MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Unicode version

Theorem modxai 14413
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
modxai.7  |-  C  e. 
NN0
modxai.8  |-  L  e. 
NN0
modxai.11  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modxai.12  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
modxai.9  |-  ( B  +  C )  =  E
modxai.10  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
Assertion
Ref Expression
modxai  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5  |-  ( B  +  C )  =  E
21oveq2i 6295 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( A ^ E
)
3 modxai.2 . . . . . 6  |-  A  e.  NN
43nncni 10546 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 modxai.3 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
6 modxai.7 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
7 expadd 12176 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) ) )
84, 5, 6, 7mp3an 1324 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
92, 8eqtr3i 2498 . . 3  |-  ( A ^ E )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
109oveq1i 6294 . 2  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)
11 nnexpcl 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A ^ B
)  e.  NN )
123, 5, 11mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ B )  e.  NN
1312nnzi 10888 . . . . . . 7  |-  ( A ^ B )  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( A ^ B
)  e.  ZZ )
15 modxai.5 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
NN0
1615nn0zi 10889 . . . . . . 7  |-  K  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  K  e.  ZZ )
18 nnexpcl 12147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A ^ C
)  e.  NN )
193, 6, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ C )  e.  NN
2019nnzi 10888 . . . . . . 7  |-  ( A ^ C )  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( A ^ C
)  e.  ZZ )
22 modxai.8 . . . . . . . 8  |-  L  e. 
NN0
2322nn0zi 10889 . . . . . . 7  |-  L  e.  ZZ
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  L  e.  ZZ )
25 modxai.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
26 nnrp 11229 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  N  e.  RR+ )
29 modxai.11 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( A ^ B )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
31 modxai.12 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( A ^ C )  mod  N
)  =  ( L  mod  N ) )
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 12009 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)  =  ( ( K  x.  L )  mod  N ) )
3433trud 1388 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( K  x.  L )  mod  N
)
35 modxai.10 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  ZZ
37 zcn 10869 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  D  e.  CC
3925nncni 10546 . . . . . . . 8  |-  N  e.  CC
4038, 39mulcli 9601 . . . . . . 7  |-  ( D  x.  N )  e.  CC
41 modxai.6 . . . . . . . 8  |-  M  e. 
NN0
4241nn0cni 10807 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
4340, 42addcomi 9770 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4435, 43eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( K  x.  L )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4544oveq1i 6294 . . . 4  |-  ( ( K  x.  L )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4634, 45eqtri 2496 . . 3  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4741nn0rei 10806 . . . 4  |-  M  e.  RR
48 modcyc 11999 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N ) )
4947, 27, 36, 48mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5046, 49eqtri 2496 . 2  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5110, 50eqtri 2496 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491    + caddc 9495    x. cmul 9497   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220    mod cmo 11964   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  mod2xi  14414  modxp1i  14415  1259lem3  14473  1259lem4  14474  2503lem2  14478  4001lem3  14483
  Copyright terms: Public domain W3C validator