MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modxai Structured version   Unicode version

Theorem modxai 14428
Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modxai.1  |-  N  e.  NN
modxai.2  |-  A  e.  NN
modxai.3  |-  B  e. 
NN0
modxai.4  |-  D  e.  ZZ
modxai.5  |-  K  e. 
NN0
modxai.6  |-  M  e. 
NN0
modxai.7  |-  C  e. 
NN0
modxai.8  |-  L  e. 
NN0
modxai.11  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modxai.12  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
modxai.9  |-  ( B  +  C )  =  E
modxai.10  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
Assertion
Ref Expression
modxai  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modxai
StepHypRef Expression
1 modxai.9 . . . . 5  |-  ( B  +  C )  =  E
21oveq2i 6289 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( A ^ E
)
3 modxai.2 . . . . . 6  |-  A  e.  NN
43nncni 10549 . . . . 5  |-  A  e.  CC
5 modxai.3 . . . . 5  |-  B  e. 
NN0
6 modxai.7 . . . . 5  |-  C  e. 
NN0
7 expadd 12184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) ) )
84, 5, 6, 7mp3an 1323 . . . 4  |-  ( A ^ ( B  +  C ) )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
92, 8eqtr3i 2472 . . 3  |-  ( A ^ E )  =  ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C ) )
109oveq1i 6288 . 2  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)
11 nnexpcl 12155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A ^ B
)  e.  NN )
123, 5, 11mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ B )  e.  NN
1312nnzi 10891 . . . . . . 7  |-  ( A ^ B )  e.  ZZ
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( A ^ B
)  e.  ZZ )
15 modxai.5 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
NN0
1615nn0zi 10892 . . . . . . 7  |-  K  e.  ZZ
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  K  e.  ZZ )
18 nnexpcl 12155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A ^ C
)  e.  NN )
193, 6, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A ^ C )  e.  NN
2019nnzi 10891 . . . . . . 7  |-  ( A ^ C )  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( A ^ C
)  e.  ZZ )
22 modxai.8 . . . . . . . 8  |-  L  e. 
NN0
2322nn0zi 10892 . . . . . . 7  |-  L  e.  ZZ
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  L  e.  ZZ )
25 modxai.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
26 nnrp 11235 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N  e.  RR+
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  N  e.  RR+ )
29 modxai.11 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ B )  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( A ^ B )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
31 modxai.12 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ C )  mod  N )  =  ( L  mod  N
)
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( A ^ C )  mod  N
)  =  ( L  mod  N ) )
3314, 17, 21, 24, 28, 30, 32modmul12d 12017 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( ( A ^ B )  x.  ( A ^ C
) )  mod  N
)  =  ( ( K  x.  L )  mod  N ) )
3433trud 1390 . . . 4  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( K  x.  L )  mod  N
)
35 modxai.10 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( K  x.  L
)
36 modxai.4 . . . . . . . . 9  |-  D  e.  ZZ
37 zcn 10872 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  D  e.  CC
3925nncni 10549 . . . . . . . 8  |-  N  e.  CC
4038, 39mulcli 9601 . . . . . . 7  |-  ( D  x.  N )  e.  CC
41 modxai.6 . . . . . . . 8  |-  M  e. 
NN0
4241nn0cni 10810 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
4340, 42addcomi 9771 . . . . . 6  |-  ( ( D  x.  N )  +  M )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4435, 43eqtr3i 2472 . . . . 5  |-  ( K  x.  L )  =  ( M  +  ( D  x.  N ) )
4544oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( ( K  x.  L )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4634, 45eqtri 2470 . . 3  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( ( M  +  ( D  x.  N
) )  mod  N
)
4741nn0rei 10809 . . . 4  |-  M  e.  RR
48 modcyc 12007 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N ) )
4947, 27, 36, 48mp3an 1323 . . 3  |-  ( ( M  +  ( D  x.  N ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5046, 49eqtri 2470 . 2  |-  ( ( ( A ^ B
)  x.  ( A ^ C ) )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
5110, 50eqtri 2470 1  |-  ( ( A ^ E )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491    + caddc 9495    x. cmul 9497   NNcn 10539   NN0cn0 10798   ZZcz 10867   RR+crp 11226    mod cmo 11972   ^cexp 12142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-fl 11905  df-mod 11973  df-seq 12084  df-exp 12143
This theorem is referenced by:  mod2xi  14429  modxp1i  14430  1259lem3  14489  1259lem4  14490  2503lem2  14494  4001lem3  14499
  Copyright terms: Public domain W3C validator