95	94	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
96	93, 95	3anbi23d 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
97		breq12 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> 0 < -u a ) )
98	92	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
99	94	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
100	98, 99	breq12d 4452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
101	97, 100	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) )
102	96, 101	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
103	63, 53, 102, 35	vtocl2 3159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
104	88, 90, 91, 103	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
105	87, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) )
106	85, 105	eqbrtrrd 4461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < ( F ` -u a ) )
107	50, 61, 106	ltled 9722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
108		0le0 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
109	84	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
110	108, 109	syl5breqr 4475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` 0 ) )
111		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u a = 0 -> ( F ` -u a ) = ( F ` 0 ) )
112	111	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a = 0 -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
113	112	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
114	110, 113	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
115		elnn0 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a e. NN0 <-> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
116	115	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u a e. NN0 -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
117	116	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
118	107, 114, 117	mpjaodan 784	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
119		negeq 9803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> -u x = -u a )
120	119	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u a ) )
121	7	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` a ) )
122	120, 121	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) )
123	6, 122	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) ) )
124	123, 79	chvarv 2019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
125	124	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
126	125	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
127	118, 126	breqtrd 4463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ -u ( F ` a ) )
128	40	le0neg1d 10120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( F ` a ) ) )
129	127, 128	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 0 )
130	84	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
131		nngt0 10560	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> 0 < b )
132	131	ad2antll 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < b )
133		simpll 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ph )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. NN0 )
135	21	ad2antll 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
136		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> x = 0 )
137	136	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
138		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> y = b )
139	138	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
140	137, 139	3anbi23d 1300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
141		breq12 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x < y <-> 0 < b ) )
142	66, 31	breqan12d 4454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
143	141, 142	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) )
144	140, 143	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) ) )
145	63, 24, 144, 35	vtocl2 3159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
146	133, 134, 135, 145	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
147	132, 146	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) )
148	130, 147	eqbrtrrd 4461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < ( F ` b ) )
149	40, 41, 49, 129, 148	lelttrd 9729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
150	149	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
151	150	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
152		simp3 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> a < b )
153		zre 10864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
154	153	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. RR )
155	154	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
156		1red 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 e. RR )
157		nnre 10538	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> a e. RR )
158	157	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
159		0red 9586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 e. RR )
160		nn0ge0 10817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u b e. NN0 -> 0 <_ -u b )
161	160	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ -u b )
162	155	le0neg1d 10120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ 0 <-> 0 <_ -u b ) )
163	161, 162	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 0 )
164		0le1 10072	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ 1 )
166	155, 159, 156, 163, 165	letrd 9728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 1 )
167		nnge1 10557	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> 1 <_ a )
168	167	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 <_ a )
169	155, 156, 158, 166, 168	letrd 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ a )
170	155, 158	lenltd 9720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ a <-> -. a < b ) )
171	169, 170	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> -. a < b )
172	171	3adant3 1014	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> -. a < b )
173	152, 172	pm2.21dd 174	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
174	173	3exp 1193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
175		negex 9809	. . . . . . . . . . . 12 |- -u b e. _V
176		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> x = -u b )
177	176	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> -u b e. NN0 ) )
178		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> y = -u a )
179	178	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
180	177, 179	3anbi23d 1300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
181		breq12 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> -u b < -u a ) )
182		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u b -> ( F ` x ) = ( F ` -u b ) )
183		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = -u a -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
184	182, 183	breqan12d 4454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
185	181, 184	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) )
186	180, 185	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
187	175, 53, 186, 35	vtocl2 3159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
188	187	3com23 1200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
189	188	3expb 1195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
190	189	adantlr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
191		negeq 9803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> -u x = -u b )
192	191	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u b ) )
193	44	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` b ) )
194	192, 193	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) )
195	43, 194	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) ) )
196	195, 79	chvarv 2019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
197	196	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
198	197	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
199	125	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
200	198, 199	breq12d 4452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
201	190, 200	sylibd 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
202		zre 10864	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
203	202	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. RR )
204	203	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
205	154	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
206	204, 205	ltnegd 10126	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b <-> -u b < -u a ) )
207	39	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
208	48	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
209	207, 208	ltnegd 10126	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` a ) < ( F ` b ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
210	201, 206, 209	3imtr4d 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
211	210	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
212	38, 151, 174, 211	ccased 945	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
213	17, 212	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
214	1, 2, 3, 4, 11, 213	ltord1 10075	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )
215	214	3impb 1190	1 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   < clt 9617   <_ cle 9618   -ucneg 9797   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861

This theorem is referenced by:  monotoddzz  31118