MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubi Structured version   Unicode version

Theorem modsubi 14765
Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
modsubi.1  |-  N  e.  NN
modsubi.2  |-  A  e.  NN
modsubi.3  |-  B  e. 
NN0
modsubi.4  |-  M  e. 
NN0
modsubi.6  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
modsubi.5  |-  ( M  +  B )  =  K
Assertion
Ref Expression
modsubi  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)

Proof of Theorem modsubi
StepHypRef Expression
1 modsubi.2 . . . . 5  |-  A  e.  NN
21nnrei 10584 . . . 4  |-  A  e.  RR
3 modsubi.5 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  =  K
4 modsubi.4 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
5 modsubi.3 . . . . . . 7  |-  B  e. 
NN0
64, 5nn0addcli 10873 . . . . . 6  |-  ( M  +  B )  e. 
NN0
76nn0rei 10846 . . . . 5  |-  ( M  +  B )  e.  RR
83, 7eqeltrri 2487 . . . 4  |-  K  e.  RR
92, 8pm3.2i 453 . . 3  |-  ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )
105nn0rei 10846 . . . . 5  |-  B  e.  RR
1110renegcli 9915 . . . 4  |-  -u B  e.  RR
12 modsubi.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
13 nnrp 11273 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1412, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  N  e.  RR+
1511, 14pm3.2i 453 . . 3  |-  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
16 modsubi.6 . . 3  |-  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
)
17 modadd1 12070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  K  e.  RR )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  N )  =  ( K  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )
)
189, 15, 16, 17mp3an 1326 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( K  +  -u B )  mod 
N )
191nncni 10585 . . . 4  |-  A  e.  CC
205nn0cni 10847 . . . 4  |-  B  e.  CC
2119, 20negsubi 9932 . . 3  |-  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
)
2221oveq1i 6287 . 2  |-  ( ( A  +  -u B
)  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod 
N )
238recni 9637 . . . . 5  |-  K  e.  CC
2423, 20negsubi 9932 . . . 4  |-  ( K  +  -u B )  =  ( K  -  B
)
254nn0cni 10847 . . . . . 6  |-  M  e.  CC
2623, 20, 25subadd2i 9943 . . . . 5  |-  ( ( K  -  B )  =  M  <->  ( M  +  B )  =  K )
273, 26mpbir 209 . . . 4  |-  ( K  -  B )  =  M
2824, 27eqtri 2431 . . 3  |-  ( K  +  -u B )  =  M
2928oveq1i 6287 . 2  |-  ( ( K  +  -u B
)  mod  N )  =  ( M  mod  N )
3018, 22, 293eqtr3i 2439 1  |-  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( M  mod  N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   RRcr 9520    + caddc 9524    - cmin 9840   -ucneg 9841   NNcn 10575   NN0cn0 10835   RR+crp 11264    mod cmo 12032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fl 11964  df-mod 12033
This theorem is referenced by:  1259lem5  14824  2503lem3  14828  4001lem4  14833
  Copyright terms: Public domain W3C validator