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Theorem monmatcollpw 19570
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries is the matrix of the coefficients of the monomials or a zero matrix. Generalization of decpmatid 19561 (but requires  R to be commutative!). (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmatcollpw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
monmatcollpw.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
monmatcollpw.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
monmatcollpw.k  |-  K  =  ( Base `  A
)
monmatcollpw.0  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
monmatcollpw.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
monmatcollpw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
monmatcollpw.m  |-  .x.  =  ( .s `  C )
monmatcollpw.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
Assertion
Ref Expression
monmatcollpw  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) decompPMat  I )  =  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) )

Proof of Theorem monmatcollpw
Dummy variables  i 
j  l  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 752 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  Fin )
2 crngring 17527 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3 monmatcollpw.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1ring 18607 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
65ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  P  e.  Ring )
72adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  e.  Ring )
8 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN0 )
9 monmatcollpw.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  R )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
11 monmatcollpw.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
12 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
133, 9, 10, 11, 12ply1moncl 18630 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
147, 8, 13syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( L  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
152anim2i 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
16 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  K )
1715, 16anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  K ) )
18 df-3an 976 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  M  e.  K ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring  /\  M  e.  K
) )
20 monmatcollpw.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
21 monmatcollpw.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
22 monmatcollpw.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  A
)
23 monmatcollpw.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( N Mat  P )
2420, 21, 22, 3, 23mat2pmatbas 19517 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  K )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  C
) )
2519, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  C )
)
2614, 25jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( ( L  .^  X )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( T `  M )  e.  (
Base `  C )
) )
27 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
28 monmatcollpw.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
2912, 23, 27, 28matvscl 19223 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  /\  ( ( L  .^  X )  e.  (
Base `  P )  /\  ( T `  M
)  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( ( L 
.^  X )  .x.  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  C ) )
301, 6, 26, 29syl21anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( ( L  .^  X )  .x.  ( T `  M ) )  e.  ( Base `  C ) )
31 simpr3 1005 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  I  e.  NN0 )
3223, 27decpmatval 19556 . . 3  |-  ( ( ( ( L  .^  X )  .x.  ( T `  M )
)  e.  ( Base `  C )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( ( L  .^  X )  .x.  ( T `  M )
) decompPMat  I )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( i ( ( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) j ) ) `  I
) ) )
3330, 31, 32syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) decompPMat  I )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i ( ( L 
.^  X )  .x.  ( T `  M ) ) j ) ) `
 I ) ) )
3463ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
35263ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( L  .^  X
)  e.  ( Base `  P )  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  C
) ) )
36 3simpc 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)
37 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3823, 27, 12, 28, 37matvscacell 19228 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
( L  .^  X
)  e.  ( Base `  P )  /\  ( T `  M )  e.  ( Base `  C
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( L  .^  X )  .x.  ( T `  M )
) j )  =  ( ( L  .^  X ) ( .r
`  P ) ( i ( T `  M ) j ) ) )
3934, 35, 36, 38syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( L 
.^  X )  .x.  ( T `  M ) ) j )  =  ( ( L  .^  X ) ( .r
`  P ) ( i ( T `  M ) j ) ) )
4039fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( i ( ( L  .^  X )  .x.  ( T `  M
) ) j ) )  =  (coe1 `  (
( L  .^  X
) ( .r `  P ) ( i ( T `  M
) j ) ) ) )
4140fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i ( ( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) j ) ) `  I
)  =  ( (coe1 `  ( ( L  .^  X ) ( .r
`  P ) ( i ( T `  M ) j ) ) ) `  I
) )
4216anim2i 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  K ) )
43 df-3an 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  M  e.  K ) )
4442, 43sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
CRing  /\  M  e.  K
) )
45443ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  K ) )
46 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
4720, 21, 22, 3, 46mat2pmatvalel 19516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  K )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( T `  M
) j )  =  ( (algSc `  P
) `  ( i M j ) ) )
4845, 36, 47syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( T `  M ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
i M j ) ) )
4948oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( L  .^  X
) ( .r `  P ) ( i ( T `  M
) j ) )  =  ( ( L 
.^  X ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P
) `  ( i M j ) ) ) )
503ply1assa 18556 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
5150ad2antlr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  P  e. AssAlg )
52513ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e. AssAlg )
53 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
54 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
55 simp2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
56 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
5722eleq2i 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  K  <->  M  e.  ( Base `  A )
)
5857biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  K  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
59583ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
61603ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
6221, 53, 54, 55, 56, 61matecld 19218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i M j )  e.  ( Base `  R
) )
633ply1sca 18612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
6564eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(Scalar `  P )  =  R )
6665fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
6766adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  R ) )
68673ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
6962, 68eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i M j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
70143ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( L  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
71 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
72 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
73 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
7446, 71, 72, 12, 37, 73asclmul2 18307 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. AssAlg  /\  (
i M j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  ( L  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( L  .^  X
) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
i M j ) ) )  =  ( ( i M j ) ( .s `  P ) ( L 
.^  X ) ) )
7552, 69, 70, 74syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( L  .^  X
) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
i M j ) ) )  =  ( ( i M j ) ( .s `  P ) ( L 
.^  X ) ) )
7649, 75eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( L  .^  X
) ( .r `  P ) ( i ( T `  M
) j ) )  =  ( ( i M j ) ( .s `  P ) ( L  .^  X
) ) )
7776fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( ( L  .^  X ) ( .r
`  P ) ( i ( T `  M ) j ) ) )  =  (coe1 `  ( ( i M j ) ( .s
`  P ) ( L  .^  X )
) ) )
7877fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( ( L 
.^  X ) ( .r `  P ) ( i ( T `
 M ) j ) ) ) `  I )  =  ( (coe1 `  ( ( i M j ) ( .s `  P ) ( L  .^  X
) ) ) `  I ) )
792ad2antlr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  R  e.  Ring )
80793ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
81 simp1r2 1094 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  L  e.  NN0 )
82 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8382, 53, 3, 9, 73, 10, 11coe1tm 18632 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i M j )  e.  ( Base `  R
)  /\  L  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  (
( i M j ) ( .s `  P ) ( L 
.^  X ) ) )  =  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
8480, 62, 81, 83syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (coe1 `  ( ( i M j ) ( .s
`  P ) ( L  .^  X )
) )  =  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
8584fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( ( i M j ) ( .s `  P ) ( L  .^  X
) ) ) `  I )  =  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `  I
) )
8641, 78, 853eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
(coe1 `  ( i ( ( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) j ) ) `  I
)  =  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) )
8786mpt2eq3dva 6341 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
i ( ( L 
.^  X )  .x.  ( T `  M ) ) j ) ) `
 I ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) ) )
88 monmatcollpw.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
8915adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
9089adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
9121, 82mat0op 19211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( 0g `  A )  =  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( 0g `  R ) ) )
9388, 92syl5eq 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  .0.  =  ( z  e.  N ,  w  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )
94 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  (
z  =  x  /\  w  =  y )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
95 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  x  e.  N )
96 simprr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  y  e.  N )
97 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
9897a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
9993, 94, 95, 96, 98ovmpt2d 6410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x  .0.  y )  =  ( 0g `  R ) )
10099eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( x  .0.  y ) )
101100ifeq2d 3903 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  if (
I  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( x  .0.  y ) ) )
102 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) ) )
103 oveq12 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( i M j )  =  ( x M y ) )
104103ifeq1d 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) )
105104mpteq2dv 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
106105fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I )  =  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) )
107 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
108 eqeq1 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  I  ->  (
l  =  L  <->  I  =  L ) )
109108ifbid 3906 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  I  ->  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( I  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
110109adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  l  =  I )  ->  if ( l  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( I  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
11131adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  I  e.  NN0 )
112 ovex 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( x M y )  e. 
_V
113112, 97ifex 3952 . . . . . . . . 9  |-  if ( I  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
114113a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  if (
I  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V )
115107, 110, 111, 114fvmptd 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( (
l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( x M y ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) )
116106, 115sylan9eqr 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N
) )  /\  (
i  =  x  /\  j  =  y )
)  ->  ( (
l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) )
117102, 116, 95, 96, 114ovmpt2d 6410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) ) y )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( 0g `  R ) ) )
118 ifov 6362 . . . . . 6  |-  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) y )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( x  .0.  y
) )
119118a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) y )  =  if ( I  =  L ,  ( x M y ) ,  ( x  .0.  y
) ) )
120101, 117, 1193eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  (
x  e.  N  /\  y  e.  N )
)  ->  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) ) y )  =  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) y ) )
121120ralrimivva 2824 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) ) y )  =  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) y ) )
122 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  R  e.  CRing
)
123 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
124108ifbid 3906 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  I  ->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( I  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
125124adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  /\  l  =  I
)  ->  if (
l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( I  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) )
126313ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  I  e.  NN0 )
12753, 82ring0cl 17538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1287, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
129128adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( 0g `  R )  e.  (
Base `  R )
)
1301293ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
13162, 130ifcld 3927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( I  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
132123, 125, 126, 131fvmptd 5937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `  I
)  =  if ( I  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
133132, 131eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `  I
)  e.  ( Base `  R ) )
13421, 53, 22, 1, 122, 133matbas2d 19215 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) )  e.  K )
13560, 57sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  K )
13621matring 19235 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
13722, 88ring0cl 17538 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
13815, 136, 1373syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  .0.  e.  K )
139138adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  .0.  e.  K )
140135, 139ifcld 3927 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  if (
I  =  L ,  M ,  .0.  )  e.  K )
14121, 22eqmat 19216 . . . 4  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) )  e.  K  /\  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  )  e.  K )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) )  =  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  )  <->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e. 
NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 I ) ) y )  =  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) y ) ) )
142134, 140, 141syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L ,  ( i M j ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `  I
) )  =  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) 
<-> 
A. x  e.  N  A. y  e.  N  ( x ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) ) y )  =  ( x if ( I  =  L ,  M ,  .0.  )
y ) ) )
143121, 142mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( l  e.  NN0  |->  if ( l  =  L , 
( i M j ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  I ) )  =  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  )
)
14433, 87, 1433eqtrd 2447 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( L  .^  X
)  .x.  ( T `  M ) ) decompPMat  I )  =  if ( I  =  L ,  M ,  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   ifcif 3884    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   Fincfn 7553   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   0gc0g 15052  .gcmg 16378  mulGrpcmgp 17459   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517  AssAlgcasa 18276  algSccascl 18278  var1cv1 18533  Poly1cpl1 18534  coe1cco1 18535   Mat cmat 19199   matToPolyMat cmat2pmat 19495   decompPMat cdecpmat 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-assa 18279  df-ascl 18281  df-psr 18323  df-mvr 18324  df-mpl 18325  df-opsr 18327  df-psr1 18537  df-vr1 18538  df-ply1 18539  df-coe1 18540  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-mamu 19176  df-mat 19200  df-mat2pmat 19498  df-decpmat 19554
This theorem is referenced by:  monmat2matmon  19615
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