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Theorem monoord2 12116
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
monoord2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoord2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
monoord2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 monoord2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
32renegcld 9996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  -u ( F `
 k )  e.  RR )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)  =  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)
53, 4fmptd 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) : ( M ... N
) --> RR )
65ffvelrnda 6031 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  e.  RR )
7 monoord2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
87ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
9 oveq1 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
109fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1210, 11breq12d 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
) )
1312cbvralv 3093 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
)  <->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
148, 13sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
1514r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
)
16 fzp1elp1 11743 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
18 eluzelz 11101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2019zcnd 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
21 ax-1cn 9560 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
22 npcan 9839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2423oveq2d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2617, 25eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
272ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR )
29 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3029eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3130rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3226, 28, 31sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
33 fzssp1 11736 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
3433, 24syl5sseq 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3534sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3611eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3736rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3835, 28, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3932, 38lenegd 10141 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )  <->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4015, 39mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) )
4111negeqd 9824 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  n ) )
42 negex 9828 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  n )  e.  _V
4341, 4, 42fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4435, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4529negeqd 9824 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
46 negex 9828 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  _V
4745, 4, 46fvmpt 5956 . . . . . 6  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1
) )  =  -u ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4826, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
4940, 44, 483brtr4d 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  <_  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
) `  ( n  +  1 ) ) )
501, 6, 49monoord 12115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  <_  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N ) )
51 eluzfz1 11703 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
521, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53 fveq2 5871 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
5453negeqd 9824 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  M ) )
55 negex 9828 . . . . 5  |-  -u ( F `  M )  e.  _V
5654, 4, 55fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
5752, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
58 eluzfz2 11704 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
591, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
60 fveq2 5871 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
6160negeqd 9824 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  N ) )
62 negex 9828 . . . . 5  |-  -u ( F `  N )  e.  _V
6361, 4, 62fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6459, 63syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6550, 57, 643brtr3d 4481 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( F `  M )  <_  -u ( F `  N )
)
6660eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6766rspcv 3215 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6859, 27, 67sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
6953eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7069rspcv 3215 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7152, 27, 70sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
7268, 71lenegd 10141 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  <_  ( F `  M )  <->  -u ( F `  M
)  <_  -u ( F `
 N ) ) )
7365, 72mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   1c1 9503    + caddc 9505    <_ cle 9639    - cmin 9815   -ucneg 9816   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  13479  climcndslem1  13636  climcndslem2  13637  dvfsumlem3  22274  emcllem7  23174  climinf  31439
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