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Theorem moel 28054
Description: "At most one" element in a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
moel  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem moel
StepHypRef Expression
1 ralcom4 3036 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
2 df-ral 2713 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  x  =  y  <->  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
32ralbii 2790 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
4 alcom 1899 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
5 eleq1 2488 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
65mo4 2317 . . 3  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
7 df-ral 2713 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
8 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
98albii 1685 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) ) )
107, 9bitr4i 255 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  =  y ) )
1110albii 1685 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y )  <->  A. y A. x ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  x  =  y ) )
124, 6, 113bitr4i 280 . 2  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  A  ->  x  =  y ) )
131, 3, 123bitr4ri 281 1  |-  ( E* x  x  e.  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  x  =  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   E*wmo 2271   A.wral 2708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ral 2713  df-v 3018
This theorem is referenced by:  disjnf  28120
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