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Theorem moel 27155
Description: "At most one" element in a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
moel  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem moel
StepHypRef Expression
1 ralcom4 3132 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
2 df-ral 2819 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  x  =  y  <->  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
32ralbii 2895 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
4 alcom 1794 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
5 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
65mo4 2339 . . 3  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
7 df-ral 2819 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
8 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
98albii 1620 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
107, 9bitr4i 252 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) )
1110albii 1620 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
124, 6, 113bitr4i 277 . 2  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
131, 3, 123bitr4ri 278 1  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E*wmo 2276   A.wral 2814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-v 3115
This theorem is referenced by:  disjnf  27203
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