Theorem monotoddzzfi 35790

Description: A function which is odd and monotonic on NN0 is monotonic on ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monotoddzzfi.1	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
monotoddzzfi.2	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
monotoddzzfi.3	|- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monotoddzzfi	|- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, A, y   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem monotoddzzfi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5865	. . 3 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
2		fveq2 5865	. . 3 |- ( a = A -> ( F ` a ) = ( F ` A ) )
3		fveq2 5865	. . 3 |- ( a = B -> ( F ` a ) = ( F ` B ) )
4		zssre 10944	. . 3 |- ZZ C_ RR
5		eleq1 2517	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. ZZ <-> a e. ZZ ) )
6	5	anbi2d 710	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ a e. ZZ ) ) )
7		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
8	7	eleq1d 2513	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` a ) e. RR ) )
9	6, 8	imbi12d 322	. . . 4 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR ) ) )
10		monotoddzzfi.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR )
11	9, 10	chvarv 2107	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` a ) e. RR )
12		elznn 10953	. . . . . . 7 |- ( a e. ZZ <-> ( a e. RR /\ ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) ) )
13	12	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( a e. ZZ -> ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) )
14		elznn 10953	. . . . . . 7 |- ( b e. ZZ <-> ( b e. RR /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
15	14	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( b e. ZZ -> ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) )
16	13, 15	anim12i 570	. . . . 5 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
17	16	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) )
18		simpll 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ph )
19		nnnn0 10876	. . . . . . . 8 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
20	19	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> a e. NN0 )
21		nnnn0 10876	. . . . . . . 8 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
22	21	ad2antll 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
23		vex 3048	. . . . . . . 8 |- a e. _V
24		vex 3048	. . . . . . . 8 |- b e. _V
25		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> x = a )
26	25	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> a e. NN0 ) )
27		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> y = b )
28	27	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
29	26, 28	3anbi23d 1342	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
30		breq12 4407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x < y <-> a < b ) )
31		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
32	7, 31	breqan12d 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
33	30, 32	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
34	29, 33	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) ) )
35		monotoddzzfi.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) )
36	23, 24, 34, 35	vtocl2 3102	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
37	18, 20, 22, 36	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
38	37	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
39	11	adantrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
40	39	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
41		0red 9644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. RR )
42		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( x e. ZZ <-> b e. ZZ ) )
43	42	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ b e. ZZ ) ) )
44		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( F ` x ) = ( F ` b ) )
45	44	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` b ) e. RR ) )
46	43, 45	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR ) ) )
47	46, 10	chvarv 2107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` b ) e. RR )
48	47	adantrl 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
49	48	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
50		0red 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. RR )
51		znegcl 10972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ZZ -> -u a e. ZZ )
52	51	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> -u a e. ZZ )
53		negex 9873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u a e. _V
54		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( x e. ZZ <-> -u a e. ZZ ) )
55	54	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ -u a e. ZZ ) ) )
56		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = -u a -> ( F ` x ) = ( F ` -u a ) )
57	56	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = -u a -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` -u a ) e. RR ) )
58	55, 57	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR ) ) )
59	53, 58, 10	vtocl 3100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -u a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
60	52, 59	syldan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
61	60	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` -u a ) e. RR )
62		0z 10948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
63		c0ex 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. _V
64		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( x e. ZZ <-> 0 e. ZZ ) )
65	64	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ 0 e. ZZ ) ) )
66		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
67	66	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) e. RR <-> ( F ` 0 ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR ) ) )
69	63, 68, 10	vtocl 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` 0 ) e. RR )
70	62, 69	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. RR )
71	70	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
72		neg0 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 0 = 0
73	72	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` -u 0 ) = ( F ` 0 )
74		negeq 9867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> -u x = -u 0 )
75	74	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u 0 ) )
76	66	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` 0 ) )
77	75, 76	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) )
78	65, 77	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) ) ) )
79		monotoddzzfi.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) )
80	63, 78, 79	vtocl 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ 0 e. ZZ ) -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
81	62, 80	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ` -u 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
82	73, 81	syl5eqr 2499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = -u ( F ` 0 ) )
83	71, 82	eqnegad 10329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = 0 )
84	83	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
85	84	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
86		nngt0 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u a e. NN -> 0 < -u a )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < -u a )
88		simplll 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ph )
89		0nn0 10884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. NN0
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 e. NN0 )
91		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> -u a e. NN0 )
92		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> x = 0 )
93	92	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
94		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> y = -u a )
95	94	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
96	93, 95	3anbi23d 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
97		breq12 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> 0 < -u a ) )
98	92	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
99	94	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
100	98, 99	breq12d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
101	97, 100	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) )
102	96, 101	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = 0 /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
103	63, 53, 102, 35	vtocl2 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
104	88, 90, 91, 103	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( 0 < -u a -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) ) )
105	87, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` -u a ) )
106	85, 105	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 < ( F ` -u a ) )
107	50, 61, 106	ltled 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a e. NN ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
108		0le0 10699	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 0
109	84	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
110	108, 109	syl5breqr 4439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` 0 ) )
111		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u a = 0 -> ( F ` -u a ) = ( F ` 0 ) )
112	111	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a = 0 -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
113	112	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> ( 0 <_ ( F ` -u a ) <-> 0 <_ ( F ` 0 ) ) )
114	110, 113	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) /\ -u a = 0 ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
115		elnn0 10871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u a e. NN0 <-> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
116	115	biimpi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u a e. NN0 -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
117	116	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( -u a e. NN \/ -u a = 0 ) )
118	107, 114, 117	mpjaodan 795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ ( F ` -u a ) )
119		negeq 9867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> -u x = -u a )
120	119	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u a ) )
121	7	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` a ) )
122	120, 121	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) )
123	6, 122	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) ) ) )
124	123, 79	chvarv 2107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
125	124	adantrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
126	125	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
127	118, 126	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 <_ -u ( F ` a ) )
128	40	le0neg1d 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( ( F ` a ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( F ` a ) ) )
129	127, 128	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) <_ 0 )
130	84	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) = 0 )
131		nngt0 10638	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> 0 < b )
132	131	ad2antll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < b )
133		simpll 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ph )
134	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 e. NN0 )
135	21	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> b e. NN0 )
136		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> x = 0 )
137	136	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
138		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> y = b )
139	138	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
140	137, 139	3anbi23d 1342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
141		breq12 4407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( x < y <-> 0 < b ) )
142	66, 31	breqan12d 4418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
143	141, 142	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) )
144	140, 143	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = 0 /\ y = b ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) ) ) )
145	63, 24, 144, 35	vtocl2 3102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
146	133, 134, 135, 145	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( 0 < b -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) ) )
147	132, 146	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` 0 ) < ( F ` b ) )
148	130, 147	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> 0 < ( F ` b ) )
149	40, 41, 49, 129, 148	lelttrd 9793	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
150	149	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
151	150	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ b e. NN ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
152		simp3 1010	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> a < b )
153		zre 10941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
154	153	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> b e. RR )
155	154	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
156		1red 9658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 e. RR )
157		nnre 10616	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> a e. RR )
158	157	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
159		0red 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 e. RR )
160		nn0ge0 10895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u b e. NN0 -> 0 <_ -u b )
161	160	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ -u b )
162	155	le0neg1d 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ 0 <-> 0 <_ -u b ) )
163	161, 162	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 0 )
164		0le1 10137	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 0 <_ 1 )
166	155, 159, 156, 163, 165	letrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ 1 )
167		nnge1 10635	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. NN -> 1 <_ a )
168	167	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> 1 <_ a )
169	155, 156, 158, 166, 168	letrd 9792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> b <_ a )
170	155, 158	lenltd 9781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( b <_ a <-> -. a < b ) )
171	169, 170	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) ) -> -. a < b )
172	171	3adant3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> -. a < b )
173	152, 172	pm2.21dd 178	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) /\ a < b ) -> ( F ` a ) < ( F ` b ) )
174	173	3exp 1207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a e. NN /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
175		negex 9873	. . . . . . . . . . . 12 |- -u b e. _V
176		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> x = -u b )
177	176	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x e. NN0 <-> -u b e. NN0 ) )
178		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> y = -u a )
179	178	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( y e. NN0 <-> -u a e. NN0 ) )
180	177, 179	3anbi23d 1342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) ) )
181		breq12 4407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( x < y <-> -u b < -u a ) )
182		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = -u b -> ( F ` x ) = ( F ` -u b ) )
183		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = -u a -> ( F ` y ) = ( F ` -u a ) )
184	182, 183	breqan12d 4418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( F ` x ) < ( F ` y ) <-> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
185	181, 184	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) <-> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) )
186	180, 185	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = -u b /\ y = -u a ) -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( F ` x ) < ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) ) ) )
187	175, 53, 186, 35	vtocl2 3102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -u b e. NN0 /\ -u a e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
188	187	3com23 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
189	188	3expb 1209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
190	189	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) ) )
191		negeq 9867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> -u x = -u b )
192	191	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( F ` -u x ) = ( F ` -u b ) )
193	44	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> -u ( F ` x ) = -u ( F ` b ) )
194	192, 193	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) <-> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) )
195	43, 194	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( F ` -u x ) = -u ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) ) ) )
196	195, 79	chvarv 2107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ZZ ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
197	196	adantrl 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
198	197	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u b ) = -u ( F ` b ) )
199	125	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` -u a ) = -u ( F ` a ) )
200	198, 199	breq12d 4415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` -u b ) < ( F ` -u a ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
201	190, 200	sylibd 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( -u b < -u a -> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
202		zre 10941	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ZZ -> a e. RR )
203	202	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. RR )
204	203	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> a e. RR )
205	154	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> b e. RR )
206	204, 205	ltnegd 10191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b <-> -u b < -u a ) )
207	39	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` a ) e. RR )
208	48	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
209	207, 208	ltnegd 10191	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( ( F ` a ) < ( F ` b ) <-> -u ( F ` b ) < -u ( F ` a ) ) )
210	201, 206, 209	3imtr4d 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
211	210	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( -u a e. NN0 /\ -u b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
212	38, 151, 174, 211	ccased 958	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( a e. NN \/ -u a e. NN0 ) /\ ( b e. NN \/ -u b e. NN0 ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) ) )
213	17, 212	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a < b -> ( F ` a ) < ( F ` b ) ) )
214	1, 2, 3, 4, 11, 213	ltord1 10140	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )
215	214	3impb 1204	1 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( F ` A ) < ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   < clt 9675   <_ cle 9676   -ucneg 9861   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938

This theorem is referenced by:  monotoddzz  35791