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Theorem monoord2 11837
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
monoord2.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoord2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
Assertion
Ref Expression
monoord2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 monoord2.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
32renegcld 9775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  -u ( F `
 k )  e.  RR )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)  =  ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
)
53, 4fmptd 5867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) : ( M ... N
) --> RR )
65ffvelrnda 5843 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  e.  RR )
7 monoord2.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
87ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
9 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
109fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
11 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1210, 11breq12d 4305 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
) )
1312cbvralv 2947 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
)  <->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
148, 13sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( F `  n ) )
1514r19.21bi 2814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )
)
16 fzp1elp1 11509 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
18 eluzelz 10870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2019zcnd 10748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
21 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
22 npcan 9619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2423oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
2617, 25eleqtrd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
272ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR )
29 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3029eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3130rspcv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
3226, 28, 31sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
33 fzssp1 11501 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
3433, 24syl5sseq 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
3534sselda 3356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3611eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3736rspcv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  n )  e.  RR ) )
3835, 28, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3932, 38lenegd 9918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( F `  n )  <->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4015, 39mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  -u ( F `
 n )  <_  -u ( F `  (
n  +  1 ) ) )
4111negeqd 9604 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  n ) )
42 negex 9608 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  n )  e.  _V
4341, 4, 42fvmpt 5774 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4435, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  =  -u ( F `  n ) )
4529negeqd 9604 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
46 negex 9608 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  _V
4745, 4, 46fvmpt 5774 . . . . . 6  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1
) )  =  -u ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4826, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  -u ( F `  ( n  +  1
) ) )
4940, 44, 483brtr4d 4322 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k ) ) `  n )  <_  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  -u ( F `  k )
) `  ( n  +  1 ) ) )
501, 6, 49monoord 11836 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  <_  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N ) )
51 eluzfz1 11458 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
521, 51syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
5453negeqd 9604 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  M ) )
55 negex 9608 . . . . 5  |-  -u ( F `  M )  e.  _V
5654, 4, 55fvmpt 5774 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
5752, 56syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  M )  =  -u ( F `  M ) )
58 eluzfz2 11459 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
591, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
60 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
6160negeqd 9604 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  -u ( F `  k )  =  -u ( F `  N ) )
62 negex 9608 . . . . 5  |-  -u ( F `  N )  e.  _V
6361, 4, 62fvmpt 5774 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6459, 63syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  -u ( F `  k ) ) `  N )  =  -u ( F `  N ) )
6550, 57, 643brtr3d 4321 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( F `  M )  <_  -u ( F `  N )
)
6660eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6766rspcv 3069 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  N )  e.  RR ) )
6859, 27, 67sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
6953eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7069rspcv 3069 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  M )  e.  RR ) )
7152, 27, 70sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
7268, 71lenegd 9918 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  <_  ( F `  M )  <->  -u ( F `  M
)  <_  -u ( F `
 N ) ) )
7365, 72mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( F `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  13159  climcndslem1  13312  climcndslem2  13313  dvfsumlem3  21500  emcllem7  22395  climinf  29779
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