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Theorem monoords 31450
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoords.flt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
monoords.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
monoords.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
monoords.iltj  |-  ( ph  ->  I  <  J )
Assertion
Ref Expression
monoords  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, I    k, J    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoords
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M ... N ) )
21ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) ) )
3 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  I  e.  ( M ... N ) ) )
43anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) ) ) )
5 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
65eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  I )  e.  RR ) )
74, 6imbi12d 320 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  I  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  I
)  e.  RR ) ) )
8 monoords.fk . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
97, 8vtoclg 3153 . . 3  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  I  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  I )  e.  RR ) )
101, 2, 9sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  e.  RR )
11 elfzel1 11698 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
121, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 elfzelz 11699 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  I  e.  ZZ )
141, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
15 elfzle1 11700 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  I )
161, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_  I )
17 eluz2 11098 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  M  <_  I ) )
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( ZZ>= `  M ) )
19 elfzuz2 11702 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
21 eluzelz 11101 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2220, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2314zred 10976 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
24 monoords.j . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  ( M ... N ) )
25 elfzelz 11699 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  e.  ZZ )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
2726zred 10976 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
2822zred 10976 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
29 monoords.iltj . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  <  J )
30 elfzle2 11701 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  J  <_  N )
3124, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  <_  N )
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 9745 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  <  N )
33 elfzo2 11814 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ  /\  I  <  N ) )
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1181 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  ( M..^ N ) )
35 fzofzp1 11891 . . . 4  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3634, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
3736ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
38 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
3938anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( I  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
40 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
4140eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4239, 41imbi12d 320 . . . 4  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( I  +  1
)  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( I  +  1
) )  e.  RR ) ) )
4342, 8vtoclg 3153 . . 3  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
I  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR ) )
4436, 37, 43sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
4524ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) ) )
46 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  J  e.  ( M ... N ) ) )
4746anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) ) ) )
48 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  J  ->  ( F `  k )  =  ( F `  J ) )
4948eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( k  =  J  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5047, 49imbi12d 320 . . . 4  |-  ( k  =  J  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  J  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  J
)  e.  RR ) ) )
5150, 8vtoclg 3153 . . 3  |-  ( J  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  J  e.  ( M ... N
) )  ->  ( F `  J )  e.  RR ) )
5224, 45, 51sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  J
)  e.  RR )
5334ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) )
54 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
k  e.  ( M..^ N )  <->  I  e.  ( M..^ N ) ) )
5554anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  <->  ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) ) ) )
56 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  (
k  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
5756fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( I  +  1
) ) )
585, 57breq12d 4450 . . . . 5  |-  ( k  =  I  ->  (
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
5955, 58imbi12d 320 . . . 4  |-  ( k  =  I  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( F `  k
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
60 monoords.flt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6159, 60vtoclg 3153 . . 3  |-  ( I  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  /\  I  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  I )  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) ) )
6234, 53, 61sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  ( I  +  1 ) ) )
6314peano2zd 10979 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ZZ )
64 zltp1le 10920 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6514, 26, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  <  J  <->  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6629, 65mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  J )
67 eluz2 11098 . . . 4  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  (
I  +  1 ) )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <_  J ) )
6863, 26, 66, 67syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= `  ( I  +  1
) ) )
6912adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  ZZ )
7022adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  ZZ )
71 elfzelz 11699 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  e.  ZZ )
7271adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
7369, 70, 723jca 1177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
7469zred 10976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  e.  RR )
7572zred 10976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  RR )
7663zred 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
7776adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7823adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  e.  RR )
7916adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  I )
8078ltp1d 10483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
8174, 78, 77, 79, 80lelttrd 9743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
82 elfzle1 11700 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8382adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
8474, 77, 75, 81, 83ltletrd 9745 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <  k )
8574, 75, 84ltled 9736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  M  <_  k )
8627adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  e.  RR )
8770zred 10976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  N  e.  RR )
88 elfzle2 11701 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... J )  ->  k  <_  J )
8988adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  J )
9031adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  J  <_  N )
9175, 86, 87, 89, 90letrd 9742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  <_  N )
9273, 85, 91jca32 535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
93 elfz2 11690 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
9492, 93sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
9594, 8syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... J
) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
9612adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
9722adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
98 elfzelz 11699 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9998adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10096, 97, 993jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
10196zred 10976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
10299zred 10976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
10376adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
10412zred 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
10523ltp1d 10483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
106104, 23, 76, 16, 105lelttrd 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  ( I  +  1 ) )
108 elfzle1 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
109108adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
I  +  1 )  <_  k )
110101, 103, 102, 107, 109ltletrd 9745 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <  k )
111101, 102, 110ltled 9736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
11297zred 10976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
113 peano2rem 9891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  RR  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
11427, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
115114adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
116 elfzle2 11701 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( I  +  1 ) ... ( J  -  1 ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( J  -  1 ) )
11827adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  RR )
119118ltm1d 10485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  J )
12031adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  J  <_  N )
121115, 118, 112, 119, 120ltletrd 9745 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <  N )
122102, 115, 112, 117, 121lelttrd 9743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <  N )
123102, 112, 122ltled 9736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  N )
124100, 111, 123jca32 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
125124, 93sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
126125, 8syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
127 peano2zm 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12897, 127syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
12996, 128, 993jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )
130128zred 10976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
131 1red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13227, 28, 131, 31lesub1dd 10175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
133132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( J  -  1 )  <_  ( N  - 
1 ) )
134102, 115, 130, 117, 133letrd 9742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
135129, 111, 134jca32 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
136 elfz2 11690 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
137135, 136sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
138 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
139 fzoval 11812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
14022, 139syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
141140eqcomd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
142141adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
143138, 142eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
144 fzofzp1 11891 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
145143, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
146 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ph )
147146, 145jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )
148 eleq1 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  e.  ( M ... N )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
149148anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) ) )
150 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
151150eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  e.  RR  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
152149, 151imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
153 eleq1 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  ( M ... N )  <->  j  e.  ( M ... N ) ) )
154153anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( M ... N
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) ) ) )
155 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
156155eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  j )  e.  RR ) )
157154, 156imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  j
)  e.  RR ) ) )
158157, 8chvarv 2000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
159152, 158vtoclg 3153 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
160145, 147, 159sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
161137, 160syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
162143, 60syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
163137, 162syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
164126, 161, 163ltled 9736 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( I  + 
1 ) ... ( J  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
16568, 95, 164monoord 12119 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
I  +  1 ) )  <_  ( F `  J ) )
16610, 44, 52, 62, 165ltletrd 9745 1  |-  ( ph  ->  ( F `  I
)  <  ( F `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   1c1 9496    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807
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