Theorem monmat2matmon 19198

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	|- P = (Poly1 ` R )
monmat2matmon.c	|- C = ( N Mat P )
monmat2matmon.b	|- B = ( Base ` C )
monmat2matmon.m1	|- .* = ( .s ` Q )
monmat2matmon.e1	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
monmat2matmon.x	|- X = (var1 ` A )
monmat2matmon.a	|- A = ( N Mat R )
monmat2matmon.k	|- K = ( Base ` A )
monmat2matmon.q	|- Q = (Poly1 ` A )
monmat2matmon.i	|- I = ( N pMatToMatPoly R )
monmat2matmon.e2	|- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmat2matmon.y	|- Y = (var1 ` R )
monmat2matmon.m2	|- .x. = ( .s ` C )
monmat2matmon.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 17083	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		simpll 753	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
3		simplr 755	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
4		monmat2matmon.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
5		monmat2matmon.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` A )
6		monmat2matmon.t	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
7		monmat2matmon.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
8		monmat2matmon.c	. . . . 5 |- C = ( N Mat P )
9		monmat2matmon.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
10		monmat2matmon.m2	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` C )
11		monmat2matmon.e2	. . . . 5 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
12		monmat2matmon.y	. . . . 5 |- Y = (var1 ` R )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 19114	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B )
14		monmat2matmon.m1	. . . . 5 |- .* = ( .s ` Q )
15		monmat2matmon.e1	. . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
16		monmat2matmon.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` A )
17		monmat2matmon.q	. . . . 5 |- Q = (Poly1 ` A )
18		monmat2matmon.i	. . . . 5 |- I = ( N pMatToMatPoly R )
19	7, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18	pm2mpfval 19170	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
20	2, 3, 13, 19	syl3anc 1229	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
21	1, 20	sylanl2 651	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
22		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
23		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 ) )
24	23	anim1i 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
25		df-3an 976	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) <-> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
26	24, 25	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) )
27		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
28	7, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 19153	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
29	22, 26, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
30	29	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( R e. CRing -> R e. Ring ) )
32	31	anim2d 565	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) )
33	32	anim1d 564	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) ) )
34	33	imdistanri 691	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) )
35		ovif 6364	. . . . . . . 8 |- ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) )
36	4	matring 18818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
37	17	ply1sca 18168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> A = (Scalar ` Q ) )
40	39	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 0g ` A ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
41	40	oveq1d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) )
42	17	ply1lmod 18167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
43	36, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> Q e. LMod )
45	17	ply1ring 18163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
46	36, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Ring )
47		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
48	47	ringmgp 17078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Ring -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
49	46, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
51		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
52		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
53	16, 17, 52	vr1cl 18132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> X e. ( Base ` Q ) )
54	36, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> X e. ( Base ` Q ) )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> X e. ( Base ` Q ) )
56	47, 52	mgpbas 17021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` (mulGrp ` Q ) )
57	56, 15	mulgnn0cl 16032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` Q ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. ( Base ` Q ) ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
58	50, 51, 55, 57	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
59		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
60		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) )
61		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
62	52, 59, 14, 60, 61	lmod0vs 17419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. LMod /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
63	44, 58, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
64	41, 63	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
65	64	ifeq2d 3945	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
66	35, 65	syl5eq 2496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
67	34, 66	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
68	30, 67	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
69	68	mpteq2dva 4523	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) )
70	69	oveq2d 6297	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) )
71		ringmnd 17081	. . . . . . 7 |- ( Q e. Ring -> Q e. Mnd )
72	46, 71	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Mnd )
73	72	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> Q e. Mnd )
74		nn0ex 10807	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
75	74	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> NN0 e. _V )
76		simprr 757	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> L e. NN0 )
77		eqid 2443	. . . . 5 |- ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
78	38	fveq2d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` A ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
79	5, 78	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> K = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
80	79	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. K <-> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
81	80	biimpcd 224	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. K -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
83	82	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
84	83	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
85		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) )
86	52, 59, 14, 85	lmodvscl 17403	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. LMod /\ M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
87	44, 84, 58, 86	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
88	87	ralrimiva 2857	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> A. k e. NN0 ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
89	61, 73, 75, 76, 77, 88	gsummpt1n0 16866	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
90	1, 89	sylanl2 651	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
91	70, 90	eqtrd 2484	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
92		csbov2g 6320	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) )
93		csbov1g 6319	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( [_ L / k ]_ k .^ X ) )
94		csbvarg 3834	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ k = L )
95	94	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> ( [_ L / k ]_ k .^ X ) = ( L .^ X ) )
96	93, 95	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( L .^ X ) )
97	96	oveq2d 6297	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
98	92, 97	eqtrd 2484	. . 3 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
99	98	ad2antll 728	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
100	21, 91, 99	3eqtrd 2488	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   [_csb 3420   ifcif 3926   |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   NN0cn0 10801   Basecbs 14509  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   gsum_g cgsu 14715   Mndcmnd 15793  ._gcmg 15930  mulGrpcmgp 17015   Ringcrg 17072   CRingccrg 17073   LModclmod 17386  var₁cv1 18089  Poly₁cpl1 18090   Mat cmat 18782   matToPolyMat cmat2pmat 19078   decompPMat cdecpmat 19136   pMatToMatPoly cpm2mp 19166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-prds 14722  df-pws 14724  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-assa 17835  df-ascl 17837  df-psr 17879  df-mvr 17880  df-mpl 17881  df-opsr 17883  df-psr1 18093  df-vr1 18094  df-ply1 18095  df-coe1 18096  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mamu 18759  df-mat 18783  df-mat2pmat 19081  df-decpmat 19137  df-pm2mp 19167

This theorem is referenced by:  pm2mp  19199