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Theorem monmat2matmon 19848
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
monmat2matmon.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
monmat2matmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
monmat2matmon.m1  |-  .*  =  ( .s `  Q )
monmat2matmon.e1  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
monmat2matmon.x  |-  X  =  (var1 `  A )
monmat2matmon.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
monmat2matmon.k  |-  K  =  ( Base `  A
)
monmat2matmon.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
monmat2matmon.i  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
monmat2matmon.e2  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
monmat2matmon.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
monmat2matmon.m2  |-  .x.  =  ( .s `  C )
monmat2matmon.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( M  .*  ( L 
.^  X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 17791 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 simpll 760 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  Fin )
3 simplr 762 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  R  e.  Ring )
4 monmat2matmon.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
5 monmat2matmon.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  A
)
6 monmat2matmon.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
7 monmat2matmon.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 monmat2matmon.c . . . . 5  |-  C  =  ( N Mat  P )
9 monmat2matmon.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
10 monmat2matmon.m2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
11 monmat2matmon.e2 . . . . 5  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
12 monmat2matmon.y . . . . 5  |-  Y  =  (var1 `  R )
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 19764 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) )  e.  B )
14 monmat2matmon.m1 . . . . 5  |-  .*  =  ( .s `  Q )
15 monmat2matmon.e1 . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
16 monmat2matmon.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  A )
17 monmat2matmon.q . . . . 5  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
18 monmat2matmon.i . . . . 5  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
197, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18pm2mpfval 19820 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) )  e.  B )  -> 
( I `  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) ) )  =  ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
202, 3, 13, 19syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
211, 20sylanl2 657 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
22 simpll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )
23 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )
2423anim1i 572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  e.  NN0 ) )
25 df-3an 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 ) )
2624, 25sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )
)
27 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
287, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 19803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) ) decompPMat  k )  =  if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) ) )
2922, 26, 28syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k )  =  if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) ) )
3029oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
311a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring ) )
3231anim2d 569 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
) )
3332anim1d 568 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) ) ) )
3433imdistanri 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 ) )
35 ovif 6373 . . . . . . . 8  |-  ( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k 
.^  X ) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) ) )
364matring 19468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3717ply1sca 18846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
3938ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
4039fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
) )
4140oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  A )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
4217ply1lmod 18845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
4443ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  Q  e.  LMod )
4517ply1ring 18841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
Ring )
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Ring )
47 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  Q )  =  (mulGrp `  Q )
4847ringmgp 17786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
5049ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
51 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
52 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
5316, 17, 52vr1cl 18810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  Q
) )
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  X  e.  ( Base `  Q ) )
5554ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  Q ) )
5647, 52mgpbas 17729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  (mulGrp `  Q
) )
5756, 15mulgnn0cl 16774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  Q )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  Q )
)  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  Q )
)
5850, 51, 55, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  .^  X
)  e.  ( Base `  Q ) )
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  Q )  =  (Scalar `  Q )
60 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)
61 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
6252, 59, 14, 60, 61lmod0vs 18124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  Q
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  Q ) )
6344, 58, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( 0g `  Q
) )
6441, 63eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  A )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  Q ) )
6564ifeq2d 3900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( ( 0g `  A
)  .*  ( k 
.^  X ) ) )  =  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )
6635, 65syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
6734, 66syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
6830, 67eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
6968mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M )
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) ) )
7069oveq2d 6306 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) ) )
71 ringmnd 17789 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. 
Mnd )
7246, 71syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Mnd )
7372adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  Q  e.  Mnd )
74 nn0ex 10875 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  NN0  e.  _V )
76 simprr 766 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  L  e.  NN0 )
77 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )
7838fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  A )  =  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
795, 78syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Q )
) )
8079eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  K  <->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) ) )
8180biimpcd 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  K  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q )
) ) )
8281adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q
) ) ) )
8382impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
8483adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q )
) )
85 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  Q )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Q )
)
8652, 59, 14, 85lmodvscl 18108 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) )  /\  ( k  .^  X
)  e.  ( Base `  Q ) )  -> 
( M  .*  (
k  .^  X )
)  e.  ( Base `  Q ) )
8744, 84, 58, 86syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  .*  (
k  .^  X )
)  e.  ( Base `  Q ) )
8887ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( M  .*  ( k  .^  X
) )  e.  (
Base `  Q )
)
8961, 73, 75, 76, 77, 88gsummpt1n0 17597 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ ( M  .*  (
k  .^  X )
) )
901, 89sylanl2 657 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ ( M  .*  (
k  .^  X )
) )
9170, 90eqtrd 2485 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) ) )
92 csbov2g 6328 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )
) )
93 csbov1g 6327 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )  =  ( [_ L  /  k ]_ k  .^  X ) )
94 csbvarg 3792 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ k  =  L )
9594oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( [_ L  /  k ]_ k  .^  X )  =  ( L  .^  X )
)
9693, 95eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )  =  ( L  .^  X ) )
9796oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  .*  [_ L  / 
k ]_ ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
9892, 97eqtrd 2485 . . 3  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
9998ad2antll 735 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
10021, 91, 993eqtrd 2489 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( M  .*  ( L 
.^  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   [_csb 3363   ifcif 3881    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   NN0cn0 10869   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535  .gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   LModclmod 18091  var1cv1 18769  Poly1cpl1 18770   Mat cmat 19432   matToPolyMat cmat2pmat 19728   decompPMat cdecpmat 19786   pMatToMatPoly cpm2mp 19816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-assa 18536  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-coe1 18776  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-mat2pmat 19731  df-decpmat 19787  df-pm2mp 19817
This theorem is referenced by:  pm2mp  19849
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