Theorem monmat2matmon 19108

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	|- P = (Poly1 ` R )
monmat2matmon.c	|- C = ( N Mat P )
monmat2matmon.b	|- B = ( Base ` C )
monmat2matmon.m1	|- .* = ( .s ` Q )
monmat2matmon.e1	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
monmat2matmon.x	|- X = (var1 ` A )
monmat2matmon.a	|- A = ( N Mat R )
monmat2matmon.k	|- K = ( Base ` A )
monmat2matmon.q	|- Q = (Poly1 ` A )
monmat2matmon.i	|- I = ( N pMatToMatPoly R )
monmat2matmon.e2	|- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmat2matmon.y	|- Y = (var1 ` R )
monmat2matmon.m2	|- .x. = ( .s ` C )
monmat2matmon.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngrng 17005	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		simpll 753	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
3		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
4		monmat2matmon.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
5		monmat2matmon.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` A )
6		monmat2matmon.t	. . . . . 6 |- T = ( N matToPolyMat R )
7		monmat2matmon.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
8		monmat2matmon.c	. . . . . 6 |- C = ( N Mat P )
9		monmat2matmon.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
10		monmat2matmon.m2	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` C )
11		monmat2matmon.e2	. . . . . 6 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
12		monmat2matmon.y	. . . . . 6 |- Y = (var1 ` R )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 19024	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B )
14	2, 3, 13	3jca 1176	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B ) )
15		monmat2matmon.m1	. . . . 5 |- .* = ( .s ` Q )
16		monmat2matmon.e1	. . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
17		monmat2matmon.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` A )
18		monmat2matmon.q	. . . . 5 |- Q = (Poly1 ` A )
19		monmat2matmon.i	. . . . 5 |- I = ( N pMatToMatPoly R )
20	7, 8, 9, 15, 16, 17, 4, 18, 19	pm2mpfval 19080	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
21	14, 20	syl 16	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
22	1, 21	sylanl2 651	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
23		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 ) )
25	24	anim1i 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
26		df-3an 975	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) <-> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
27	25, 26	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) )
28		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
29	7, 8, 4, 5, 28, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 19063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
30	23, 27, 29	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
31	30	oveq1d 6298	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) )
32	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( R e. CRing -> R e. Ring ) )
33	32	anim2d 565	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) )
34	33	anim1d 564	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) ) )
35	34	imdistanri 691	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) )
36		ovif 6362	. . . . . . . 8 |- ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) )
37	4	matrng 18728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
38	18	ply1sca 18081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> A = (Scalar ` Q ) )
41	40	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 0g ` A ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
42	41	oveq1d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) )
43	18	ply1lmod 18080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
44	37, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> Q e. LMod )
46	18	ply1rng 18076	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
47	37, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Ring )
48		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
49	48	rngmgp 17001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Ring -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
50	47, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
51	50	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
52		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
53		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
54	17, 18, 53	vr1cl 18045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> X e. ( Base ` Q ) )
55	37, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> X e. ( Base ` Q ) )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> X e. ( Base ` Q ) )
57	48, 53	mgpbas 16946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` (mulGrp ` Q ) )
58	57, 16	mulgnn0cl 15965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` Q ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. ( Base ` Q ) ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
59	51, 52, 56, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
60		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
61		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) )
62		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
63	53, 60, 15, 61, 62	lmod0vs 17340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. LMod /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
64	45, 59, 63	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
65	42, 64	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
66	65	ifeq2d 3958	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
67	36, 66	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
68	35, 67	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
69	31, 68	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
70	69	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) )
71	70	oveq2d 6299	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) )
72		rngmnd 17004	. . . . . . 7 |- ( Q e. Ring -> Q e. Mnd )
73	47, 72	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Mnd )
74	73	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> Q e. Mnd )
75		nn0ex 10800	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
76	75	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> NN0 e. _V )
77		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> L e. NN0 )
78		eqid 2467	. . . . 5 |- ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
79	39	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` A ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
80	5, 79	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> K = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
81	80	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. K <-> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
82	81	biimpcd 224	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. K -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
83	82	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
84	83	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
85	84	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
86		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) )
87	53, 60, 15, 86	lmodvscl 17324	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. LMod /\ M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
88	45, 85, 59, 87	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
89	88	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> A. k e. NN0 ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
90	62, 74, 76, 77, 78, 89	gsummpt1n0 16792	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
91	1, 90	sylanl2 651	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
92	71, 91	eqtrd 2508	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
93		csbov2g 6319	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) )
94		csbov1g 6318	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( [_ L / k ]_ k .^ X ) )
95		csbvarg 3848	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ k = L )
96	95	oveq1d 6298	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> ( [_ L / k ]_ k .^ X ) = ( L .^ X ) )
97	94, 96	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( L .^ X ) )
98	97	oveq2d 6299	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
99	93, 98	eqtrd 2508	. . 3 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
100	99	ad2antll 728	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
101	22, 92, 100	3eqtrd 2512	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   [_csb 3435   ifcif 3939   |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   NN0cn0 10794   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   gsum_g cgsu 14695   Mndcmnd 15725  ._gcmg 15730  mulGrpcmgp 16940   Ringcrg 16995   CRingccrg 16996   LModclmod 17307  var₁cv1 18002  Poly₁cpl1 18003   Mat cmat 18692   matToPolyMat cmat2pmat 18988   decompPMat cdecpmat 19046   pMatToMatPoly cpm2mp 19076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-subrg 17222  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-assa 17748  df-ascl 17750  df-psr 17792  df-mvr 17793  df-mpl 17794  df-opsr 17796  df-psr1 18006  df-vr1 18007  df-ply1 18008  df-coe1 18009  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-mamu 18669  df-mat 18693  df-mat2pmat 18991  df-decpmat 19047  df-pm2mp 19077

This theorem is referenced by:  pm2mp  19109