Theorem monoords 31450

Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoords.fk	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoords.flt	|- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
monoords.i	|- ( ph -> I e. ( M ... N ) )
monoords.j	|- ( ph -> J e. ( M ... N ) )
monoords.iltj	|- ( ph -> I < J )

Assertion

Ref	Expression
monoords	|- ( ph -> ( F ` I ) < ( F ` J ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, I   k, J   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoords

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoords.i	. . 3 |- ( ph -> I e. ( M ... N ) )
2	1	ancli 551	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ I e. ( M ... N ) ) )
3		eleq1 2515	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( k e. ( M ... N ) <-> I e. ( M ... N ) ) )
4	3	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( k = I -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ I e. ( M ... N ) ) ) )
5		fveq2 5856	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( F ` k ) = ( F ` I ) )
6	5	eleq1d 2512	. . . . 5 |- ( k = I -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` I ) e. RR ) )
7	4, 6	imbi12d 320	. . . 4 |- ( k = I -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ I e. ( M ... N ) ) -> ( F ` I ) e. RR ) ) )
8		monoords.fk	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
9	7, 8	vtoclg 3153	. . 3 |- ( I e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ I e. ( M ... N ) ) -> ( F ` I ) e. RR ) )
10	1, 2, 9	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` I ) e. RR )
11		elfzel1 11698	. . . . . . 7 |- ( I e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
12	1, 11	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
13		elfzelz 11699	. . . . . . 7 |- ( I e. ( M ... N ) -> I e. ZZ )
14	1, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
15		elfzle1 11700	. . . . . . 7 |- ( I e. ( M ... N ) -> M <_ I )
16	1, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ I )
17		eluz2 11098	. . . . . 6 |- ( I e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ I e. ZZ /\ M <_ I ) )
18	12, 14, 16, 17	syl3anbrc 1181	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( ZZ>= ` M ) )
19		elfzuz2 11702	. . . . . . 7 |- ( I e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
20	1, 19	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
21		eluzelz 11101	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
22	20, 21	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
23	14	zred 10976	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. RR )
24		monoords.j	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( M ... N ) )
25		elfzelz 11699	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( M ... N ) -> J e. ZZ )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ZZ )
27	26	zred 10976	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. RR )
28	22	zred 10976	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
29		monoords.iltj	. . . . . 6 |- ( ph -> I < J )
30		elfzle2 11701	. . . . . . 7 |- ( J e. ( M ... N ) -> J <_ N )
31	24, 30	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J <_ N )
32	23, 27, 28, 29, 31	ltletrd 9745	. . . . 5 |- ( ph -> I < N )
33		elfzo2 11814	. . . . 5 |- ( I e. ( M..^ N ) <-> ( I e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ I < N ) )
34	18, 22, 32, 33	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( M..^ N ) )
35		fzofzp1 11891	. . . 4 |- ( I e. ( M..^ N ) -> ( I + 1 ) e. ( M ... N ) )
36	34, 35	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( M ... N ) )
37	36	ancli 551	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ ( I + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
38		eleq1 2515	. . . . . 6 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( I + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
39	38	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( I + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
40		fveq2 5856	. . . . . 6 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( I + 1 ) ) )
41	40	eleq1d 2512	. . . . 5 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( I + 1 ) ) e. RR ) )
42	39, 41	imbi12d 320	. . . 4 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( I + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( I + 1 ) ) e. RR ) ) )
43	42, 8	vtoclg 3153	. . 3 |- ( ( I + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( I + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( I + 1 ) ) e. RR ) )
44	36, 37, 43	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( I + 1 ) ) e. RR )
45	24	ancli 551	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ J e. ( M ... N ) ) )
46		eleq1 2515	. . . . . 6 |- ( k = J -> ( k e. ( M ... N ) <-> J e. ( M ... N ) ) )
47	46	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( k = J -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( M ... N ) ) ) )
48		fveq2 5856	. . . . . 6 |- ( k = J -> ( F ` k ) = ( F ` J ) )
49	48	eleq1d 2512	. . . . 5 |- ( k = J -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` J ) e. RR ) )
50	47, 49	imbi12d 320	. . . 4 |- ( k = J -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ J e. ( M ... N ) ) -> ( F ` J ) e. RR ) ) )
51	50, 8	vtoclg 3153	. . 3 |- ( J e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ J e. ( M ... N ) ) -> ( F ` J ) e. RR ) )
52	24, 45, 51	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` J ) e. RR )
53	34	ancli 551	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ I e. ( M..^ N ) ) )
54		eleq1 2515	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( k e. ( M..^ N ) <-> I e. ( M..^ N ) ) )
55	54	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( k = I -> ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) <-> ( ph /\ I e. ( M..^ N ) ) ) )
56		oveq1 6288	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( k + 1 ) = ( I + 1 ) )
57	56	fveq2d 5860	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( I + 1 ) ) )
58	5, 57	breq12d 4450	. . . . 5 |- ( k = I -> ( ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` I ) < ( F ` ( I + 1 ) ) ) )
59	55, 58	imbi12d 320	. . . 4 |- ( k = I -> ( ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ I e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` I ) < ( F ` ( I + 1 ) ) ) ) )
60		monoords.flt	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
61	59, 60	vtoclg 3153	. . 3 |- ( I e. ( M..^ N ) -> ( ( ph /\ I e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` I ) < ( F ` ( I + 1 ) ) ) )
62	34, 53, 61	sylc 60	. 2 |- ( ph -> ( F ` I ) < ( F ` ( I + 1 ) ) )
63	14	peano2zd 10979	. . . 4 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ZZ )
64		zltp1le 10920	. . . . . 6 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( I < J <-> ( I + 1 ) <_ J ) )
65	14, 26, 64	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( I < J <-> ( I + 1 ) <_ J ) )
66	29, 65	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( I + 1 ) <_ J )
67		eluz2 11098	. . . 4 |- ( J e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) <-> ( ( I + 1 ) e. ZZ /\ J e. ZZ /\ ( I + 1 ) <_ J ) )
68	63, 26, 66, 67	syl3anbrc 1181	. . 3 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` ( I + 1 ) ) )
69	12	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M e. ZZ )
70	22	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> N e. ZZ )
71		elfzelz 11699	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... J ) -> k e. ZZ )
72	71	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> k e. ZZ )
73	69, 70, 72	3jca 1177	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
74	69	zred 10976	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M e. RR )
75	72	zred 10976	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> k e. RR )
76	63	zred 10976	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
77	76	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
78	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> I e. RR )
79	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M <_ I )
80	78	ltp1d 10483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> I < ( I + 1 ) )
81	74, 78, 77, 79, 80	lelttrd 9743	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M < ( I + 1 ) )
82		elfzle1 11700	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... J ) -> ( I + 1 ) <_ k )
83	82	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> ( I + 1 ) <_ k )
84	74, 77, 75, 81, 83	ltletrd 9745	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M < k )
85	74, 75, 84	ltled 9736	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> M <_ k )
86	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> J e. RR )
87	70	zred 10976	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> N e. RR )
88		elfzle2 11701	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... J ) -> k <_ J )
89	88	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> k <_ J )
90	31	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> J <_ N )
91	75, 86, 87, 89, 90	letrd 9742	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> k <_ N )
92	73, 85, 91	jca32 535	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
93		elfz2 11690	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
94	92, 93	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> k e. ( M ... N ) )
95	94, 8	syldan 470	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... J ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
96	12	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
97	22	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
98		elfzelz 11699	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) -> k e. ZZ )
99	98	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
100	96, 97, 99	3jca 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
101	96	zred 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> M e. RR )
102	99	zred 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k e. RR )
103	76	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. RR )
104	12	zred 10976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
105	23	ltp1d 10483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I < ( I + 1 ) )
106	104, 23, 76, 16, 105	lelttrd 9743	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( I + 1 ) )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> M < ( I + 1 ) )
108		elfzle1 11700	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) -> ( I + 1 ) <_ k )
109	108	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) <_ k )
110	101, 103, 102, 107, 109	ltletrd 9745	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> M < k )
111	101, 102, 110	ltled 9736	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> M <_ k )
112	97	zred 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> N e. RR )
113		peano2rem 9891	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. RR -> ( J - 1 ) e. RR )
114	27, 113	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. RR )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) e. RR )
116		elfzle2 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) -> k <_ ( J - 1 ) )
117	116	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k <_ ( J - 1 ) )
118	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> J e. RR )
119	118	ltm1d 10485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) < J )
120	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> J <_ N )
121	115, 118, 112, 119, 120	ltletrd 9745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) < N )
122	102, 115, 112, 117, 121	lelttrd 9743	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k < N )
123	102, 112, 122	ltled 9736	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k <_ N )
124	100, 111, 123	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) )
125	124, 93	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
126	125, 8	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
127		peano2zm 10914	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
128	97, 127	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
129	96, 128, 99	3jca 1177	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
130	128	zred 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. RR )
131		1red 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
132	27, 28, 131, 31	lesub1dd 10175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J - 1 ) <_ ( N - 1 ) )
133	132	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( J - 1 ) <_ ( N - 1 ) )
134	102, 115, 130, 117, 133	letrd 9742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k <_ ( N - 1 ) )
135	129, 111, 134	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ ( N - 1 ) ) ) )
136		elfz2 11690	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( M <_ k /\ k <_ ( N - 1 ) ) ) )
137	135, 136	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
138		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
139		fzoval 11812	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
140	22, 139	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
141	140	eqcomd 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
142	141	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... ( N - 1 ) ) = ( M..^ N ) )
143	138, 142	eleqtrd 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( M..^ N ) )
144		fzofzp1 11891	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
145	143, 144	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) )
146		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ph )
147	146, 145	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
148		eleq1 2515	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j e. ( M ... N ) <-> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
149	148	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) )
150		fveq2 5856	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( F ` j ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
151	150	eleq1d 2512	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( F ` j ) e. RR <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
152	149, 151	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR ) ) )
153		eleq1 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k e. ( M ... N ) <-> j e. ( M ... N ) ) )
154	153	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) <-> ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) ) )
155		fveq2 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
156	155	eleq1d 2512	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` j ) e. RR ) )
157	154, 156	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) ) )
158	157, 8	chvarv 2000	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
159	152, 158	vtoclg 3153	. . . . . 6 |- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR ) )
160	145, 147, 159	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
161	137, 160	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
162	143, 60	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
163	137, 162	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
164	126, 161, 163	ltled 9736	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( I + 1 ) ... ( J - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
165	68, 95, 164	monoord 12119	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( I + 1 ) ) <_ ( F ` J ) )
166	10, 44, 52, 62, 165	ltletrd 9745	1 |- ( ph -> ( F ` I ) < ( F ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   1c1 9496   + caddc 9498   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807

This theorem is referenced by:  fourierdlem34  31877