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Theorem monoords 37514
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoords.flt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
monoords.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
monoords.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
monoords.iltj  |-  ( ph  ->  I  <  J )
Assertion
Ref Expression
monoords  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, I    k, J    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoords
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
21ancli 554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) ) )
3 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  I  e.  ( M ... N ) ) )
43anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) ) ) )
5 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
65eleq1d 2513 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  I )  e.  RR ) )
74, 6imbi12d 322 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR ) ) )
8 monoords.fk . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
97, 8vtoclg 3107 . . 3  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  I )  e.  RR ) )
101, 2, 9sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  e.  RR )
11 elfzel1 11799 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 elfzelz 11800 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  I  e.  ZZ )
141, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
15 elfzle1 11802 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  I )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  I )
17 eluz2 11165 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  M  <_  I ) )
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ZZ>= `  M ) )
19 elfzuz2 11804 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
201, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
21 eluzelz 11168 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2220, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2314zred 11040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
24 monoords.j . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
25 elfzelz 11800 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  e.  ZZ )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
2726zred 11040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
2822zred 11040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
29 monoords.iltj . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  <  J )
30 elfzle2 11803 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  <_  N )
3124, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  <_  N )
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 9795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  <  N )
33 elfzo2 11923 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  I  <  N ) )
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1192 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M..^ N ) )
35 fzofzp1 12008 . . . 4  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3634, 35syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
3736ancli 554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
38 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
3938anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
40 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
4140eleq1d 2513 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4239, 41imbi12d 322 . . . 4  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( I  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( I  +  1
) )  e.  RR ) ) )
4342, 8vtoclg 3107 . . 3  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4436, 37, 43sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
4524ancli 554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) ) )
46 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  J  e.  ( M ... N ) ) )
4746anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) ) ) )
48 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  ( F `  k )  =  ( F `  J ) )
4948eleq1d 2513 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5047, 49imbi12d 322 . . . 4  |-  ( k  =  J  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  J
)  e.  RR ) ) )
5150, 8vtoclg 3107 . . 3  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5224, 45, 51sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  J
)  e.  RR )
5334ancli 554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) )
54 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M..^ N )  <->  I  e.  ( M..^ N ) ) )
5554anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) ) )
56 oveq1 6297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  (
k  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
5756fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
585, 57breq12d 4415 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
5955, 58imbi12d 322 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
60 monoords.flt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6159, 60vtoclg 3107 . . 3  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
6234, 53, 61sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) )
6314peano2zd 11043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
64 zltp1le 10986 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6514, 26, 64syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6629, 65mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  J )
67 eluz2 11165 . . . 4  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6863, 26, 66, 67syl3anbrc 1192 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
6912adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  ZZ )
7022adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  ZZ )
71 elfzelz 11800 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  e.  ZZ )
7271adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
7369, 70, 723jca 1188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
7469zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  RR )
7572zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  RR )
7663zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
7776adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7823adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  e.  RR )
7916adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  I )
8078ltp1d 10537 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
8174, 78, 77, 79, 80lelttrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
82 elfzle1 11802 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8382adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8474, 77, 75, 81, 83ltletrd 9795 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  k )
8574, 75, 84ltled 9783 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  k )
8627adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  e.  RR )
8770zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  RR )
88 elfzle2 11803 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  <_  J )
8988adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  J )
9031adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  <_  N )
9175, 86, 87, 89, 90letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  N )
9273, 85, 91jca32 538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
93 elfz2 11791 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
9492, 93sylibr 216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
9594, 8syldan 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9612adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
9722adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
98 elfzelz 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9998adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10096, 97, 993jca 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
10196zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
10299zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
10376adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
10412zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10523ltp1d 10537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
106104, 23, 76, 16, 105lelttrd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
107106adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
108 elfzle1 11802 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
109108adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
110101, 103, 102, 107, 109ltletrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  k )
111101, 102, 110ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
11297zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
113 peano2rem 9941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  RR  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
11427, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
115114adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
116 elfzle2 11803 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
117116adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
11827adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  RR )
119118ltm1d 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  J )
12031adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  <_  N )
121115, 118, 112, 119, 120ltletrd 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  N )
122102, 115, 112, 117, 121lelttrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <  N )
123102, 112, 122ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  N )
124100, 111, 123jca32 538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
125124, 93sylibr 216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
126125, 8syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
127 peano2zm 10980 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12897, 127syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12996, 128, 993jca 1188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
130128zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
131 1red 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13227, 28, 131, 31lesub1dd 10229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
133132adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  - 
1 ) )
134102, 115, 130, 117, 133letrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
135129, 111, 134jca32 538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
136 elfz2 11791 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
137135, 136sylibr 216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
138 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
139 fzoval 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
14022, 139syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
141140eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
142141adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
143138, 142eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
144 fzofzp1 12008 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
145143, 144syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
146 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ph )
147146, 145jca 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
148 eleq1 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  e.  ( M ... N )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
149148anbi2d 710 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
150 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
151150eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  e.  RR  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
152149, 151imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
153 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  j  e.  ( M ... N ) ) )
154153anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) ) ) )
155 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
156155eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  j )  e.  RR ) )
157154, 156imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR ) ) )
158157, 8chvarv 2107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
159152, 158vtoclg 3107 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
160145, 147, 159sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
161137, 160syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
162143, 60syldan 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
163137, 162syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
164126, 161, 163ltled 9783 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
16568, 95, 164monoord 12243 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  <_  ( F `  J ) )
16610, 44, 52, 62, 165ltletrd 9795 1  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916
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