Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1pid Structured version   Unicode version

Theorem mon1pid 29578
Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1pid.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mon1pid.o  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
mon1pid.m  |-  M  =  (Monic1p `  R )
mon1pid.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
Assertion
Ref Expression
mon1pid  |-  ( R  e. NzRing  ->  (  .1.  e.  M  /\  ( D `  .1.  )  =  0
) )

Proof of Theorem mon1pid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1pid.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1nz 21598 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  P  e. NzRing )
3 nzrrng 17348 . . . 4  |-  ( P  e. NzRing  ->  P  e.  Ring )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5 mon1pid.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
64, 5rngidcl 16670 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  P )
)
72, 3, 63syl 20 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  .1.  e.  ( Base `  P ) )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
95, 8nzrnz 17347 . . . 4  |-  ( P  e. NzRing  ->  .1.  =/=  ( 0g `  P ) )
102, 9syl 16 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  .1.  =/=  ( 0g `  P ) )
11 nzrrng 17348 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
12 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
13 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
141, 12, 13, 5ply1scl1 17749 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =  .1.  )
1511, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) )  =  .1.  )
1615fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( R  e. NzRing  ->  (coe1 `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  (coe1 `  .1.  ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1817, 13rngidcl 16670 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
20 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
211, 12, 17, 20coe1scl 17744 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (coe1 `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2211, 19, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( R  e. NzRing  ->  (coe1 `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
2316, 22eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( R  e. NzRing  ->  (coe1 `  .1.  )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
2415fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( D `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
2513, 20nzrnz 17347 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
26 mon1pid.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2726, 1, 17, 12, 20deg1scl 21590 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) ) )  =  0 )
2811, 19, 25, 27syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( D `  ( (algSc `  P ) `  ( 1r `  R
) ) )  =  0 )
2924, 28eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( D `  .1.  )  =  0
)
3023, 29fveq12d 5702 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (coe1 `  .1.  ) `  ( D `  .1.  ) )  =  ( ( x  e. 
NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) `
 0 ) )
31 0nn0 10599 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
32 iftrue 3802 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
34 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
3532, 33, 34fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  0 )  =  ( 1r `  R ) )
3631, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) `  0 )  =  ( 1r `  R )
3730, 36syl6eq 2491 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( (coe1 `  .1.  ) `  ( D `  .1.  ) )  =  ( 1r `  R
) )
38 mon1pid.m . . . 4  |-  M  =  (Monic1p `  R )
391, 4, 8, 26, 38, 13ismon1p 21619 . . 3  |-  (  .1. 
e.  M  <->  (  .1.  e.  ( Base `  P
)  /\  .1.  =/=  ( 0g `  P )  /\  ( (coe1 `  .1.  ) `  ( D `  .1.  ) )  =  ( 1r `  R
) ) )
407, 10, 37, 39syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( R  e. NzRing  ->  .1.  e.  M
)
4140, 29jca 532 1  |-  ( R  e. NzRing  ->  (  .1.  e.  M  /\  ( D `  .1.  )  =  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   ifcif 3796    e. cmpt 4355   ` cfv 5423   0cc0 9287   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   0gc0g 14383   1rcur 16608   Ringcrg 16650  NzRingcnzr 17344  algSccascl 17388  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639   deg1 cdg1 21528  Monic1pcmn1 21602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-nzr 17345  df-ascl 17391  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644  df-cnfld 17824  df-mdeg 21529  df-deg1 21530  df-mon1 21607
This theorem is referenced by:  mon1psubm  29579  deg1mhm  29580
  Copyright terms: Public domain W3C validator