Theorem mon1ply1 30988

Description: A univariate monomial is a univariate polynomial. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummonply1.p	|- P = (Poly1 ` R )
gsummonply1.b	|- B = ( Base ` P )
gsummonply1.x	|- X = (var1 ` R )
gsummonply1.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
gsummonply1.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
mon1ply1	|- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( N .^ X ) e. B )

Proof of Theorem mon1ply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummonply1.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
2		gsummonply1.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
3	2	ply1rng 17821	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
4	1, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> P e. Ring )
5		eqid 2452	. . . . 5 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
6	5	rngmgp 16769	. . . 4 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
7	4, 6	syl 16	. . 3 |- ( ph -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
8	7	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
9		simpr 461	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		gsummonply1.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` R )
11		gsummonply1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
12	10, 2, 11	vr1cl 17790	. . . 4 |- ( R e. Ring -> X e. B )
13	1, 12	syl 16	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
14	13	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> X e. B )
15	5, 11	mgpbas 16714	. . 3 |- B = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
16		gsummonply1.e	. . 3 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
17	15, 16	mulgnn0cl 15757	. 2 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .^ X ) e. B )
18	8, 9, 14, 17	syl3anc 1219	1 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( N .^ X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   NN0cn0 10685   Basecbs 14287   Mndcmnd 15523  ._gcmg 15528  mulGrpcmgp 16708   Ringcrg 16763  var₁cv1 17751  Poly₁cpl1 17752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-ple 14372  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-subrg 16981  df-psr 17541  df-mvr 17542  df-mpl 17543  df-opsr 17545  df-psr1 17755  df-vr1 17756  df-ply1 17757

This theorem is referenced by:  smon1ply1  30989  gsumsmonply1  30990  pmatcollpw1lem1  31243  mp2pm2mplem5  31278  pm2mpghmlem2  31280