Theorem monmat2matmon 19848

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	|- P = (Poly1 ` R )
monmat2matmon.c	|- C = ( N Mat P )
monmat2matmon.b	|- B = ( Base ` C )
monmat2matmon.m1	|- .* = ( .s ` Q )
monmat2matmon.e1	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
monmat2matmon.x	|- X = (var1 ` A )
monmat2matmon.a	|- A = ( N Mat R )
monmat2matmon.k	|- K = ( Base ` A )
monmat2matmon.q	|- Q = (Poly1 ` A )
monmat2matmon.i	|- I = ( N pMatToMatPoly R )
monmat2matmon.e2	|- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
monmat2matmon.y	|- Y = (var1 ` R )
monmat2matmon.m2	|- .x. = ( .s ` C )
monmat2matmon.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 17791	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		simpll 760	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> N e. Fin )
3		simplr 762	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> R e. Ring )
4		monmat2matmon.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
5		monmat2matmon.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` A )
6		monmat2matmon.t	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
7		monmat2matmon.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
8		monmat2matmon.c	. . . . 5 |- C = ( N Mat P )
9		monmat2matmon.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
10		monmat2matmon.m2	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` C )
11		monmat2matmon.e2	. . . . 5 |- E = (.g ` (mulGrp ` P ) )
12		monmat2matmon.y	. . . . 5 |- Y = (var1 ` R )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 19764	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B )
14		monmat2matmon.m1	. . . . 5 |- .* = ( .s ` Q )
15		monmat2matmon.e1	. . . . 5 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
16		monmat2matmon.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` A )
17		monmat2matmon.q	. . . . 5 |- Q = (Poly1 ` A )
18		monmat2matmon.i	. . . . 5 |- I = ( N pMatToMatPoly R )
19	7, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18	pm2mpfval 19820	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) e. B ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
20	2, 3, 13, 19	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
21	1, 20	sylanl2 657	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
22		simpll 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
23		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 ) )
24	23	anim1i 572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
25		df-3an 987	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) <-> ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) )
26	24, 25	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) )
27		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` A ) = ( 0g ` A )
28	7, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 19803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 /\ k e. NN0 ) ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
29	22, 26, 28	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) = if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) )
30	29	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( R e. CRing -> R e. Ring ) )
32	31	anim2d 569	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) ) )
33	32	anim1d 568	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) ) )
34	33	imdistanri 697	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) )
35		ovif 6373	. . . . . . . 8 |- ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) )
36	4	matring 19468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
37	17	ply1sca 18846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
39	38	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> A = (Scalar ` Q ) )
40	39	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( 0g ` A ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
41	40	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) )
42	17	ply1lmod 18845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
43	36, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> Q e. LMod )
45	17	ply1ring 18841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
46	36, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Ring )
47		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
48	47	ringmgp 17786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. Ring -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
50	49	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
51		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
52		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
53	16, 17, 52	vr1cl 18810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. Ring -> X e. ( Base ` Q ) )
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> X e. ( Base ` Q ) )
55	54	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> X e. ( Base ` Q ) )
56	47, 52	mgpbas 17729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` (mulGrp ` Q ) )
57	56, 15	mulgnn0cl 16774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (mulGrp ` Q ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. ( Base ` Q ) ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
58	50, 51, 55, 57	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) )
59		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
60		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) )
61		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
62	52, 59, 14, 60, 61	lmod0vs 18124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. LMod /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
63	44, 58, 62	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
64	41, 63	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
65	64	ifeq2d 3900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( ( 0g ` A ) .* ( k .^ X ) ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
66	35, 65	syl5eq 2497	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
67	34, 66	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( if ( k = L , M , ( 0g ` A ) ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
68	30, 67	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
69	68	mpteq2dva 4489	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) )
70	69	oveq2d 6306	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) )
71		ringmnd 17789	. . . . . . 7 |- ( Q e. Ring -> Q e. Mnd )
72	46, 71	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Mnd )
73	72	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> Q e. Mnd )
74		nn0ex 10875	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
75	74	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> NN0 e. _V )
76		simprr 766	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> L e. NN0 )
77		eqid 2451	. . . . 5 |- ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) )
78	38	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` A ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
79	5, 78	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> K = ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
80	79	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. K <-> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
81	80	biimpcd 228	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. K -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. K /\ L e. NN0 ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) ) )
83	82	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
84	83	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
85		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) )
86	52, 59, 14, 85	lmodvscl 18108	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. LMod /\ M e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( k .^ X ) e. ( Base ` Q ) ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
87	44, 84, 58, 86	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
88	87	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> A. k e. NN0 ( M .* ( k .^ X ) ) e. ( Base ` Q ) )
89	61, 73, 75, 76, 77, 88	gsummpt1n0 17597	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
90	1, 89	sylanl2 657	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> if ( k = L , ( M .* ( k .^ X ) ) , ( 0g ` Q ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
91	70, 90	eqtrd 2485	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) )
92		csbov2g 6328	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) )
93		csbov1g 6327	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( [_ L / k ]_ k .^ X ) )
94		csbvarg 3792	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ k = L )
95	94	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> ( [_ L / k ]_ k .^ X ) = ( L .^ X ) )
96	93, 95	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( k .^ X ) = ( L .^ X ) )
97	96	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> ( M .* [_ L / k ]_ ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
98	92, 97	eqtrd 2485	. . 3 |- ( L e. NN0 -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
99	98	ad2antll 735	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> [_ L / k ]_ ( M .* ( k .^ X ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )
100	21, 91, 99	3eqtrd 2489	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( M e. K /\ L e. NN0 ) ) -> ( I ` ( ( L E Y ) .x. ( T ` M ) ) ) = ( M .* ( L .^ X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   [_csb 3363   ifcif 3881   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   NN0cn0 10869   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535  ._gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   LModclmod 18091  var₁cv1 18769  Poly₁cpl1 18770   Mat cmat 19432   matToPolyMat cmat2pmat 19728   decompPMat cdecpmat 19786   pMatToMatPoly cpm2mp 19816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-assa 18536  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-coe1 18776  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433  df-mat2pmat 19731  df-decpmat 19787  df-pm2mp 19817

This theorem is referenced by:  pm2mp  19849