MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Unicode version

Theorem modsubi 14540
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1  |-  N  e.  NN
modsubi.2  |-  A  e.  NN
modsubi.3  |-  B  e. 
NN0
modsubi.4  |-  M  e. 
NN0
modsubi.6  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modsubi.5  |-  ( M  +  B )  =  K
Assertion
Ref Expression
modsubi  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnrei 10552 . . . 4  |-  A  e.  RR
3 modsubi.5 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  =  K
4 modsubi.4 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
5 modsubi.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
64, 5nn0addcli 10840 . . . . . 6  |-  ( M  +  B )  e. 
NN0
76nn0rei 10813 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  e.  RR
83, 7eqeltrri 2528 . . . 4  |-  K  e.  RR
92, 8pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )
105nn0rei 10813 . . . . 5  |-  B  e.  RR
1110renegcli 9885 . . . 4  |-  -u B  e.  RR
12 modsubi.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
13 nnrp 11240 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  N  e.  RR+
1511, 14pm3.2i 455 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
16 modsubi.6 . . 3  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
17 modadd1 12015 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )
)
189, 15, 16, 17mp3an 1325 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( K  +  -u B )  mod 
N )
191nncni 10553 . . . 4  |-  A  e.  CC
205nn0cni 10814 . . . 4  |-  B  e.  CC
2119, 20negsubi 9902 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
)
2221oveq1i 6291 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod 
N )
238recni 9611 . . . . 5  |-  K  e.  CC
2423, 20negsubi 9902 . . . 4  |-  ( K  +  -u B )  =  ( K  -  B
)
254nn0cni 10814 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
2623, 20, 25subadd2i 9913 . . . . 5  |-  ( ( K  -  B )  =  M  <->  ( M  +  B )  =  K )
273, 26mpbir 209 . . . 4  |-  ( K  -  B )  =  M
2824, 27eqtri 2472 . . 3  |-  ( K  +  -u B )  =  M
2928oveq1i 6291 . 2  |-  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )  =  ( M  mod  N )
3018, 22, 293eqtr3i 2480 1  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   RRcr 9494    + caddc 9498    - cmin 9810   -ucneg 9811   NNcn 10543   NN0cn0 10802   RR+crp 11231    mod cmo 11978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fl 11911  df-mod 11979
This theorem is referenced by:  1259lem5  14599  2503lem3  14603  4001lem4  14608
  Copyright terms: Public domain W3C validator