Theorem monoord 7523

Description: Ordering relation for a monotonic sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
monoord.1	|- F:NN-->RR
monoord.2	|- (x e. NN -> (F` x) <_ (F` (x + 1)))

Assertion

Ref	Expression
monoord	|- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) <_ (F` B))

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem monoord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (A <_ y <-> A <_ 1))
2		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> (F` y) = (F` 1))
3	2	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (y = 1 -> ((F` A) <_ (F` y) <-> (F` A) <_ (F` 1)))
4	1, 3	imbi12d 688	. . . . 5 |- (y = 1 -> ((A <_ y -> (F` A) <_ (F` y)) <-> (A <_ 1 -> (F` A) <_ (F` 1))))
5	4	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = 1 -> ((A e. NN -> (A <_ y -> (F` A) <_ (F` y))) <-> (A e. NN -> (A <_ 1 -> (F` A) <_ (F` 1)))))
6		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = z -> (A <_ y <-> A <_ z))
7		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = z -> (F` y) = (F` z))
8	7	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (y = z -> ((F` A) <_ (F` y) <-> (F` A) <_ (F` z)))
9	6, 8	imbi12d 688	. . . . 5 |- (y = z -> ((A <_ y -> (F` A) <_ (F` y)) <-> (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))))
10	9	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = z -> ((A e. NN -> (A <_ y -> (F` A) <_ (F` y))) <-> (A e. NN -> (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z)))))
11		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> (A <_ y <-> A <_ (z + 1)))
12		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = (z + 1) -> (F` y) = (F` (z + 1)))
13	12	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (y = (z + 1) -> ((F` A) <_ (F` y) <-> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
14	11, 13	imbi12d 688	. . . . 5 |- (y = (z + 1) -> ((A <_ y -> (F` A) <_ (F` y)) <-> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1)))))
15	14	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = (z + 1) -> ((A e. NN -> (A <_ y -> (F` A) <_ (F` y))) <-> (A e. NN -> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))))
16		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = B -> (A <_ y <-> A <_ B))
17		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (y = B -> (F` y) = (F` B))
18	17	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (y = B -> ((F` A) <_ (F` y) <-> (F` A) <_ (F` B)))
19	16, 18	imbi12d 688	. . . . 5 |- (y = B -> ((A <_ y -> (F` A) <_ (F` y)) <-> (A <_ B -> (F` A) <_ (F` B))))
20	19	imbi2d 674	. . . 4 |- (y = B -> ((A e. NN -> (A <_ y -> (F` A) <_ (F` y))) <-> (A e. NN -> (A <_ B -> (F` A) <_ (F` B)))))
21		nnge1 7126	. . . . 5 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
22		letri3 6687	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 1 e. RR) -> (A = 1 <-> (A <_ 1 /\ 1 <_ A)))
23		nnre 7112	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> A e. RR)
24		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25	22, 23, 24	sylancl 525	. . . . . 6 |- (A e. NN -> (A = 1 <-> (A <_ 1 /\ 1 <_ A)))
26		eqle 6746	. . . . . . . 8 |- (((F` A) e. RR /\ (F` A) = (F` 1)) -> (F` A) <_ (F` 1))
27		monoord.1	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->RR
28	27	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (A e. NN -> (F` A) e. RR)
29		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (A = 1 -> (F` A) = (F` 1))
30	26, 28, 29	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ A = 1) -> (F` A) <_ (F` 1))
31	30	ex 402	. . . . . 6 |- (A e. NN -> (A = 1 -> (F` A) <_ (F` 1)))
32	25, 31	sylbird 222	. . . . 5 |- (A e. NN -> ((A <_ 1 /\ 1 <_ A) -> (F` A) <_ (F` 1)))
33	21, 32	mpan2d 766	. . . 4 |- (A e. NN -> (A <_ 1 -> (F` A) <_ (F` 1)))
34		leloe 6688	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ (z + 1) e. RR) -> (A <_ (z + 1) <-> (A < (z + 1) \/ A = (z + 1))))
35		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (z + 1) e. NN)
36		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- ((z + 1) e. NN -> (z + 1) e. RR)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (z + 1) e. RR)
38	34, 23, 37	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((A e. NN /\ z e. NN) -> (A <_ (z + 1) <-> (A < (z + 1) \/ A = (z + 1))))
39	38	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A <_ (z + 1) <-> (A < (z + 1) \/ A = (z + 1))))
40		nnleltp1 7138	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. NN /\ z e. NN) -> (A <_ z <-> A < (z + 1)))
41	40	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A <_ z <-> A < (z + 1)))
42	28	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` A) e. RR)
43	27	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> (F` z) e. RR)
44	43	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` z) e. RR)
45	27	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z + 1) e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
46	35, 45	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> (F` (z + 1)) e. RR)
47	46	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` (z + 1)) e. RR)
48		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` A) <_ (F` z))
49		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
50		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = z -> (x + 1) = (z + 1))
51	50	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = z -> (F` (x + 1)) = (F` (z + 1)))
52	49, 51	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = z -> ((F` x) <_ (F` (x + 1)) <-> (F` z) <_ (F` (z + 1))))
53		monoord.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. NN -> (F` x) <_ (F` (x + 1)))
54	52, 53	vtoclga 2352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> (F` z) <_ (F` (z + 1)))
55	54	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` z) <_ (F` (z + 1)))
56	42, 44, 47, 48, 55	letrd 6696	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (F` A) <_ (F` z)) -> (F` A) <_ (F` (z + 1)))
57	56	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. NN /\ z e. NN) -> ((F` A) <_ (F` z) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
58	57	imim2d 28	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. NN /\ z e. NN) -> ((A <_ z -> (F` A) <_ (F` z)) -> (A <_ z -> (F` A) <_ (F` (z + 1)))))
59	58	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A <_ z -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
60	41, 59	sylbird 222	. . . . . . . . 9 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A < (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
61		eqle 6746	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` A) e. RR /\ (F` A) = (F` (z + 1))) -> (F` A) <_ (F` (z + 1)))
62		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = (z + 1) -> (F` A) = (F` (z + 1)))
63	61, 28, 62	syl2an 503	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. NN /\ A = (z + 1)) -> (F` A) <_ (F` (z + 1)))
64	63	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (A e. NN -> (A = (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
65	64	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A = (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
66	60, 65	jaod 469	. . . . . . . 8 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> ((A < (z + 1) \/ A = (z + 1)) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
67	39, 66	sylbid 220	. . . . . . 7 |- (((A e. NN /\ z e. NN) /\ (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))
68	67	exp31 407	. . . . . 6 |- (A e. NN -> (z e. NN -> ((A <_ z -> (F` A) <_ (F` z)) -> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))))
69	68	com12 14	. . . . 5 |- (z e. NN -> (A e. NN -> ((A <_ z -> (F` A) <_ (F` z)) -> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))))
70	69	a2d 16	. . . 4 |- (z e. NN -> ((A e. NN -> (A <_ z -> (F` A) <_ (F` z))) -> (A e. NN -> (A <_ (z + 1) -> (F` A) <_ (F` (z + 1))))))
71	5, 10, 15, 20, 33, 70	nnind 7120	. . 3 |- (B e. NN -> (A e. NN -> (A <_ B -> (F` A) <_ (F` B))))
72	71	com12 14	. 2 |- (A e. NN -> (B e. NN -> (A <_ B -> (F` A) <_ (F` B))))
73	72	3imp 1061	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ A <_ B) -> (F` A) <_ (F` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653

This theorem is referenced by:  climubii 8413  climsupi 8415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108

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