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Theorem monoords 37602
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoords.flt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
monoords.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
monoords.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
monoords.iltj  |-  ( ph  ->  I  <  J )
Assertion
Ref Expression
monoords  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, I    k, J    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoords
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
21ancli 560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) ) )
3 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  I  e.  ( M ... N ) ) )
43anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) ) ) )
5 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
65eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  I )  e.  RR ) )
74, 6imbi12d 327 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR ) ) )
8 monoords.fk . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
97, 8vtoclg 3093 . . 3  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  I )  e.  RR ) )
101, 2, 9sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  e.  RR )
11 elfzel1 11825 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 elfzelz 11826 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  I  e.  ZZ )
141, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
15 elfzle1 11828 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  I )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  I )
17 eluz2 11188 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  M  <_  I ) )
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ZZ>= `  M ) )
19 elfzuz2 11830 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
201, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
21 eluzelz 11192 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2220, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2314zred 11063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
24 monoords.j . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
25 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  e.  ZZ )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
2726zred 11063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
2822zred 11063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
29 monoords.iltj . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  <  J )
30 elfzle2 11829 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  <_  N )
3124, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  <_  N )
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 9812 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  <  N )
33 elfzo2 11950 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  I  <  N ) )
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1214 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M..^ N ) )
35 fzofzp1 12037 . . . 4  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3634, 35syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
3736ancli 560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
38 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
3938anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
40 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
4140eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4239, 41imbi12d 327 . . . 4  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( I  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( I  +  1
) )  e.  RR ) ) )
4342, 8vtoclg 3093 . . 3  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4436, 37, 43sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
4524ancli 560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) ) )
46 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  J  e.  ( M ... N ) ) )
4746anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) ) ) )
48 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  ( F `  k )  =  ( F `  J ) )
4948eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5047, 49imbi12d 327 . . . 4  |-  ( k  =  J  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  J
)  e.  RR ) ) )
5150, 8vtoclg 3093 . . 3  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5224, 45, 51sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  J
)  e.  RR )
5334ancli 560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) )
54 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M..^ N )  <->  I  e.  ( M..^ N ) ) )
5554anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) ) )
56 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  (
k  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
5756fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
585, 57breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
5955, 58imbi12d 327 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
60 monoords.flt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6159, 60vtoclg 3093 . . 3  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
6234, 53, 61sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) )
6314peano2zd 11066 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
64 zltp1le 11010 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6514, 26, 64syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6629, 65mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  J )
67 eluz2 11188 . . . 4  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6863, 26, 66, 67syl3anbrc 1214 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
6912adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  ZZ )
7022adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  ZZ )
71 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  e.  ZZ )
7271adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
7369, 70, 723jca 1210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
7469zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  RR )
7572zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  RR )
7663zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
7776adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7823adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  e.  RR )
7916adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  I )
8078ltp1d 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
8174, 78, 77, 79, 80lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
82 elfzle1 11828 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8382adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8474, 77, 75, 81, 83ltletrd 9812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  k )
8574, 75, 84ltled 9800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  k )
8627adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  e.  RR )
8770zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  RR )
88 elfzle2 11829 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  <_  J )
8988adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  J )
9031adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  <_  N )
9175, 86, 87, 89, 90letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  N )
9273, 85, 91jca32 544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
93 elfz2 11817 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
9492, 93sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
9594, 8syldan 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9612adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
9722adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
98 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9998adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10096, 97, 993jca 1210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
10196zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
10299zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
10376adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
10412zred 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10523ltp1d 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
106104, 23, 76, 16, 105lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
108 elfzle1 11828 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
109108adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
110101, 103, 102, 107, 109ltletrd 9812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  k )
111101, 102, 110ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
11297zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
113 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  RR  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
11427, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
115114adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
116 elfzle2 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
117116adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
11827adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  RR )
119118ltm1d 10561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  J )
12031adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  <_  N )
121115, 118, 112, 119, 120ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  N )
122102, 115, 112, 117, 121lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <  N )
123102, 112, 122ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  N )
124100, 111, 123jca32 544 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
125124, 93sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
126125, 8syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
127 peano2zm 11004 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12897, 127syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12996, 128, 993jca 1210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
130128zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
131 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13227, 28, 131, 31lesub1dd 10250 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
133132adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  - 
1 ) )
134102, 115, 130, 117, 133letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
135129, 111, 134jca32 544 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
136 elfz2 11817 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
137135, 136sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
138 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
139 fzoval 11948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
14022, 139syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
141140eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
142141adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
143138, 142eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
144 fzofzp1 12037 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
145143, 144syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
146 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ph )
147146, 145jca 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
148 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  e.  ( M ... N )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
149148anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
150 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
151150eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  e.  RR  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
152149, 151imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
153 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  j  e.  ( M ... N ) ) )
154153anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) ) ) )
155 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
156155eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  j )  e.  RR ) )
157154, 156imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR ) ) )
158157, 8chvarv 2120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
159152, 158vtoclg 3093 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
160145, 147, 159sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
161137, 160syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
162143, 60syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
163137, 162syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
164126, 161, 163ltled 9800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
16568, 95, 164monoord 12281 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  <_  ( F `  J ) )
16610, 44, 52, 62, 165ltletrd 9812 1  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943
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