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Theorem monmat2matmon 19108
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
monmat2matmon.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
monmat2matmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
monmat2matmon.m1  |-  .*  =  ( .s `  Q )
monmat2matmon.e1  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
monmat2matmon.x  |-  X  =  (var1 `  A )
monmat2matmon.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
monmat2matmon.k  |-  K  =  ( Base `  A
)
monmat2matmon.q  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
monmat2matmon.i  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
monmat2matmon.e2  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
monmat2matmon.y  |-  Y  =  (var1 `  R )
monmat2matmon.m2  |-  .x.  =  ( .s `  C )
monmat2matmon.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( M  .*  ( L 
.^  X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 17005 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  Fin )
3 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  R  e.  Ring )
4 monmat2matmon.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
5 monmat2matmon.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  A
)
6 monmat2matmon.t . . . . . 6  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
7 monmat2matmon.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 monmat2matmon.c . . . . . 6  |-  C  =  ( N Mat  P )
9 monmat2matmon.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
10 monmat2matmon.m2 . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
11 monmat2matmon.e2 . . . . . 6  |-  E  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
12 monmat2matmon.y . . . . . 6  |-  Y  =  (var1 `  R )
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 19024 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) )  e.  B )
142, 3, 133jca 1176 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) )  e.  B ) )
15 monmat2matmon.m1 . . . . 5  |-  .*  =  ( .s `  Q )
16 monmat2matmon.e1 . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  Q )
)
17 monmat2matmon.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  A )
18 monmat2matmon.q . . . . 5  |-  Q  =  (Poly1 `  A )
19 monmat2matmon.i . . . . 5  |-  I  =  ( N pMatToMatPoly  R )
207, 8, 9, 15, 16, 17, 4, 18, 19pm2mpfval 19080 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) )  e.  B )  -> 
( I `  (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) ) )  =  ( Q 
gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
2114, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
221, 21sylanl2 651 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) ) )
23 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )
2524anim1i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  e.  NN0 ) )
26 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  <->  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 ) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )
)
28 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  A )  =  ( 0g `  A
)
297, 8, 4, 5, 28, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 19063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( L E Y )  .x.  ( T `
 M ) ) decompPMat  k )  =  if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) ) )
3023, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k )  =  if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) ) )
3130oveq1d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
321a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring ) )
3332anim2d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
) )
3433anim1d 564 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) ) ) )
3534imdistanri 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 ) )
36 ovif 6362 . . . . . . . 8  |-  ( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k 
.^  X ) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( ( 0g
`  A )  .*  ( k  .^  X
) ) )
374matrng 18728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
3818ply1sca 18081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  =  (Scalar `  Q )
)
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =  (Scalar `  Q
) )
4140fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
) )
4241oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  A )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) ) )
4318ply1lmod 18080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
LMod )
4437, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  LMod )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  Q  e.  LMod )
4618ply1rng 18076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Ring  ->  Q  e. 
Ring )
4737, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Ring )
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  Q )  =  (mulGrp `  Q )
4948rngmgp 17001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
(mulGrp `  Q )  e.  Mnd )
52 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
5417, 18, 53vr1cl 18045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  Q
) )
5537, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  X  e.  ( Base `  Q ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  Q ) )
5748, 53mgpbas 16946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  (mulGrp `  Q
) )
5857, 16mulgnn0cl 15965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  Q )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  Q )
)  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  Q )
)
5951, 52, 56, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  .^  X
)  e.  ( Base `  Q ) )
60 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  Q )  =  (Scalar `  Q )
61 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Q )
)
62 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Q )  =  ( 0g `  Q
)
6353, 60, 15, 61, 62lmod0vs 17340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  Q
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  Q ) )
6445, 59, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  Q ) )  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( 0g `  Q
) )
6542, 64eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 0g `  A )  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  Q ) )
6665ifeq2d 3958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( ( 0g `  A
)  .*  ( k 
.^  X ) ) )  =  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )
6736, 66syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
6835, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( if ( k  =  L ,  M ,  ( 0g `  A ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
6931, 68eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( M  e.  K  /\  L  e. 
NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) )  =  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k 
.^  X ) ) ,  ( 0g `  Q ) ) )
7069mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M )
) decompPMat  k )  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) ) )
7170oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) ) )
72 rngmnd 17004 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  Ring  ->  Q  e. 
Mnd )
7347, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  Q  e.  Mnd )
7473adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  Q  e.  Mnd )
75 nn0ex 10800 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  NN0  e.  _V )
77 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  L  e.  NN0 )
78 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L , 
( M  .*  (
k  .^  X )
) ,  ( 0g
`  Q ) ) )
7939fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  A )  =  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
805, 79syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  K  =  ( Base `  (Scalar `  Q )
) )
8180eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( M  e.  K  <->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) ) )
8281biimpcd 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  K  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q )
) ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q
) ) ) )
8483impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) ) )
8584adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q )
) )
86 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  Q )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Q )
)
8753, 60, 15, 86lmodvscl 17324 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  LMod  /\  M  e.  ( Base `  (Scalar `  Q ) )  /\  ( k  .^  X
)  e.  ( Base `  Q ) )  -> 
( M  .*  (
k  .^  X )
)  e.  ( Base `  Q ) )
8845, 85, 59, 87syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  .*  (
k  .^  X )
)  e.  ( Base `  Q ) )
8988ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( M  .*  ( k  .^  X
) )  e.  (
Base `  Q )
)
9062, 74, 76, 77, 78, 89gsummpt1n0 16792 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ ( M  .*  (
k  .^  X )
) )
911, 90sylanl2 651 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  L ,  ( M  .*  ( k  .^  X
) ) ,  ( 0g `  Q ) ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ ( M  .*  (
k  .^  X )
) )
9271, 91eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  ( Q  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( ( ( ( L E Y ) 
.x.  ( T `  M ) ) decompPMat  k
)  .*  ( k 
.^  X ) ) ) )  =  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) ) )
93 csbov2g 6319 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )
) )
94 csbov1g 6318 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )  =  ( [_ L  /  k ]_ k  .^  X ) )
95 csbvarg 3848 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ k  =  L )
9695oveq1d 6298 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( [_ L  /  k ]_ k  .^  X )  =  ( L  .^  X )
)
9794, 96eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ (
k  .^  X )  =  ( L  .^  X ) )
9897oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  .*  [_ L  / 
k ]_ ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
9993, 98eqtrd 2508 . . 3  |-  ( L  e.  NN0  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
10099ad2antll 728 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  [_ L  /  k ]_ ( M  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( M  .*  ( L  .^  X ) ) )
10122, 92, 1003eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( M  e.  K  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
I `  ( ( L E Y )  .x.  ( T `  M ) ) )  =  ( M  .*  ( L 
.^  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   [_csb 3435   ifcif 3939    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   NN0cn0 10794   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695   Mndcmnd 15725  .gcmg 15730  mulGrpcmgp 16940   Ringcrg 16995   CRingccrg 16996   LModclmod 17307  var1cv1 18002  Poly1cpl1 18003   Mat cmat 18692   matToPolyMat cmat2pmat 18988   decompPMat cdecpmat 19046   pMatToMatPoly cpm2mp 19076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-ghm 16067  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-subrg 17222  df-lmod 17309  df-lss 17374  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-assa 17748  df-ascl 17750  df-psr 17792  df-mvr 17793  df-mpl 17794  df-opsr 17796  df-psr1 18006  df-vr1 18007  df-ply1 18008  df-coe1 18009  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-mamu 18669  df-mat 18693  df-mat2pmat 18991  df-decpmat 19047  df-pm2mp 19077
This theorem is referenced by:  pm2mp  19109
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