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Theorem monoord 12139
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
monoord.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
monoord.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
monoord  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  N ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem monoord
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 11719 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
65breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) )
74, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) ) )
9 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
10 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( F `  x )  =  ( F `  n ) )
1110breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) )
129, 11imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) )
1312imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) ) )
14 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
15 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
1615breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
19 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( F `  x )  =  ( F `  N ) )
2120breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) )
2219, 21imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x )
)  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) ) )
24 eluzfz1 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
251, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
26 monoord.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2726ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k
)  e.  RR )
28 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  M )  e.  RR ) )
3029rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  M )  e.  RR ) )
3125, 27, 30sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
3231leidd 10140 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  M ) )
3332a1d 25 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  M )
) ) )
35 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
37 peano2fzr 11724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
3938expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
4039imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) ) )
41 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
4235, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
43 elfzuz3 11710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
4436, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
45 eluzp1m1 11129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
47 elfzuzb 11707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
4835, 46, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
49 monoord.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
5049ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
53 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5552, 54breq12d 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5655rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  ( A. k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
5748, 51, 56sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5831adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
5927adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N
) ( F `  k )  e.  RR )
6052eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  n )  e.  RR ) )
6160rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  n )  e.  RR ) )
6238, 59, 61sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
63 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
6463eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
6564rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR ) )
6636, 59, 65sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
67 letr 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  ( F `  n )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( F `
 M )  <_ 
( F `  n
)  /\  ( F `  n )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6858, 62, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( (
( F `  M
)  <_  ( F `  n )  /\  ( F `  n )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6957, 68mpan2d 674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( F `  M )  <_  ( F `  n
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7069expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
( F `  M
)  <_  ( F `  n )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
7170a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7240, 71syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( F `  M
)  <_  ( F `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7372expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
758, 13, 18, 23, 34, 74uzind4 11164 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) ) )
761, 75mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( F `  M )  <_  ( F `  N )
) )
773, 76mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  <_  ( F `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  monoord2  12140  sermono  12141  climub  13495  isercolllem1  13498  climsup  13503  dvfsumlem3  22554  emcllem7  23456  lmdvg  28088  monoords  31657  iblspltprt  31933  itgspltprt  31939  fourierdlem11  32061  fourierdlem12  32062  fourierdlem15  32065  fourierdlem50  32100  fourierdlem79  32129
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