MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monhom Structured version   Unicode version

Theorem monhom 15007
Description: A monomorphism is a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ismon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
ismon.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
ismon.s  |-  M  =  (Mono `  C )
ismon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
ismon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ismon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
monhom  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X H Y ) )

Proof of Theorem monhom
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ismon.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
3 ismon.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 ismon.s . . . 4  |-  M  =  (Mono `  C )
5 ismon.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 ismon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 ismon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 15005 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X M Y )  <-> 
( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( f ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) ) ) )
9 simpl 457 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( f ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) )  ->  f  e.  ( X H Y ) )
108, 9syl6bi 228 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( X M Y )  ->  f  e.  ( X H Y ) ) )
1110ssrdv 3495 1  |-  ( ph  ->  ( X M Y )  C_  ( X H Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   <.cop 4020    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   Fun wfun 5572   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   Hom chom 14585  compcco 14586   Catccat 14938  Monocmon 15000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-mon 15002
This theorem is referenced by:  setcmon  15288
  Copyright terms: Public domain W3C validator