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Theorem monotoddzz 31044
Description: A function (given implicitly) which is odd and monotonic on  NN0 is monotonic on  ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzz.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  E  <  F ) )
monotoddzz.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )
monotoddzz.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  = 
-u F )
monotoddzz.4  |-  ( x  =  A  ->  E  =  C )
monotoddzz.5  |-  ( x  =  B  ->  E  =  D )
monotoddzz.6  |-  ( x  =  y  ->  E  =  F )
monotoddzz.7  |-  ( x  =  -u y  ->  E  =  G )
Assertion
Ref Expression
monotoddzz  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  C  <  D ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, A, y    x, B, y    y, E    x, C, y    x, D, y   
x, F    x, G
Allowed substitution hints:    E( x)    F( y)    G( y)

Proof of Theorem monotoddzz
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1715 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  ZZ )
2 nffvmpt1 5782 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )
32nfel1 2560 . . . . 5  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR
41, 3nfim 1928 . . . 4  |-  F/ x
( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR )
5 eleq1 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
65anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
7 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a ) )
87eleq1d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
)  e.  RR ) )
96, 8imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR ) ) )
10 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
11 monotoddzz.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )
12 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  |->  E )  =  ( x  e.  ZZ  |->  E )
1312fvmpt2 5865 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
1410, 11, 13syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
1514, 11eqeltrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  e.  RR )
164, 9, 15chvar 2020 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  e.  RR )
17 eleq1 2454 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  ZZ  <->  a  e.  ZZ ) )
1817anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( ph  /\  y  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  a  e.  ZZ ) ) )
19 negeq 9725 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  -u y  =  -u a )
2019fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
) )
21 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a ) )
2221negeqd 9727 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) )
2320, 22eqeq12d 2404 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y )  =  -u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  <->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) ) )
2418, 23imbi12d 318 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y )  =  -u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) )  <->  ( ( ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 -u a )  = 
-u ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 a ) ) ) )
25 monotoddzz.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  = 
-u F )
26 znegcl 10816 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
2726adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  -u y  e.  ZZ )
28 negex 9731 . . . . . . . 8  |-  -u y  e.  _V
29 eleq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  e.  ZZ  <->  -u y  e.  ZZ ) )
3029anbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  -u y  e.  ZZ ) ) )
31 monotoddzz.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  E  =  G )
3231eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( E  e.  RR  <->  G  e.  RR ) )
3330, 32imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR ) ) )
3428, 33, 11vtocl 3086 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -u y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR )
3526, 34sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  G  e.  RR )
3631, 12fvmptg 5855 . . . . . 6  |-  ( (
-u y  e.  ZZ  /\  G  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 -u y )  =  G )
3727, 35, 36syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  G )
38 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
39 eleq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ZZ  <->  y  e.  ZZ ) )
4039anbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  y  e.  ZZ ) ) )
41 monotoddzz.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  E  =  F )
4241eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  RR  <->  F  e.  RR ) )
4340, 42imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  F  e.  RR ) ) )
4443, 11chvarv 2021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  F  e.  RR )
4541, 12fvmptg 5855 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  F  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
4638, 44, 45syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
4746negeqd 9727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  -u F
)
4825, 37, 473eqtr4d 2433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u y
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
) )
4924, 48chvarv 2021 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  -u a
)  =  -u (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
) )
50 nfv 1715 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e. 
NN0 )
51 nfv 1715 . . . . . 6  |-  F/ x  a  <  b
52 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
53 nffvmpt1 5782 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b )
542, 52, 53nfbr 4411 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
)
5551, 54nfim 1928 . . . . 5  |-  F/ x
( a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) )
5650, 55nfim 1928 . . . 4  |-  F/ x
( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
57 eleq1 2454 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  NN0  <->  a  e.  NN0 ) )
58573anbi2d 1302 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e. 
NN0 )  <->  ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
59 breq1 4370 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <  b  <->  a  <  b ) )
607breq1d 4377 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
)  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 a )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
6159, 60imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) )  <->  ( a  <  b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) ) )
6258, 61imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )  <->  ( ( ph  /\  a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) ) ) ) )
63 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
y  e.  NN0  <->  b  e.  NN0 ) )
64633anbi3d 1303 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e. 
NN0 )  <->  ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) ) )
65 breq2 4371 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
x  <  y  <->  x  <  b ) )
66 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) )
6766breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
)  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 x )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b ) ) )
6865, 67imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( x  <  y  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y
) )  <->  ( x  <  b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) ) )
6964, 68imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  ->  (
x  <  y  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  <  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( x  <  b  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  b
) ) ) ) )
70 monotoddzz.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  E  <  F ) )
71 nn0z 10804 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
7271, 14sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )
73723adant3 1014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 x )  =  E )
74 nfv 1715 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  NN0 )
75 nffvmpt1 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )
7675nfeq1 2559 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F
7774, 76nfim 1928 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
78 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
7978anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  y  e.  NN0 )
) )
80 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y ) )
8180, 41eqeq12d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E  <-> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F ) )
8279, 81imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  =  E )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F ) ) )
8377, 82, 72chvar 2020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  y )  =  F )
84833adant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y )  =  F )
8573, 84breq12d 4380 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y )  <->  E  <  F ) )
8670, 85sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  y  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
y  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 y ) ) )
8769, 86chvarv 2021 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( x  < 
b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  x )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) )
8856, 62, 87chvar 2020 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN0 
/\  b  e.  NN0 )  ->  ( a  < 
b  ->  ( (
x  e.  ZZ  |->  E ) `  a )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 b ) ) )
8916, 49, 88monotoddzzfi 31043 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 A )  < 
( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  B ) ) )
90 simp2 995 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
91 eleq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
9291anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  A  e.  ZZ ) ) )
93 monotoddzz.4 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  E  =  C )
9493eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( E  e.  RR  <->  C  e.  RR ) )
9592, 94imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR ) ) )
9695, 11vtoclg 3092 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR ) )
9796anabsi7 817 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
98973adant3 1014 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
9993, 12fvmptg 5855 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  A )  =  C )
10090, 98, 99syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 A )  =  C )
101 simp3 996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
102 eleq1 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ZZ  <->  B  e.  ZZ ) )
103102anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
( ph  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ph  /\  B  e.  ZZ ) ) )
104 monotoddzz.5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  E  =  D )
105104eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( E  e.  RR  <->  D  e.  RR ) )
106103, 105imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  E  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR ) ) )
107106, 11vtoclg 3092 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR ) )
108107anabsi7 817 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
1091083adant2 1013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
110104, 12fvmptg 5855 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  B )  =  D )
111101, 109, 110syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 B )  =  D )
112100, 111breq12d 4380 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `  A )  <  ( ( x  e.  ZZ  |->  E ) `
 B )  <->  C  <  D ) )
11389, 112bitrd 253 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  < 
B  <->  C  <  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   RRcr 9402    < clt 9539   -ucneg 9719   NN0cn0 10712   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782
This theorem is referenced by:  ltrmy  31055
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