MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxp1i Structured version   Unicode version

Theorem modxp1i 14411
Description: Add one to an exponent in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
modxp1i.9  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modxp1i.7  |-  ( B  +  1 )  =  E
modxp1i.8  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  A
)
Assertion
Ref Expression
modxp1i  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modxp1i
StepHypRef Expression
1 modxai.1 . 2  |-  N  e.  NN
2 modxai.2 . 2  |-  A  e.  NN
3 modxai.3 . 2  |-  B  e. 
NN0
4 modxai.4 . 2  |-  D  e.  ZZ
5 modxai.5 . 2  |-  K  e. 
NN0
6 modxai.6 . 2  |-  M  e. 
NN0
7 1nn0 10807 . 2  |-  1  e.  NN0
82nnnn0i 10799 . 2  |-  A  e. 
NN0
9 modxp1i.9 . 2  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
102nncni 10542 . . . 4  |-  A  e.  CC
11 exp1 12136 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( A ^ 1 )  =  A
1312oveq1i 6292 . 2  |-  ( ( A ^ 1 )  mod  N )  =  ( A  mod  N
)
14 modxp1i.7 . 2  |-  ( B  +  1 )  =  E
15 modxp1i.8 . 2  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  A
)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15modxai 14409 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860    mod cmo 11960   ^cexp 12130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131
This theorem is referenced by:  1259lem1  14467  1259lem4  14470  2503lem2  14474  4001lem1  14477
  Copyright terms: Public domain W3C validator