Theorem mon1pcl 22835

Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	|- P = (Poly1 ` R )
uc1pcl.b	|- B = ( Base ` P )
mon1pcl.m	|- M = (Monic1p ` R )

Assertion

Ref	Expression
mon1pcl	|- ( F e. M -> F e. B )

Proof of Theorem mon1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2		uc1pcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
3		eqid 2402	. . 3 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
4		eqid 2402	. . 3 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
5		mon1pcl.m	. . 3 |- M = (Monic1p ` R )
6		eqid 2402	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 22833	. 2 |- ( F e. M <-> ( F e. B /\ F =/= ( 0g ` P ) /\ ( (coe1 ` F ) ` ( ( deg1 ` R ) ` F ) ) = ( 1r ` R ) ) )
8	7	simp1bi 1012	1 |- ( F e. M -> F e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   ` cfv 5568   Basecbs 14839   0gc0g 15052   1rcur 17471  Poly₁cpl1 18534  coe₁cco1 18535   deg₁ cdg1 22742  Monic_1pcmn1 22816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-slot 14843  df-base 14844  df-mon1 22821

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  22841  deg1submon1p  22843  ply1rem  22854  fta1glem1  22856  fta1glem2  22857  mon1psubm  35510