Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monotoddzzfi Structured version   Unicode version

Theorem monotoddzzfi 31117
Description: A function which is odd and monotonic on  NN0 is monotonic on  ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzzfi.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
monotoddzzfi.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u x )  = 
-u ( F `  x ) )
monotoddzzfi.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
Assertion
Ref Expression
monotoddzzfi  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B )
) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, A, y    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem monotoddzzfi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
2 fveq2 5848 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( F `  a )  =  ( F `  A ) )
3 fveq2 5848 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  ( F `  a )  =  ( F `  B ) )
4 zssre 10867 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
5 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
65anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
7 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
87eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  a )  e.  RR ) )
96, 8imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `  a
)  e.  RR ) ) )
10 monotoddzzfi.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
119, 10chvarv 2019 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 a )  e.  RR )
12 elznn 10876 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  RR  /\  ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 ) ) )
1312simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )
)
14 elznn 10876 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ZZ  <->  ( b  e.  RR  /\  ( b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 ) ) )
1514simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
)
1613, 15anim12i 564 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
) )
1716adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
) )
18 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ph )
19 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
2019ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
a  e.  NN0 )
21 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
2221ad2antll 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
b  e.  NN0 )
23 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
24 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
25 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  x  =  a )
2625eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  e.  NN0  <->  a  e.  NN0 ) )
27 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  y  =  b )
2827eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( y  e.  NN0  <->  b  e.  NN0 ) )
2926, 283anbi23d 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
30 breq12 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  <  y  <->  a  <  b ) )
31 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
327, 31breqan12d 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y )  <->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) )
3330, 32imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
)  <->  ( a  < 
b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) ) )
3429, 33imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <  y  ->  ( F `  x
)  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) ) )
35 monotoddzzfi.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )
3623, 24, 34, 35vtocl2 3159 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  < 
b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) )
3718, 20, 22, 36syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
3837ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
3911adantrr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
4039adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
41 0red 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  e.  RR )
42 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
x  e.  ZZ  <->  b  e.  ZZ ) )
4342anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  b  e.  ZZ ) ) )
44 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  ( F `  x )  =  ( F `  b ) )
4544eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  b )  e.  RR ) )
4643, 45imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `  b
)  e.  RR ) ) )
4746, 10chvarv 2019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `
 b )  e.  RR )
4847adantrl 713 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
4948adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
50 0red 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
51 znegcl 10895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ZZ  ->  -u a  e.  ZZ )
5251ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  -u a  e.  ZZ )
53 negex 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u a  e.  _V
54 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  -u a  e.  ZZ ) )
5554anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  -u a  e.  ZZ ) ) )
56 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  -u a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  -u a ) )
5756eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  -u a )  e.  RR ) )
5855, 57imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  -u a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR ) ) )
5953, 58, 10vtocl 3158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -u a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR )
6052, 59syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u a
)  e.  RR )
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F `  -u a )  e.  RR )
62 0z 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
63 c0ex 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  _V
64 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
6564anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  0  e.  ZZ ) ) )
66 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
6766eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  0 )  e.  RR ) )
6865, 67imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `  0
)  e.  RR ) ) )
6963, 68, 10vtocl 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `
 0 )  e.  RR )
7062, 69mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  RR )
7170recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
72 neg0 9856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 0  =  0
7372fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 -u 0 )  =  ( F `  0
)
74 negeq 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  0  ->  -u x  =  -u 0 )
7574fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u 0 ) )
7666negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F ` 
0 ) )
7775, 76eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u 0
)  =  -u ( F `  0 )
) )
7865, 77imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u 0 )  =  -u ( F `  0 ) ) ) )
79 monotoddzzfi.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u x )  = 
-u ( F `  x ) )
8063, 78, 79vtocl 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u 0 )  = 
-u ( F ` 
0 ) )
8162, 80mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  -u 0
)  =  -u ( F `  0 )
)
8273, 81syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  -u ( F `  0 )
)
8371, 82eqnegad 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  0 )
8483adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F ` 
0 )  =  0 )
86 nngt0 10560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u a  e.  NN  ->  0  <  -u a )
8786adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <  -u a
)
88 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ph )
89 0nn0 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  e.  NN0 )
91 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  -u a  e.  NN0 )
92 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  x  = 
0 )
9392eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
94 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  y  =  -u a )
9594eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( y  e.  NN0  <->  -u a  e.  NN0 ) )
9693, 953anbi23d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  -u a  e.  NN0 ) ) )
97 breq12 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  <  y  <->  0  <  -u a
) )
9892fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  0 ) )
9994fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( F `  y )  =  ( F `  -u a
) )
10098, 99breq12d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y
)  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u a ) ) )
10197, 100imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) )  <->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u a
) ) ) )
10296, 101imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  -u a  e.  NN0 )  ->  (
0  <  -u a  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u a ) ) ) ) )
10363, 53, 102, 35vtocl2 3159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  -u a  e.  NN0 )  ->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `
 0 )  < 
( F `  -u a
) ) )
10488, 90, 91, 103syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( 0  <  -u a  ->  ( F `
 0 )  < 
( F `  -u a
) ) )
10587, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u a ) )
10685, 105eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <  ( F `  -u a ) )
10750, 61, 106ltled 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  -u a ) )
108 0le0 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
10984ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  ( F ` 
0 )  =  0 )
110108, 109syl5breqr 4475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  0  <_  ( F `  0 )
)
111 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u a  =  0  ->  ( F `  -u a
)  =  ( F `
 0 ) )
112111breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u a  =  0  ->  ( 0  <_  ( F `  -u a )  <->  0  <_  ( F `  0 ) ) )
113112adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  -u a
)  <->  0  <_  ( F `  0 )
) )
114110, 113mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  /\  -u a  =  0 )  ->  0  <_  ( F `  -u a ) )
115 elnn0 10793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u a  e.  NN0  <->  ( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
116115biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u a  e.  NN0  ->  ( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
117116ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( -u a  e.  NN  \/  -u a  =  0 ) )
118107, 114, 117mpjaodan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <_  ( F `  -u a ) )
119 negeq 9803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  -u x  =  -u a )
120119fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u a ) )
1217negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  a ) )
122120, 121eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
) )
1236, 122imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u a )  =  -u ( F `  a ) ) ) )
124123, 79chvarv 2019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u a )  = 
-u ( F `  a ) )
125124adantrr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
126125adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
127118, 126breqtrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <_  -u ( F `
 a ) )
12840le0neg1d 10120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  a )  <_  0  <->  0  <_  -u ( F `  a ) ) )
129127, 128mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  <_  0 )
13084adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
131 nngt0 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  0  <  b )
132131ad2antll 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <  b )
133 simpll 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  ->  ph )
13489a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  e.  NN0 )
13521ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
b  e.  NN0 )
136 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  x  =  0 )
137136eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( x  e. 
NN0 
<->  0  e.  NN0 )
)
138 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  y  =  b )
139138eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( y  e. 
NN0 
<->  b  e.  NN0 )
)
140137, 1393anbi23d 1300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
141 breq12 4444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( x  < 
y  <->  0  <  b
) )
14266, 31breqan12d 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( F `
 x )  < 
( F `  y
)  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  b )
) )
143141, 142imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y
) )  <->  ( 0  <  b  ->  ( F `  0 )  <  ( F `  b
) ) ) )
144140, 143imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  b )  ->  ( ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y )
) )  <->  ( ( ph  /\  0  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( 0  <  b  ->  ( F `  0
)  <  ( F `  b ) ) ) ) )
14563, 24, 144, 35vtocl2 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( 0  < 
b  ->  ( F `  0 )  < 
( F `  b
) ) )
146133, 134, 135, 145syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( 0  <  b  ->  ( F `  0
)  <  ( F `  b ) ) )
147132, 146mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  b ) )
148130, 147eqbrtrrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
0  <  ( F `  b ) )
14940, 41, 49, 129, 148lelttrd 9729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( F `  a
)  <  ( F `  b ) )
150149a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
151150ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u a  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
152 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  a  <  b )
153 zre 10864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
154153adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  RR )
155154ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
156 1red 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
1  e.  RR )
157 nnre 10538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  RR )
158157ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
159 0red 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  e.  RR )
160 nn0ge0 10817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u b  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u b )
161160ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  <_  -u b )
162155le0neg1d 10120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( b  <_  0  <->  0  <_  -u b ) )
163161, 162mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  0 )
164 0le1 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
165164a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
0  <_  1 )
166155, 159, 156, 163, 165letrd 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  1 )
167 nnge1 10557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  ->  1  <_  a )
168167ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
1  <_  a )
169155, 156, 158, 166, 168letrd 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  <_  a )
170155, 158lenltd 9720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( b  <_  a  <->  -.  a  <  b ) )
171169, 170mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 ) )  ->  -.  a  <  b )
1721713adant3 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  -.  a  <  b )
173152, 172pm2.21dd 174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  /\  a  <  b )  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b
) )
1741733exp 1193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  e.  NN  /\  -u b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
175 negex 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u b  e.  _V
176 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  x  =  -u b )
177176eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  e.  NN0  <->  -u b  e.  NN0 ) )
178 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  y  =  -u a )
179178eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( y  e.  NN0  <->  -u a  e.  NN0 ) )
180177, 1793anbi23d 1300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  <->  (
ph  /\  -u b  e. 
NN0  /\  -u a  e. 
NN0 ) ) )
181 breq12 4444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( x  <  y  <->  -u b  <  -u a
) )
182 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u b  ->  ( F `  x )  =  ( F `  -u b ) )
183 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u a  ->  ( F `  y )  =  ( F `  -u a ) )
184182, 183breqan12d 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( ( F `  x )  <  ( F `  y
)  <->  ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a ) ) )
185181, 184imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) )  <->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a ) ) ) )
186180, 185imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  -u b  /\  y  =  -u a
)  ->  ( (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( F `  x )  <  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  -u b  e.  NN0  /\  -u a  e.  NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `
 -u b )  < 
( F `  -u a
) ) ) ) )
187175, 53, 186, 35vtocl2 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -u b  e. 
NN0  /\  -u a  e. 
NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
1881873com23 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -u a  e. 
NN0  /\  -u b  e. 
NN0 )  ->  ( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
1891883expb 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
190189adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  ->  ( F `  -u b
)  <  ( F `  -u a ) ) )
191 negeq 9803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  -u x  =  -u b )
192191fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  ( F `  -u x )  =  ( F `  -u b ) )
19344negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  -u ( F `  x )  =  -u ( F `  b ) )
194192, 193eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )  <->  ( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
) )
19543, 194imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u x
)  =  -u ( F `  x )
)  <->  ( ( ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u b )  =  -u ( F `  b ) ) ) )
196195, 79chvarv 2019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( F `
 -u b )  = 
-u ( F `  b ) )
197196adantrl 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
)
198197adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  -u b
)  =  -u ( F `  b )
)
199125adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  -u a
)  =  -u ( F `  a )
)
200198, 199breq12d 4452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( ( F `  -u b )  <  ( F `  -u a )  <->  -u ( F `  b
)  <  -u ( F `
 a ) ) )
201190, 200sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( -u b  <  -u a  -> 
-u ( F `  b )  <  -u ( F `  a )
) )
202 zre 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
203202ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  RR )
204203adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
a  e.  RR )
205154ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
b  e.  RR )
206204, 205ltnegd 10126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( a  <  b  <->  -u b  <  -u a
) )
20739adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  a
)  e.  RR )
20848adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( F `  b
)  e.  RR )
209207, 208ltnegd 10126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( ( F `  a )  <  ( F `  b )  <->  -u ( F `  b
)  <  -u ( F `
 a ) ) )
210201, 206, 2093imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
211210ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u a  e.  NN0  /\  -u b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b ) ) ) )
21238, 151, 174, 211ccased 945 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a  e.  NN  \/  -u a  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  NN  \/  -u b  e.  NN0 )
)  ->  ( a  <  b  ->  ( F `  a )  <  ( F `  b )
) ) )
21317, 212mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( a  <  b  ->  ( F `  a
)  <  ( F `  b ) ) )
2141, 2, 3, 4, 11, 213ltord1 10075 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B ) ) )
2152143impb 1190 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( F `  A )  <  ( F `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618   -ucneg 9797   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  monotoddzz  31118
  Copyright terms: Public domain W3C validator